1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

37.3) известным, спроецируем уравнение(37.2) на координатные оси, выразив импульс и частоту фотона через длину волны. Из системы уравнений (37.2) и (37.3) получим выражение для длины волнырассеянного фотонаλ  λ  λC 1  cos θ  ,здесь λ – длина волны налетающего фотона, λˊ - длина волны рассеянного фотона,hλC  2,425  1012 мmec– комптоновская длина волны электрона.5.1.4. Корпускулярно-волновая двойственность свойств светаКаждой группе фотонов в классическом описании ставится в соответствие цугволны, характеризуемой напряжённостью электрического поля E и напряжённостью магнитного поля H .Объёмная плотность энергии электромагнитного поля(см. 3.14.3)DE BH ε0εE 2 .22Энергия электромагнитного поля в малом объёме dVdW  wdV ,но, с другой стороны,dW  NhνdP ,где dP – вероятность попадания фотона в объём dV, N – общее число фотонов.

Отсюдаww~dPdV– классическая плотность энергии электромагнитного излучения определяетплотность вероятности попадания фотонов в данную область пространства.295Данная картина реализуется в виде изменяющегося в пространстве распределения интенсивности света (при большом числе фотонов).Так как w ~ E2,E2 ~dPdV– квадрат модуля напряжённости электрического поля определяет плотность вероятности попадания фотона в данную область пространства.5.2. Гипотеза де БройляГипотеза де Бройля: корпускулярно-волновая двойственность присуща не только свету, но и всей материи, т.

е. все частицы обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами.Каждой движущейся частице можно поставить в соответствие волновой процесс(волну де Бройля), который характеризуется длиной волныλhpи частотойνW;hздесь p – модуль импульса, W – энергия частицы.Квадрат модуля амплитуды волны де Бройля определяет плотность вероятности обнаружения частицы в данной области пространства.

Корпускулярные свойства частицы обусловлены тем, что её масса, импульс и энергия локализованы вмалом объёме.ПРИМЕРЫ1) Пуля массой m = 10 г летит со скоростью v = 600 м/с. Её длина волны де Бройляh6,6  1034 2 1034 м  1024 Å .mv 10  6  102Волновые свойства частицы можно обнаружить благодаря явлению дифракции.Препятствия, на котором можно было бы обнаружить волновые свойства пули, несуществует.2) Электрон прошёл ускоряющее электрическое поле с разностью потенциаловU = 150 В.По закону сохранения энергии λme v2 eU ,2здесь v – конечная скорость электрона. Импульс электронаp  me v  2emeU .Длина волны де Бройля296λhh6,6  1034p2emeU2  9,1  1031  1,6  1019  1,5  1026,6  103424102  9,1  1,6  1,5  1010  м  1 Å .Период кристаллической решётки твёрдого тела – порядка 1 Å.

Можно наблюдатьдифракционную картину при рассеянии электронов на кристаллической решётке.Условие дифракционных максимумовmλ,2d sin θ  mλ ⇒ sin θ 2dздесь θ – угол дифракции, d – период решётки, m – целое число.Если пускать электроны по одному, то распределение точек на детекторе (фотопластинке) будет случайным.5.3. Соотношение неопределённостей ГейзенбергаВ квантовой физике теряет смысл понятие траектории, координаты, скорости,ускорения частицы. Приходится говорить о плотности вероятности нахождениячастицы в данной области пространства. Корректность использования классических физических величины определяется соотношениями неопределённостейГейзенберга.Нельзя одновременно с произвольной точность определить координату и соответствующую ей проекцию импульса частицы.

Между неопределённостями этихвеличин должны выполнятся соотношенияΔxΔpx  2 ,ΔyΔp y  ,2ΔzΔpz  2(37.4)(здесь Δx – неопределённость координаты x и т. п.)Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются канонически сопряжёнными; например, энергия W и время t:ΔWΔt .2Соотношения неопределённостей являются оценочными.ПРИМЕРПролёт микрочастицы через щель (дифракция электрона на щели)Попытаемся определить координату свободно летящей микрочастицы. Для этогопоставим на её пути ширму с щелью шириной Δx (РИС.

37.4). До прохождения частицы через щель px = 0, Δpx = 0, зато координата x совершенно не определена. Вмомент прохождения частицы через щель ситуация изменяется:Δpx  p sin φ , Δx sin φ  λ– условие первого минимума при дифракции на щели (см. 4.2.2), поэтому297sin φ λ h λλ, Δpx  p, Δpx Δx  h .Δx λ ΔxΔxΔxцентральныймаксимумxφРис.

37.4298Лекция 385.4. Квантовомеханическое описание движения частицы5.4.1. Волновая функция Волновая функция Ψ r , t описывает состояние частицы. Волновая функция может быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции:2Ψ dPdV– квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружениячастицы в данной области пространства.Свойства волновой функции1. Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, tΨ Ψ Ψ2. Непрерывность производных,,при любых x, y, z, tx y z3. Интегрируемость при любых x, y, z, t4. Условие нормировки:     Ψ x , y, z 2dxdydz  1  (обнаружение частицы во всём пространстве – достоверное событие, его вероятность равна единице.)5.4.2.

Изображение физических величин операторамиВ квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор –правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:f  Qφ .Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора Q :Qφ  qφ .Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).При измерении физической величины q, представляемой оператором Q , могутполучаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этогооператора.Среднее значение q:q   Ψ* QΨdV ,здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.299Важнейшие операторы физических величин1. Оператор координатыxx;xψ  x , y , z   xψ  x , y , z  73.2.Оператор импульсаpx  i, p y  i, pz  i;xzyp  i  ,3.здесь i – мнимая единица.Оператор момента импульсаL  r p  ;  iL x i xjyiyk z ; iz     Lx  i  y  z   i  z  y  и т.

д.y z  z y4. Оператор кинетической энергииT5.22p21 2px  p2y  pz2  2  Δ,2m 2m2m2mздесь Δ  2 – оператор Лапласа, m – масса частицы.Оператор полной энергии – гамильтонианH  T  U  x , y , z ,t  ,U  x , y , z , t  – силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величинПусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и BA, B  AB  B A .Операторы A и B коммутируют, еслиA, B  0 ,т. е. AB  BA .Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см.5.4.5), не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).73300 Если операторы не коммутируют, т.

е. A, B  0 , то величины a и b одновременноне измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)ПРИМЕРЫ1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?Найдём коммутатор операторов x и px ; для простоты воздействуем этими операторами на функцию Ψ: ψ ψ;x px ψ  x  i i xx xψpx xψ  i xψ  i ψ  i x ;xx  xp  p x  ψ  i ψ ⇒ xp  p x  ixxxx0.Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы,что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).2) Измеримы ли одновременно py и x?Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:ψ ψ;y px ψ  y  i i yx x ψ; xp , y  0 .px yψ  i yxКоордината y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.Дополнительное заданиеДоказать, что проекции момента импульса не коммутируют: Lx , Ly  0 , а такжечто каждая из проекций момента импульса коммутирует с квадратом момента импульса: Lx , L2  0 .5.4.4.

Квантование физических величинЕсли физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что даннаявеличина квантуется.ПРИМЕРКвантование момента импульсаУравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульсаL2ψ  L2ψ .301Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат - собственные значения оператора квадрата момента импульсаL2 2l  l  1 ,(38.1)l = 0, 1, 2, …Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульсаLz ψ  Lz ψ .Это уравнение мы решим – найдём собственные значения и собственные функции.

Характеристики

Список файлов лекций