1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

е. будут происходить электромагнитные колебания.3.13.1. Свободные незатухающие колебания (R = 0)Схема электрической цепи, в которой происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представлена на РИС. 30.1. Так как сопротивление цепиравно нулю, ток будет изменяться по модулю и направлению, а конденсатор перезаряжаться неограниченно долго – возникнут свободные незатухающие электромагнитные колебания.Обобщённый закон Ома для контура 12 (1 и 2 – обкладки конденLсатора)(30.1)φ1  φ2 Es  0 ,I1 2Es – ЭДС самоиндукции – единственная ЭДС в этой цепи.

РазностьCпотенциалов между обкладками конденсатораqРис. 30.1φ1  φ2  U   ;(30.2)Cпо закону электромагнитной индукцииdIEs  L .(30.3)dtdqПо определению силы тока I . Подставив это выражение, а также (30.2) иdt(30.3) в уравнение (30.1):qd 2q L 2 0,Cdtd 2q q0.dt 2 LCЭто дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний (см. 1.14.2).1Обозначив ω02 , запишем его в стандартном виде (16.1)LCd 2q ω02q  0 .2dtОбщее решение этого уравнения242q t   A cos  ω0t  φ  ,(30.4)A и φ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.Собственная циклическая частота колебательного контура1ω0 LC;период свободных незатухающих электромагнитных колебаний2πT0  2π LC .ω0Зависимость тока от времениdq  Aω0 sin  ω0t  φ  .(30.5)dtПусть в начальный момент времени заряд конденсатора равен q0, а тока в цепинет.

Подставим начальные условия в общее решение (30.4) и формулу (30.5):I t  q  0  q0 q0  A cos φq  A,⇒ 0⇒I  0  0 φ  0;0   Aω0 sin φq t   q0 cos ω0t ,I  t   qω0 sin ω0t .Напряжение на конденсатореq t q0cos ω0t .CCГрафики зависимостей q(t) и I(t) при указанных начальных условиях показаны наРИС. 30.2А, Б. Видно, что ток опережает заряд конденсатора (и напряжение на конπденсаторе) по фазе на .2Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре (энергия колебательного контура) складывается из энергии электрического поля конденсатораи энергии магнитного поля катушки:U t  q2 LI 2 qm2 LIm2 const ,(30.6)2C 2 2C2где qm, Im – соответственно амплитуды заряда конденсатора и тока в цепи.

Студенты доказывают утверждение (30.6) самостоятельно.W243qq00t–qаIq0ω00t–q0ω0бРис. 30.23.13.2. Свободные затухающие колебанияПусть теперь электрическое сопротивление цепи отлично от нуля (см. схему наРИС. 30.3, содержащую элемент R).Обобщённый закон Ома для участка цепи 12:L(30.7)φ1  φ2 Es  IR .RI Подставим в это уравнение выражения (30.2) и (30.3):1 2qdI  L  IR .CCdtРис.

30.3dqУчитывая, что I , запишем это уравнение какdtd 2q R dq q0;dt 2 L dt LCобозначим(16.7)1R ω02 ,  2β , где β – коэффициент затухания; получим уравнениеLCL244d 2qdq 2β  ω02q  02dtdt(30.8)– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (см. 1.14.3). Этооднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнениеλ2  2βλ  ω02  0 .(30.9)Корни этого уравненияλ1,2  β  β 2  ω02 .Эти корни могут быть как действительными, так и комплексными.

Общее решение дифференциального уравнения (30.8)q t   A1e λ1t  A2e λ2t ,A1 и A2 – постоянные интегрирования.1. Сильное затухание (β ≥ ω0)Корни характеристического уравнения (30.9) –действительные. Общее решение дифференциального уравнения (30.8)q t   A1eββ2ω02t  A e β β2ω02tqq02– апериодическое решение (разрядка конденсатора). График этого решения представлен наРИС. 30.4 (q0 – заряд конденсатора при t = 0).0tРис.

30.42. Слабое затухание (β < ω0)Корни характеристического уравнения (30.9) – комплексные. Общее решениедифференциального уравнения (30.8)q t   A1e  β iω02  β2 t A2e  β iω02  β2 t e  βt A1ei ω02  β2 t A2e i ω02  β2 t.Обозначимω  ω02  β 2– циклическая частота свободных затухающих колебаний. Общее решениеудобно представить в видеq t   A0e  βt cos  ωt  φ  ,(30.10)где A0 и φ – постоянные интегрирования, значения которых определяются изначальных условий.Период затухающих колебаний2π2πT.ωω02  β 2Амплитуда затухающих колебанийA t   A0e  βt ;245затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой:q t   A cos  ωt  φ  .График функции (30.10) при φ = 0 показан на РИС. 30.5.q0TtРис.

30.5Зависимость тока в цепи от времениdqI t   A0e  βt   β cos  ωt  φ   ω sin  ωt  φ     A0e  βt β 2  ω2 dtβωcos  ωt  φ  sin  ωt  φ     A0e  βt β 2  ω2 sin  ωt  φ  θ  ; β 2  ω2β 2  ω2sin θcos θβtg θ  .ωπТок отстаёт от напряжения по фазе на  θ .2Введём ещё некоторые характеристики затухающих колебаний.Логарифмический декремент затуханияδ  lnA t A t  T .Выразим логарифмический декремент через другие характеристики колебаний:A0e  βt2πβδ  ln βT . βt  βTA0e eωВремя релаксации – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз:246A t A0e  βte ⇒ e βτ  e ⇒ βτ  1 , βt  βτA0e eA t  τ τ1.βЧисло колебаний за время релаксации, т.

