1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вынужденные нфнебвння 1. Рассмотрим колебания, которые совершает система, если на нее, кроме упругой силы — Йх и сил сопротивления — гч действует еще добавочная периодическая сила Р, которую мы будем Рис. 8.18. называть вынуждающей, или возмущающей, силой. Такие колебания совершает, например, груз, подвешенный на пружине и подталкиваемый вверх через равные промежутки времени.
Если период вынуждающей силы не равен периоду свободных колебаний системы, то вначале происходит несколько биений, а затем устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой (рис. 8.18). Биения, происходящие вначале, являются результатом наложения вынужденных колебаний и свободных затухающих колебаний. 2. Из второго закона Ньютона следует, что для вынужденных п р я м о л и н е й н ы х колебаний тела массы гп, совершающихся вдоль оси ОХ, ги~„= — йх — го„+ г„, — 187— где Є— проекция на ось ОХ периодически действующей вынуждающей силы Е. Заменяя проекции скорости и ускорения производными от смещения по времени и перенося члены с переменной х влево, поо лучаем оох ох в — + г — + йх = Р„. ,по (8,34) Рассмотрим простейший случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону: Р„= Р, соз Ы.
(8.35) Предположим, что возникающие под действием силы р установившиеся вынужденные колебания системы также являются гармоническими; х = А я1п (оог + ~ро), (8.36) го выше предположения Из (8.36) имеем: о = — = Ат соя(оч + ~р ), ох ш а = —.= — Ат'ягп(М+~р,)=Ам'соя т(+.<оо+ ' (83у) х ) х — А соя (тг + ф о Подставив зти выражения в уравнение (8,34), получим гпАво соз(ох+ ~ро+ — "" )+ гАа соя(а~+ гро)+ + йА соя~го(+ ~ — — ) = Росояоо(. о 2 / о Разделим все члены равенства на шА: оо соя (ОЗГ + ~ + — + — го соя (соя + у ) + о ь г Ро + — соя (ох + чо — — ~ = — соя а(.
т 2~ тА (8.38) Ф Выше было показано, что = аоо, где ооо — циклическая частота причем их циклическая частота равна циклической частоте оз вынуждающей силы. Задача заключается в нахождении амплитуды А и начальной фазы ~ро. Если нам удастся выразить их через массу гп системы, коэффициенты й и г, а также амплитуду Ро и циклическую частоту а вынуждающей силы так, чтобы выражение (8.36) обращало в тождество уравнение (8.34), то тем самым мы докажем справедливость сделанно- свободных незатухающих колебаний системы, — 2р, где () — коэффициент затухания. Следовательно, равенство (8.38) можно записать и так: А соз (ыт+ та+ — ')+Азсоз(ы(+ е ) + + А, соз (а г + т, — — 1 = А соз аг, 4 (8.
38') где А, = га', и А = — '. (8.39) тА А,=оР; А,=2~г»; (8.40) Амплитуда установившихся вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждакхцей силы Р„обратно пропорциональна массе и системы и уменьшается с увеличением коэффициента затухания 8. При постоянных г'„гл и 8 амплитуда зависит только от соотношения циклических частот вынуждающей силы (гэ) н свободных незатухающих колебаний системы (а,).
Рис. 8.19 позволяет определить сдвиг фаз ~э, между скоростью установившихся вынужденных колебаний и вынуждающей силой, а также сдвиг фаз а = ср, — — ' между смещением и вынуждающей силой: 2 Аэ — А~ о'о 18та = А~ ~м — 169 Правую часть выражения (8,38') можно рассматривать как уравне- А, 4 1 ние некоторого гармонического колебання, получившегося от сложе- н ння трех гармонических колебаний, определяемых членами левой -- Ф части этого равенства. Для глаже- ф ния этих колебаний воспользуемся методом векторных диаграмм. Проведем опорную линию ОХ (рис. 8.19) и отложим под углами, соответствующими начальным фазам всех четырех колебаний, векторы А„А„А и А нх амплитуд таким образом, чтобы А,= А, + А, + А,.
Из рис. 8.19 видно, что А~ = (А, — А,)' + Азз, откуда, на основании соотношений (8.39), следует, что А= ~е м ~Г ( мэ ~— а~)з + 4~~ и~ 2га (йа =— "о (8А2) 3. Исследуем выражение (8АО) и построим кривую зависимости амплитуды вынутцденных колебаний от циклической частоты вынуждающей силы (рис, 8.20), а) При циклической частоте вынуждающей силы в = 0 А=А,= —, Ро м~а Рвс.
8.28. Ра Ра х=А = — =— ~о~з Й 2 Поэтому отклонение А, иногда называют статической амплитудой. б) Если затухания нет (8, = — — 0), то амплитуда колебаний А растет с увеличением циклической частоты гз вынуждающей силы Р и при м = в, становится бесконечно большой.
