Главная » Просмотр файлов » 1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60

1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 42

Файл №805623 1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)) 42 страница1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623) страница 422020-08-22СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

В сферических координатах оператор проекции момента импульса записывается как.Lz  iφУравнение для собственных функций и собственных значенийψi Lz ψ .φ(38.2)Будем искать решение этого уравнения в формеψ  eαφ .Подставим эту функцию в уравнение (38.2):i αeαφ  Lz eαφ ⇒ Lz  i α .ОтсюдаiLzφLz iLz, ψe .iФункция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимоLψ φ  2π   ψ  φ  ⇒ z  m ,αm – целое;Lz  m ,(38.3)m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,m l  l  1 ⇒ m = 0, ±1, ±2, …, ±l.25.4.5.

Уравнение ШрёдингераОсновное уравнение нерелятивистской квантовой механики:22mΔΨ  UΨ  iΨt(38.4)илиHΨ  iΨt– временнόе уравнение Шрёдингера.Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.302Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:Ψ  x , y , z ,t   ψ x , y , z  eiWt,(38.5)где W – полная энергия частицы.

Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера(38.4):22meiWtΔψ  U  x , y , z  ψeiWt iW  i i ψ eWHψ  Wψt,(38.6)– уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:Δψ 2m2W  U  ψ  0 .(38.7)5.5. Некоторые квантовомеханические задачи5.5.1. Свободная частица с энергией WРассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид Δ ция U = 0. Уравнение Шрёдингера:d2; силовая функdx 2d 2ψ 2m 2 Wψ  0 .(38.8)dx 2Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k – неизвестная константа.

Производные волновой функцииdψd 2ψ2 ikAeikx  ikψ ,  ik  Aeikx  k 2ψ .2dxdxПодставим эти производные в уравнение (38.8):2mk 2ψ  2 Wψ  0 ;k2 2mW22mW⇒ kψ  Ae2mWix;,A – постоянная нормировки. Полная волновая функцияΨ  x , t   AeДействительная часть этой функцииiWt2mW x.Re Ψ  x , t   A cos Wt  2mW x– уравнение бегущей волны.Вероятность обнаружения частицы3032Ψ Aвезде одинакова.5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубиныПотенциальная яма – область пространUства, в которой находится минимум потенциальной энергии частицы. В даннойзадаче рассматривается потенциальнаяIIIIIIяма бесконечной глубины, т. е. в областидлиной l потенциальная энергия мини- UI → ∞UII = 0UIII → ∞мальна (равна нулю), а во всём остальномпространстве она стремится к бесконечности.

График потенциальной энергии0lxприведён на РИС. 38.1.В областях I и III, где потенциальная энергия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е.Рис. 38.1ψI  0,ψIII  0.Уравнение Шрёдингера для области IId 2ψII 2m 2 WψII  0 .dx 2(38.9)Введём обозначениеk2 2m2W,тогда уравнение (38.9) примет видd 2ψII k 2ψII  0 .2dxРешение этого уравненияψII  x   Acos  kx  φ  .Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции.

Волновая функциядолжна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:π A cos φ  0  φ  ,ψII  0  0,2⇒ψl0 A cos  kl  φ   0  sin kl  0; IIπnk   , n = 1, 2, …lПоэтому πn ψII  A sin x. l Энергия частицы3042 2kπ 2n2 2, n = 1, 2, …W 22ml 2mВидно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.Условие нормировки:ll2222  πn 0 ψII  x  dx  A 0 sin  l x  dx  1 ⇒ A  l .Итак,ψII 2 πn sin  x  ,l l (38.10)22 πn (38.11)ψII  sin2 x.l l Графики функций (38.10) и (38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС. 38.2А, Б.n=1ψIIn=1n=20lxn =2l0аxбРис.

38.2Интервал энергий между соседними уровнямиπ2 2 π2 2π2 222n1n2n1n  2ml 2 2ml 2 ml 2при достаточно больших n.Энергетическая диаграмма частицы в бесконечнойWпотенциальной яме изображена на РИС. 38.3.ΔW n=2n=10lРис. 38.3x305Лекция 395.5.3. Потенциальный барьер.

Туннельный эффектПотенциальный барьер – область пространства, в которой находится максимумпотенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).UUU0U0IUI = 0IIUII = U0IIIUIII = 00lIUI = 0xIIUII = U00Рис. 39.1xРис. 39.2Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС.

39.2:UI  0,UII  U0 .Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишемстационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтомуd2Δ  2 .)dxОбласть IОбласть IId 2ψI 2m 2 WψI  0 .dx 2Обозначимk2 2m2W.d 2ψII 2m 2 W  U0  ψII  0 .dx 2Обозначим2mα 2  2 U0  W  .Получим систему дифференциальных уравненийψI k 2ψI  0,2ψII  α ψII  0.Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx.

