1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 41
Текст из файла (страница 41)
37.3) известным, спроецируем уравнение(37.2) на координатные оси, выразив импульс и частоту фотона через длину волны. Из системы уравнений (37.2) и (37.3) получим выражение для длины волнырассеянного фотонаλ λ λC 1 cos θ ,здесь λ – длина волны налетающего фотона, λˊ - длина волны рассеянного фотона,hλC 2,425 1012 мmec– комптоновская длина волны электрона.5.1.4. Корпускулярно-волновая двойственность свойств светаКаждой группе фотонов в классическом описании ставится в соответствие цугволны, характеризуемой напряжённостью электрического поля E и напряжённостью магнитного поля H .Объёмная плотность энергии электромагнитного поля(см. 3.14.3)DE BH ε0εE 2 .22Энергия электромагнитного поля в малом объёме dVdW wdV ,но, с другой стороны,dW NhνdP ,где dP – вероятность попадания фотона в объём dV, N – общее число фотонов.
Отсюдаww~dPdV– классическая плотность энергии электромагнитного излучения определяетплотность вероятности попадания фотонов в данную область пространства.295Данная картина реализуется в виде изменяющегося в пространстве распределения интенсивности света (при большом числе фотонов).Так как w ~ E2,E2 ~dPdV– квадрат модуля напряжённости электрического поля определяет плотность вероятности попадания фотона в данную область пространства.5.2. Гипотеза де БройляГипотеза де Бройля: корпускулярно-волновая двойственность присуща не только свету, но и всей материи, т.
е. все частицы обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами.Каждой движущейся частице можно поставить в соответствие волновой процесс(волну де Бройля), который характеризуется длиной волныλhpи частотойνW;hздесь p – модуль импульса, W – энергия частицы.Квадрат модуля амплитуды волны де Бройля определяет плотность вероятности обнаружения частицы в данной области пространства.
Корпускулярные свойства частицы обусловлены тем, что её масса, импульс и энергия локализованы вмалом объёме.ПРИМЕРЫ1) Пуля массой m = 10 г летит со скоростью v = 600 м/с. Её длина волны де Бройляh6,6 1034 2 1034 м 1024 Å .mv 10 6 102Волновые свойства частицы можно обнаружить благодаря явлению дифракции.Препятствия, на котором можно было бы обнаружить волновые свойства пули, несуществует.2) Электрон прошёл ускоряющее электрическое поле с разностью потенциаловU = 150 В.По закону сохранения энергии λme v2 eU ,2здесь v – конечная скорость электрона. Импульс электронаp me v 2emeU .Длина волны де Бройля296λhh6,6 1034p2emeU2 9,1 1031 1,6 1019 1,5 1026,6 103424102 9,1 1,6 1,5 1010 м 1 Å .Период кристаллической решётки твёрдого тела – порядка 1 Å.
Можно наблюдатьдифракционную картину при рассеянии электронов на кристаллической решётке.Условие дифракционных максимумовmλ,2d sin θ mλ ⇒ sin θ 2dздесь θ – угол дифракции, d – период решётки, m – целое число.Если пускать электроны по одному, то распределение точек на детекторе (фотопластинке) будет случайным.5.3. Соотношение неопределённостей ГейзенбергаВ квантовой физике теряет смысл понятие траектории, координаты, скорости,ускорения частицы. Приходится говорить о плотности вероятности нахождениячастицы в данной области пространства. Корректность использования классических физических величины определяется соотношениями неопределённостейГейзенберга.Нельзя одновременно с произвольной точность определить координату и соответствующую ей проекцию импульса частицы.
Между неопределённостями этихвеличин должны выполнятся соотношенияΔxΔpx 2 ,ΔyΔp y ,2ΔzΔpz 2(37.4)(здесь Δx – неопределённость координаты x и т. п.)Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются канонически сопряжёнными; например, энергия W и время t:ΔWΔt .2Соотношения неопределённостей являются оценочными.ПРИМЕРПролёт микрочастицы через щель (дифракция электрона на щели)Попытаемся определить координату свободно летящей микрочастицы. Для этогопоставим на её пути ширму с щелью шириной Δx (РИС.
37.4). До прохождения частицы через щель px = 0, Δpx = 0, зато координата x совершенно не определена. Вмомент прохождения частицы через щель ситуация изменяется:Δpx p sin φ , Δx sin φ λ– условие первого минимума при дифракции на щели (см. 4.2.2), поэтому297sin φ λ h λλ, Δpx p, Δpx Δx h .Δx λ ΔxΔxΔxцентральныймаксимумxφРис.
37.4298Лекция 385.4. Квантовомеханическое описание движения частицы5.4.1. Волновая функция Волновая функция Ψ r , t описывает состояние частицы. Волновая функция может быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции:2Ψ dPdV– квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружениячастицы в данной области пространства.Свойства волновой функции1. Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, tΨ Ψ Ψ2. Непрерывность производных,,при любых x, y, z, tx y z3. Интегрируемость при любых x, y, z, t4. Условие нормировки: Ψ x , y, z 2dxdydz 1 (обнаружение частицы во всём пространстве – достоверное событие, его вероятность равна единице.)5.4.2.
Изображение физических величин операторамиВ квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор –правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:f Qφ .Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Q :Qφ qφ .Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).При измерении физической величины q, представляемой оператором Q , могутполучаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этогооператора.Среднее значение q:q Ψ* QΨdV ,здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.299Важнейшие операторы физических величин1. Оператор координатыxx;xψ x , y , z xψ x , y , z 73.2.Оператор импульсаpx i, p y i, pz i;xzyp i ,3.здесь i – мнимая единица.Оператор момента импульсаL r p ; iL x i xjyiyk z ; iz Lx i y z i z y и т.
д.y z z y4. Оператор кинетической энергииT5.22p21 2px p2y pz2 2 Δ,2m 2m2m2mздесь Δ 2 – оператор Лапласа, m – масса частицы.Оператор полной энергии – гамильтонианH T U x , y , z ,t ,U x , y , z , t – силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величинПусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и BA, B AB B A .Операторы A и B коммутируют, еслиA, B 0 ,т. е. AB BA .Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см.5.4.5), не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).73300 Если операторы не коммутируют, т.
е. A, B 0 , то величины a и b одновременноне измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)ПРИМЕРЫ1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?Найдём коммутатор операторов x и px ; для простоты воздействуем этими операторами на функцию Ψ: ψ ψ;x px ψ x i i xx xψpx xψ i xψ i ψ i x ;xx xp p x ψ i ψ ⇒ xp p x ixxxx0.Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы,что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).2) Измеримы ли одновременно py и x?Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:ψ ψ;y px ψ y i i yx x ψ; xp , y 0 .px yψ i yxКоордината y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.Дополнительное заданиеДоказать, что проекции момента импульса не коммутируют: Lx , Ly 0 , а такжечто каждая из проекций момента импульса коммутирует с квадратом момента импульса: Lx , L2 0 .5.4.4.
Квантование физических величинЕсли физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что даннаявеличина квантуется.ПРИМЕРКвантование момента импульсаУравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульсаL2ψ L2ψ .301Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат - собственные значения оператора квадрата момента импульсаL2 2l l 1 ,(38.1)l = 0, 1, 2, …Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульсаLz ψ Lz ψ .Это уравнение мы решим – найдём собственные значения и собственные функции.