1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Заряд конденсатора:q t   q0 cos  Ωt  θ  .2. Ток в цепи:3.πI t   q0Ωsin  Ωt  θ   q0Ωcos  Ωt  θ   .2Напряжение на резисторе:πUR t   IR  q0ΩR cos  Ωt  θ   .24. Напряжение на конденсаторе:q qUC t    0 cos  Ωt  θ  .C CАмплитуда напряжения на конденсатореqUC 0  0 .CОтношение амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде токаUqq1XC  C 0  0  0 ,I0 CI0 Cq0Ω ΩCXC 1ΩC– емкостное сопротивление.5. Напряжение на катушке индуктивности:dIUL t   Es  L  q0Ω2L cos  Ωt  θ  .dtАмплитуда напряжения на катушкеUL0  q0Ω2L .Отношение амплитуды напряжения на катушке к амплитуде токаXL U L0 q0Ω2L ΩL ,I0q0ΩX L  ΩL– индуктивное сопротивление.251Полное сопротивление цепи (30.14) можно выразить через емкостное и индуктивное сопротивление:Z  R2   X C  X L  .2Демонстрация: Роль катушки индуктивности в цепи переменного токаНайдём, при какой циклической частоте вынуждающей ЭДС амплитуды силы токав цепи и заряда конденсатора будут максимальны.

Условие экстремума 1  1 1U0    2 ΩL   2  L dI0 2   ΩC Ω C 0,0 ⇒322dΩ 2  1  ΩL  R   ΩC 11 ΩL  0 ⇒ Ω2 ,ΩCLC1Ω  Ωрез I  ω0 ;LCdq00 ⇒dΩ 11U0    2ΩR2  2  Ω2L   2ΩL   2C2 2  1  ΩL  R   ΩC 320,1R21,R2  2  Ω2L  L  0 ⇒  Ω2L C2LC1 R2 2  ω02  2β 2 .LC 2LГрафики зависимостей I0(Ω) (при разных сопротивлениях) и q0(Ω) представленына РИС. 31.1А, Б.Мощность переменного тока по закону Джоуля-ЛенцаΩ  Ωрез q πN  t   U t  I t   U0 cosΩt  I0 sin  Ωt  θ   U0 I0 cosΩt sin   Ωt  θ  2(31.1)1 ππ  U 0 I0sin θ  sin  2Ωt  θ   . U0 I0  cos  Ωt   Ωt  θ   cos  2Ωt   θ   2 222 Здесь мы воспользовались формулой тригонометрии11cos α cos β  cos  α  β   cos  α  β  .22Усредним выражение (31.1) по времени:UIUIN  0 0 sin θ  0 0 cos φ ,22где cos φ – коэффициент мощности.252I0R=0R1R2 < R10ω0Ωаq0CU0ω ω00ΩбРис.

31.1. Резонансные кривые3.14. Электромагнитные волны3.14.1. Вывод волнового уравнения для электромагнитных волнРанее мы говорили (см. 3.12.2), что переменное электрическое поле порождаетпеременное магнитное и наоборот и это приводит к возникновению электромагнитной волны. Выведем волновое уравнение из I и II уравнений Максвелла в интегральной формеDB Edl   t dS ,  Hdl   t dS .LSLS253y2,3⊗1 xOΔx4x + Δxx,z65Рис.

31.2Пусть в пространстве (однородной, изотропной, неферромагнитной среде с относительной электрической и магнитной проницаемостями ε, μ) существует переменное электрическое поле. Свободные заряды и макротоки отсутствуют. Напряжённость электрического поля направлена вдоль оси y и изменяется только вдольоси x (РИС. 31.2):E  Ex .При этом магнитная индукция будет направлена вдоль оси z:B  Bz .Мысленно выделим в пространстве прямоугольные контуры 1234 в плоскости xyи 1456 в плоскости xz (РИС. 31.2), причём ширина контуров Δx << x. Циркуляция Eпо контуру 1234Edl  E y  x  l12  E y  x  Δx  l34  E y  x   E y  x  Δx  l12  ΔE y l12 ;L1234потокком,(31.2)Bсквозь поверхность, натянутую на этот контур, взятый с обратным знаtBBBdS  BdS  Bz dS cos π  z S1234  z l12Δx .tt S1234t S1234ttS1234Подставим (31.2) и (31.3) в I уравнение Максвелла и поделим на Δx:ΔEB y l12  z l12 ;Δxtпри Δt → 0EB y z.xtЦиркуляция напряжённости магнитного поля по контуру 1456L1456Hdl  H z  x  Δx  l45  H z  x  l61  H z  x  Δx   H z  x  l45  ΔH z l45 ;(31.3)(31.4)(31.5)254ток смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур,DDDdS DdS D y dS   y S1456   y l45Δx .tt S1456t S1456ttS1456Подставим (31.5) и (31.6) во II уравнение Максвелла и поделим на ΔxDΔH zl45   y l45 ;Δxtпри Δt → 0DH z y .xt(31.6)(31.7)Никаких других соотношений между E и B , D и H быть не может.Материальные уравненияD  ε0εE , B  μ0 μH .Далее в этом параграфе все формулы будем записывать через E и H .Возьмём производную от уравнения (31.4) по x, а от уравнения (31.7) – по t: 2  μ0 μH z   2  2E y 2E yxx t  ε0εμ0 μ 2⇒x 2t 2  ε0εE y  2H zt xt 2 2E y(31.8)– волновое уравнение для Ey.Возьмём производную от уравнения (31.7) по x, а от уравнения (31.4) – по t.

Аналогично получим2H z2H zεεμμ00x 2t 2(31.9)– волновое уравнение для Hz.Общий вид волнового уравнения (для плоской волны)2 f 1 2 f,x 2 v2 t 2где v – скорость распространения бегущей волны. Сравнивая с этой записьюуравнения (31.8) и (31.9), видим, что1vε0 μ0εμ– скорость распространения электромагнитных волн; в вакуумеc1ε0 μ0 3,00  108Скорость электромагнитных волн в средеvcεμ.м.с255Напряжённости электрического и магнитного полей подчиняются одному и томуже уравнению. Это означает, что переменное электромагнитное поле может существовать только в виде бегущей волны.Общее решение волнового уравнения:E y  x , t   f1  x  vt   f2  x  vt  ,прямая волнаобратная волнааналогично для Hz. Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.Связь E и H в электромагнитной волне:ε0εE y  μ0 μH z .ДоказательствоРешение волнового уравнения (без обратной волны)E y  f  x  vt  , Hz  g  x  vt  .Подставим это решение в (31.7).

Для этого найдём производныеD yEH z ε0ε y  ε0εf    v  . g ,ttxИз (31.7) получимg  ε0εf    v  ε0εε0 μ0εμf ⇒ gε0εεεf ⇒ H z  0 E y , ч. т. д.μ0 μμ0 μ(31.10)256Лекция 323.14.2. Монохроматическая волна как решение волнового уравненияПусть источник волны создаёт возмущение Ey(0, t) = E0ycos(ωt + φ0). При этихначальных условиях решение волнового уравнения (31.8) и (31.9) будет иметьвид xE y  x , t   E0 y cos ω  t    φ0  ,v H x , t  H cos ω  t  x   φ 0z0  z v  (32.1)– уравнение плоской бегущей монохроматической электромагнитной волны(без обратной волны). «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны изображена на РИС.

32.1.Характеристики монохроматической волныE0y, H0y – амплитуда;Φ = ωt – kx + φ0 – фаза;ωk  – волновое число;vv – скорость распространения волны;ω – циклическая частота;φ0 – начальная фаза;ων– частота;2π1 2πT – период;ν ω2π v v 2πλ  vT  – длина волны.ων kEyOxHzРис.

32.1. «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитнойволны257Уравнение монохроматической электромагнитной волны при произвольнойформе волнового фронта:E  E0 cos ωt  kr  φ0 ,H  H0 cos ωt  kr  φ0 .Здесь k – волновой вектор; E0  H0 , а модули напряжённостей электрического имагнитного полей, связаны между собой соотношениемε0εE  μ0 μH[ср. (31.10)].3.14.3. Энергия электромагнитной волныПлотность потока энергии – энергетическая характеристика волны – энергия,которую волна переносит в единичный промежуток времени через единичнуюплощадку, перпендикулярную направлению распространения волны:dW;PdtdS Вт.м2Выделим в пространстве, где распространяется электромагнитная волна, малый параллелепипед, длина которого равна расстоянию,проходимому волной за малое время dt – vdt, аплощадь торца равна dS (РИС.

32.2). Объём параллелепипедаdV  vdtdS  .P  Энергия, содержащаяся в этом объёме,dW  wdV ,где w – объёмная плотность энергии электромагнитного поля;2yvdtРис. 32.2μ μHDE BH ε0εE. 02222С учётом соотношения (31.10)wwε0εE 2y22zε0εE 2y2 ε0εE 2y  ε0εμ0 μE y H z E y Hzv.ТогдаdW E y HzvvdtdS  , P E y H z dtdS dtdS  E y Hz ;P  EH – вектор Умова-Пойнтинга – вектор плотности потока энергии.