При дальнейшем росте циклической частоты ы амплитуда А вынужденных колебаний уменьшается, причем 1пп А = О. В Ф в) Если затухание существует (8 Ф 0), то амплитуда достигает максимального значения, когда знаменатель правой части уравнения В этом случае колебания не совершаются и смещение при вынужденных колебаниях равно статической деформации под действием постоянной силы Р; (8.40) достигает минимума. Приравнивая нулю первую производную по пз от подкоренного выражения, получим условие его минимума1 — 4 ( оз' — оз', ) езр„+ 8Ра отрез —— О, где озр„обозначает то значение циклической частоты оз вынуждающей силы, при котором А = А„,„,.
Преобразуя зто выражеййе, получим „,=)У ,'— 28 =,У) — 2~Чы',. (8.43) Циклическую частоту озр„называют резонансной, а явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к значению озр называют явлением резонанса. Из формулы (8АЗ) следует, что для консервативной системы (8 = О) птр„ — †„ а для диссипатнвной системы пзр„ несколько меньше собственной циклической частоты оз =~/ ыа Р . Сувалкин иием коэффициента затухания 8 явление резонанса проявляется вав слабее (рис.
8.20) и, наконец, исчезает прн т' 2 Явление резонанса широко используется в радиотехннкв (например, для настройки радиоприемников на прием той нли иной радиостанции), в акустике (для анализа звуков, нх усиления и т. д.). Ряд оптических явлений, например аномальная дисперсия, связаны с резонансом. В различных сооружениях н машинах, подвергающихся перно днчески изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен. Он может вызвать их разрушение вследствие значительного возрастания амплитуды колебаний. Так, например, шатуны двигателя внутреннего сгорания действуют на коленчатый вал с периодически изменяющимися силачи. Период их изменения связан с угловой скоростью вращения вала. Зтн силы вызывают колебания коленчатого вала и при скорости вращения, соответствующей резонансу, могут привести к поломке вала.
Вращающиеся части машин, диски и валы турбин, винты самолетов не могут быть абсолютно точно уравновешены, т. е. их центры масс всегда слегка смещены по отношению к осям вращения. Следовательно, они также испытывают переменную нагрузку и совершают вынужденные колебания. При проектировании современных машин н других сооружений, подвергающихся переменным нагрузкам, производят специальные расчеты н принимают меры для исключения возможности возникновения резонанса.
Вопросы Лни повторении 1. Канне колебания называют гармоиическимиг Дайте опреде. лепна их основных характеристик (амплитуды, фазы, периода, частоты, пиклической частоты). — 171 2. Какие колебания называют свободными? В каком случае свободные колебаняя системы будут незатухающими? 8. Как связаны между собой амплитуды н фазы смешения. скорости и ускорения в прямолинейных гармонических колебаниях? 4 От четв зависит полная внергия тела, совершающего прямолинейные гармонические колебания? 8.
Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического я математического маятников, 6. Начертите векторную диаграмму сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с равными периодами. 7 Как изменяется во времени амплитуда затухаюшях колебаний? Что называют логарифмическим декремеитом затухания? Являются ли ззтухаюшие колебания периодическими? 8. Какие колебания называют вынужденнымиР Найдите выражении амплигуды в начальной фазы прямолинейных вынужденных колебанвй, возбуждаемых силой, которая изменяется по гармоническому закону. 9.
В чем состои~ явление резонанса? Каково его значение в технике? Примеры решения задач Задача 8.1. Тачка С (рис. $.21) равномерно врзшается по окружности против часовой стрелки, делая б об/с. Радиус окружности 0,2 и. Найти смещение, скорость н ускорение проекции точки иа вертикальный диаметр а тот момент, когда точка прошла 1)3 часть окружности. В момент, выбранный за начальный, точка имела максимальное положительное смещение Решение Дано Если точка равномерно вращается по окружнос- А г 02м, ти, то ее проекция на любую прямую, лежащую в плоскости окружности, совершает гармони. 2кг ческое колебательное движение Смешение», з ) ВС также проекции скорости и ускорения гармони.
3 чески колеблюшейся точки можно определить »о 4. по формулам (8.8") я (8,7): » — Р о» Р໠— ? х А з1п (ю) + рь), з, = юА соз (со» + ~рз), и — созА з1п (ю(+ р,) — юзх. В начальный момент времени проекция точки С совпадает с точкой В, т. е. прн 1 0 л А и з1прз 1. Следовательно, начальная фаза <ц 2 Частота т колебаний проекции точки С равна л, а цихлическая частота ю равна м = 2ят 2ял. Для прохождения точкой одной трети окружности требуется время 1, равное одной трети периода Т обращения точки нлн периода колебаний ее проекций 1 1 3 Зт Зл Рис. 8.21.
Вычислевия производим в Международной системе едиииц (СИ); 1) проверка размерности результатов 11) =1т] т Т1 2) вычислеиия 1 1 1п 100 с * 23 с1 0,002 100 Часть П ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ Глава!Х ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ $9.1. Евеаеине 1. Молекулярной физикой называют раздел физики, занимающийся изучением зависимости физических свойств и агрегатных состояний тел от их внутреннего строения, сил взаимодействия между частицами, образующими тела, и характера их движения, Таким образом, молекулярная физика неразрывно связана с теорией строения вещества. Современная наука прочно стоит на позициях атомизма. Доказано, что все тела в природе состоят из мельчайших частиц !атомов и молекул)„находящихся в непрерывном хаотическом тепловом движении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