е. число колебаний, за которое их амплитуда уменьшается в e раз,τ 1 1Ne   .T βT δОтсюда ясен физический смысл логарифмического декремента затухания.Добротность колебательного контураπ ππω ωQ  πNe .δ βT2πβ 2βЭта величина пропорциональна числу колебаний, за которое их амплитудауменьшается в e раз.Энергия затухающих колебанийВ колебательной системе с затуханием происходит диссипация энергии.

Так какэлектрическое сопротивление цепи отлично от нуля, энергия электромагнитногополя переходит во внутреннюю энергию проводников.Энергия колебаний пропорциональна квадратам амплитуд всех колеблющихсявеличин: W ~ qm2 ~ Im2 ~ Um2 ~ e 2βt .Относительное уменьшение энергии за периодΔWWW t   W t  T При малом затухании (δ << 1)W t ΔWW 1  e 2βT  1  e 2δ . 2δ . Тогда2π2πW.ΔWΔWWЧем выше добротность колебательной системы, тем медленнее убывает энергияколебаний.Q3.13.3.

Вынужденные колебанияТеперь включим в колебательный контур источник с переменCR1 2 Lной ЭДС (РИС. 30.6), изменяющейся по гармоническому закону:E  U0 cosΩt~EРис. 30.6– вынуждающей ЭДС.Обобщённый закон ома для участка 12:φ1  φ2 E Es  IR .Подставив сюда (30.2) и (30.3), получим(30.11)247qdI  U0 cosΩt  L  IR ;Cdtс учётом I dqdtd 2qdq qL 2  R   U0 cosΩt ,dtdt Cd 2q R dq q U0 cosΩt .dt 2 L dt LC LUR1 ω02 ,  2β , а также 0  F0 .

Уравнение (30.11) приОбозначим, как и ПРЕЖДЕ,LCLLмет видd 2qdq 2β  ω02q  F0 cosΩt2dtdt(30.12)– дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний. Этонеоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.Далее рассматриваем случай СЛАБОГО ЗАТУХАНИЯ.Общее решение дифференциального уравнения (30.12):q t   A0e  βt cos  ωt  φ   q0 cos  Ωt  φ0  .(30.13)общее решение ОДУ частное решение НДУОбщее решение однородного дифференциального уравнения [(30.8) или (30.12)без правой части] быстро затухает, далее мы его учитывать не будем. Найдём коэффициенты q0 и φ0 в частном решении неоднородного уравнения [и убедимся втом, что это решение действительно имеет вид второго слагаемого в выражении(30.13)].Подставим в (30.12):q t   q0 cos  Ωt  φ0  ,I t  dq Ωq0 sin  Ωt  φ0  ,dtd 2q Ω2q0 cos  Ωt  φ0  ;dt 2получимΩ2q0 cos  Ωt  φ0   2βΩq0 sin  Ωt  φ0   ω02q0 cos  Ωt  φ0   F0 cosΩt .Преобразуем левую часть этого равенства:248q0  ω02  Ω2 cos  Ωt  φ0   2βΩsin  Ωt  φ0    q0ω02  Ω2ω20Ω22 4β Ω2 q0cos θ2cos  Ωt  φ0  ω Ω2202ω20 Ω22 4 β 2Ω 2 sin  Ωt  φ0   2ω02  Ω2  4β 2Ω22βΩ 4β 2Ω2 cos  Ωt  φ0  θ  ,tg θ sin θ2βΩ.ω02  Ω2Итак,q0ω20 Ω22 4β2Ω2 cos  Ωt  φ0  θ   F0 cosΩt .Это равенство должно выполняться при любых t, поэтому2222 2q0  ω0  Ω   4β Ω  F0 ,cos  Ωt  φ0  θ   cosΩt .Отсюда получим:φ0  θ– колебания заряда опережают вынуждающую ЭДС по фазе на θ;F0q0 2ω02  Ω2  4β 2Ω2– амплитуда заряда конденсатора.Запишем окончательные выражения зависимостей заряда конденсатора и силытока в цепи от времени:F0q t  cos  Ωt  θ  ,2222 2ω0  Ω  4β ΩI0 – амплитуда силы токаF0ΩI t   sin  Ωt  θ 2222 2ω0  Ω  4β ΩππТак как  sin  Ωt  θ   sin θ  Ωt   cos   θ  Ωt   cos  Ωt  θ   , ток отстаёт по22πфазе от заряда конденсатора на .2ОбозначимZU0I0– полное сопротивление (импеданс) цепи.

(Эта величина вводится по аналогии сзаконом Ома для участка цепи U = IR: если сопротивление R проводника – это коэффициент пропорциональности между током и напряжением на этом участке, то249импеданс Z – это коэффициент пропорциональности между амплитудным значением тока и амплитудным значением напряжения на клеммах участка цепи,т.

е. вынуждающей ЭДС.)Выразим полное сопротивление цепи, а также сдвиг фаз между зарядом конденсатора и вынуждающей ЭДС через её параметры R, L, C:ZU0ω20 Ω2F0Ω2 4 β 2 Ω22UL  1R2 0  Ω2   4 2 Ω2 U0Ω  LC4L222 LL2  1L2 R2 2Ω2L  1222Ω   2 2 Ω   ΩL  , R  R 2Ω  LCΩ  Ω L ΩC ΩLCtg θ 2RΩRR;2 1 L  1ΩL22L Ω   ΩL  Ω   ΩC LC  ΩLC2R 1Z  R  ΩL  , tg θ . 1 ΩC ΩC  ΩL 2(30.14)250Лекция 313.13.3. Вынужденные колебания (продолжение)Амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатораU0IU0, q0  0 .I0 22Ω 1 1R2   ΩL Ω R2   ΩL  ΩC ΩCОбобщим сказанное в этом разделе и проанализируем, как изменяется ток инапряжения на разных элементах цепи.1.

Характеристики

Список файлов лекций