Вектор УмоваПойнтинга сонаправлен скорости волны и волновому вектору, т. е. указываетнаправление переноса энергии.258Интенсивность электромагнитной волны – среднее по модулю значение плотности потока энергии за время, во много раз превышающее период колебаний:I  P  E y Hz ε0ε 2E .μ0 μДля плоской волныε0ε E02I.μ0 μ 2Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуднапряжённостей электрического и магнитного поля.3.14.4. Шкала электромагнитных волнСамая грубая классификация электромагнитных волн по диапазону приведена вТАБЛ.

32.1. Длины волн указаны в вакууме.Таблица 32.1Шкала электромагнитных волнДиапазонРадиоволныОптическое излучение:инфракрасное излучениевидимый светультрафиолетовое излучениеРентгеновское излучениеГамма-излучениеДлина волны> 5∙10–5 м1 мм ÷ 770 нм(770 ÷ 380) нм(380 ÷ 10) нм(10 ÷ 100) нм –(0,01 ÷ 1) нм< 0,1 ммСпособ полученияИзлучение диполя, вибраторВнутриатомные переходыВзаимодействие заряженныхчастиц с веществомРадиоактивные превращения,ядерные реакции, распад частиц и т. п.3.14.5. Отражение электромагнитной волны от идеального проводникаПусть электромагнитная волна распространяетсяперпендикулярно поверхности раздела диэлектрика и проводника (РИС.

32.3).Введём обозначения – верхние индексы (для данного и СЛЕДУЮЩЕГО разделов):0 - падающая волна;zi – отражённая волна;r – преломлённая волна.xПо принципу суперпозиции полей напряжённостьрезультирующего электрического поляРис. 32.30i0iE E E , H H H .Падающая волна:00E y  x , t   Em cos  ωt  kx  , 00H z  x , t   Hm cos  ωt  kx  .ε, μy259Так как H z0 ε0ε 0Ez ,μ0 με0ε 0Em cos  ωt  kx  .μ0 μH z0  x , t  Отражённая волна:iiE y  x , t   Em cos  ωt  kx  φ  , iiH z  x , t   Hm cos  ωt  kx  φ  ;H zi  x , t  ε0ε iEm cos  ωt  kx  φ  .μ0 μЗдесь φ – разность фаз падающей и отражённой волн.На границе проводника (при x = 0)E y 0, t   0 .НоE y 0, t   E 0y 0, t   E iy 0, t   Em0 cos ωt  Emi cos  ωt  φ .Для того чтобы это равенство выполнялось при любых t, требуетсяEmi  Em0 , cos ωt   cos ωt  φ ⇒ ωt  ωt  φ  π , φ  π .Отражённая волна отличается от падающей по фазе на π;E iy  Em0 cos  ωt  φ  π   Em0 cos ωt .Для любого xE y  x , t   E 0y  E iy  Em0 cos  ωt  kx   cos  ωt  kx  .Преобразуемэтовыражение1sin α sin β  cos  α  β   cos  α  β  :2потригонометрическойE y  x , t   2Em0 sin kx sin ωtформуле(32.2)– уравнение стоячей волны.Уравнение (32.2) описывает гармонические колебания, амплитуда которых2Em0 sin kx определяется координатой.

Перенос колебаний и энергии в пространстве отсутствует, поэтому эта волна (строго говоря, не являющаяся волной),называется стоячей. На поверхности проводника – при x = 0 стоячая волна (32.2)имеет узел – точку, где амплитуда колебаний равна нулю (РИС. 32.4).Аналогично для напряжённости магнитного поляH z  x , t   H z0  H zi ε0ε 0Em cos  ωt  kx   cos  ωt  kx   μ0 μ εε 2 0 Em0 cos kx cos ωt .μ0 μ(32.3)260Это также уравнение стоячей волны, которая при x = 0 имеет пучность – точку смаксимальной амплитудой колебаний (РИС.

32.4)узелпучность00xДемонстрация:Рис. 32.4Модель стоячей волныxy261Лекция 333.14.6. Отражение и преломление электромагнитной волны на границе разделадиэлектриковСкорость электромагнитных волн в среде меньше их скорости в вакууме:n=cv– абсолютный показатель преломления среды;n = εμ .Для немагнитной среды n = ε .Выразим длину волны в среде через длину волны λ0 в вакууме:2π v 2πc λ0λ .ωnω nОтносительный показатель преломления сред 1 и 2 (РИС. 33.1)n21 Пусть электромагнитная волна падаетна границу двух сред (относительныеэлектрические и магнитные проницаемости ε1, μ1 и ε2, μ2) под углом i. Эта волначастично отражается от границы раздела сред под углом iˊ, а частично преломляется – проходит через границу разделапод углом r – углом преломления(РИС. 33.1).

Характеристики

Список файлов лекций