Тогда ψˊ = λeλx,ψˊˊ = λ2eλx;2 λx2 λx λI e I  k e I  0, 2 λII x2 λII x λIIe  α e  0; λ2I  k 2  0, λI  ik ,⇒ 22 λII  α  0; λII  α ;ikx ikxψI  A1e  B1e ,αx αxψII  A2e  B2e .Здесь i – мнимая единица, A1, B1, A2, B2 – постоянные.(39.1)306Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 –отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера.

Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.Найдём коэффициенты A2 и B1. Условие непрерывности волновой функции награнице барьера:ψI 0  ψII 0 ⇒ A1  B1  B2 .Условие непрерывности производных волновой функции:ψI 0  ψII 0 ⇒ ikA1  ikB1  αB2 .(39.2)(39.3)Из (39.2) и (39.3) получим2ikA1 .(39.4)ik  αВероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется выB2 ражением ψI 0 ~ A12 .Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы2внутри барьера на расстоянии x от его границыψII  x   B2 e αx22~ e 2αx .Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрачности) барьера – вероятность прохождения барьера частицей:DψII  l 2ψI  02.Подставим сюда функции (39.1).

С учётом (39.4) получим2DB2 e 2αlA1222ik4k 2 2αl 4W 2αle 2αl  2e e .ik  αk  α2U0В большинстве реальных задач4W 1 . Тогда D ≈ e–2αl,U0De22mU0 W l.Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. В этот состоит туннельный эффект.Численная оценкаЕсли U0 – W = 5 эВ, то при l = 1 Å D = 1∙10–1;l = 2 Å D = 8∙10–5;l = 5 Å D = 5∙10–7.Туннельный эффект широко применяется в технике.

Большой ток при холоднойэмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом.3075.5.4. Гармонический осцилляторГармонический осциллятор – частица, совершающая одномерное движение поддействием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силовогополяUkx 2.2График U(x) представлен на РИС. 39.3.

Собственная частота осциллятора ω Uk;mmω2 x 2.2Стационарное уравнение Шрёдингера:d 2ψ 2m mω2 x 2 Wψ  0 ,2 dx 22 здесь W – полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическое решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.Собственные значения энергии гармонического осUциллятора1Wn   n   ω , n  0,1,2,2Энергия гармонического осциллятора квантуется,Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг отдруга на одинаковую величинуΔW  ω  hν .Минимально возможная энергия гармонического осциллятора – нулевая энергияW0 ω.2Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, чтоосциллятор излучает порциями – квантами.W2W1W00xРис. 39.35.6. Атом водорода5.6.1. Модель атома Резерфорда-БораАтом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов74.

(С классической точки зрения это невозможно – электрон упал бы на ядро!)Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электронаme :mp  1836me ,поэтому ядро можно считать неподвижным.По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим представлениям же об орбитах говорить бессмысленно.74308U0mp⊕0Wprr⊝meРис.

39.4Рис. 39.5Потенциал электростатического поля ядраZe,φ4πε0rгде Z – заряд ядра (число протонов в ядре), r – расстояние от ядра до электрона.Потенциальная энергия электрона в этом полеU Ze2.4πε0rГрафик зависимости U (r) представлен на РИС.

39.5.Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электрона, – водородоподобный ион.5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решениеСтационарное уравнение Шрёдингера2m Ze2 Δψ  2  W ψ  0 ,4πε0r где m – масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующемразделах).Так как поле – центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в виде1   2 ψ 1 ψ 1 2ψ 2m Ze2 rsinθW ψ  0 . (39.5)2 r 2 r  r  r 2 sin θ θ θ  r 2 sin θ φ24πεr0 Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r),с энергией W1.

Тогдаd 2ψ1 2 dψ1 2m Ze2  2  W1  ψ1  0 .dr 2 r dr4πε0r Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1  Ceцииrr0(39.6). Производные этой функ-309rrdψ1ψ d 2ψ1 C  r0 ψ1C   e r0   1 , e  2 .drr0r0 dr 2 r02r0Подставим эти выражения в уравнение (39.6):ψ1 2 ψ1 2m Ze2 W ψ1  012 r02 r r04πεr0 2(ψ1 ≠ 0). Домножив это уравнение на2m, получим2 2Ze21 2Ze2  W1  .2mr022mr0r 4πε0r r  mr0 4πε0 Это равенство должно выполняться при любых r, в т. ч. при r → ∞. В таком случаеправая часть этого равенства стремится к нулю, а, следовательно, и левая частьдолжна быть также равна нулю:222mr02 W1  0 ⇒ W1  22mr02.При r ≠ 0 должны выполняться равенства 2 W1  0,2 2mr0 2Ze2 0. mr0 4πε0Из этой системы уравнений получим24πε0 2m  Ze2 r0 ,W .12 2  4πε0 Ze2mЧисленное значениеПри Z = 1 W1 = 13,6 эВ; r0 = 0,529 Å – 1-ый боровский радиус.Вероятность обнаружения электрона втонком сферическом слое радиуса r и толщиной dr2dP  ψ1 4πr dr  C e222rr04πr 2dr ;2rdP C 2 4πr 2e r0 .drГрафик этой функции изображён наРИС.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,2 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее