1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

В сферических координатах оператор проекции момента импульса записывается как.Lz  iφУравнение для собственных функций и собственных значенийψi Lz ψ .φ(38.2)Будем искать решение этого уравнения в формеψ  eαφ .Подставим эту функцию в уравнение (38.2):i αeαφ  Lz eαφ ⇒ Lz  i α .ОтсюдаiLzφLz iLz, ψe .iФункция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимоLψ φ  2π   ψ  φ  ⇒ z  m ,αm – целое;Lz  m ,(38.3)m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,m l  l  1 ⇒ m = 0, ±1, ±2, …, ±l.25.4.5.

Уравнение ШрёдингераОсновное уравнение нерелятивистской квантовой механики:22mΔΨ  UΨ  iΨt(38.4)илиHΨ  iΨt– временнόе уравнение Шрёдингера.Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.302Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:Ψ  x , y , z ,t   ψ x , y , z  eiWt,(38.5)где W – полная энергия частицы.

Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера(38.4):22meiWtΔψ  U  x , y , z  ψeiWt iW  i i ψ eWHψ  Wψt,(38.6)– уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:Δψ 2m2W  U  ψ  0 .(38.7)5.5. Некоторые квантовомеханические задачи5.5.1. Свободная частица с энергией WРассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид Δ ция U = 0. Уравнение Шрёдингера:d2; силовая функdx 2d 2ψ 2m 2 Wψ  0 .(38.8)dx 2Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k – неизвестная константа.

Производные волновой функцииdψd 2ψ2 ikAeikx  ikψ ,  ik  Aeikx  k 2ψ .2dxdxПодставим эти производные в уравнение (38.8):2mk 2ψ  2 Wψ  0 ;k2 2mW22mW⇒ kψ  Ae2mWix;,A – постоянная нормировки. Полная волновая функцияΨ  x , t   AeДействительная часть этой функцииiWt2mW x.Re Ψ  x , t   A cos Wt  2mW x– уравнение бегущей волны.Вероятность обнаружения частицы3032Ψ Aвезде одинакова.5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубиныПотенциальная яма – область пространUства, в которой находится минимум потенциальной энергии частицы. В даннойзадаче рассматривается потенциальнаяIIIIIIяма бесконечной глубины, т. е. в областидлиной l потенциальная энергия мини- UI → ∞UII = 0UIII → ∞мальна (равна нулю), а во всём остальномпространстве она стремится к бесконечности.

График потенциальной энергии0lxприведён на РИС. 38.1.В областях I и III, где потенциальная энергия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е.Рис. 38.1ψI  0,ψIII  0.Уравнение Шрёдингера для области IId 2ψII 2m 2 WψII  0 .dx 2(38.9)Введём обозначениеk2 2m2W,тогда уравнение (38.9) примет видd 2ψII k 2ψII  0 .2dxРешение этого уравненияψII  x   Acos  kx  φ  .Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции.

Волновая функциядолжна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:π A cos φ  0  φ  ,ψII  0  0,2⇒ψl0 A cos  kl  φ   0  sin kl  0; IIπnk   , n = 1, 2, …lПоэтому πn ψII  A sin x. l Энергия частицы3042 2kπ 2n2 2, n = 1, 2, …W 22ml 2mВидно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.Условие нормировки:ll2222  πn 0 ψII  x  dx  A 0 sin  l x  dx  1 ⇒ A  l .Итак,ψII 2 πn sin  x  ,l l (38.10)22 πn (38.11)ψII  sin2 x.l l Графики функций (38.10) и (38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС. 38.2А, Б.n=1ψIIn=1n=20lxn =2l0аxбРис.

38.2Интервал энергий между соседними уровнямиπ2 2 π2 2π2 222n1n2n1n  2ml 2 2ml 2 ml 2при достаточно больших n.Энергетическая диаграмма частицы в бесконечнойWпотенциальной яме изображена на РИС. 38.3.ΔW n=2n=10lРис. 38.3x305Лекция 395.5.3. Потенциальный барьер.

Туннельный эффектПотенциальный барьер – область пространства, в которой находится максимумпотенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).UUU0U0IUI = 0IIUII = U0IIIUIII = 00lIUI = 0xIIUII = U00Рис. 39.1xРис. 39.2Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС.

39.2:UI  0,UII  U0 .Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишемстационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтомуd2Δ  2 .)dxОбласть IОбласть IId 2ψI 2m 2 WψI  0 .dx 2Обозначимk2 2m2W.d 2ψII 2m 2 W  U0  ψII  0 .dx 2Обозначим2mα 2  2 U0  W  .Получим систему дифференциальных уравненийψI k 2ψI  0,2ψII  α ψII  0.Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx.

Тогда ψˊ = λeλx,ψˊˊ = λ2eλx;2 λx2 λx λI e I  k e I  0, 2 λII x2 λII x λIIe  α e  0; λ2I  k 2  0, λI  ik ,⇒ 22 λII  α  0; λII  α ;ikx ikxψI  A1e  B1e ,αx αxψII  A2e  B2e .Здесь i – мнимая единица, A1, B1, A2, B2 – постоянные.(39.1)306Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 –отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера.

Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.Найдём коэффициенты A2 и B1. Условие непрерывности волновой функции награнице барьера:ψI 0  ψII 0 ⇒ A1  B1  B2 .Условие непрерывности производных волновой функции:ψI 0  ψII 0 ⇒ ikA1  ikB1  αB2 .(39.2)(39.3)Из (39.2) и (39.3) получим2ikA1 .(39.4)ik  αВероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется выB2 ражением ψI 0 ~ A12 .Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы2внутри барьера на расстоянии x от его границыψII  x   B2 e αx22~ e 2αx .Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрачности) барьера – вероятность прохождения барьера частицей:DψII  l 2ψI  02.Подставим сюда функции (39.1).

С учётом (39.4) получим2DB2 e 2αlA1222ik4k 2 2αl 4W 2αle 2αl  2e e .ik  αk  α2U0В большинстве реальных задач4W 1 . Тогда D ≈ e–2αl,U0De22mU0 W l.Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. В этот состоит туннельный эффект.Численная оценкаЕсли U0 – W = 5 эВ, то при l = 1 Å D = 1∙10–1;l = 2 Å D = 8∙10–5;l = 5 Å D = 5∙10–7.Туннельный эффект широко применяется в технике.

Большой ток при холоднойэмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом.3075.5.4. Гармонический осцилляторГармонический осциллятор – частица, совершающая одномерное движение поддействием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силовогополяUkx 2.2График U(x) представлен на РИС. 39.3.

Собственная частота осциллятора ω Uk;mmω2 x 2.2Стационарное уравнение Шрёдингера:d 2ψ 2m mω2 x 2 Wψ  0 ,2 dx 22 здесь W – полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическое решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.Собственные значения энергии гармонического осUциллятора1Wn   n   ω , n  0,1,2,2Энергия гармонического осциллятора квантуется,Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг отдруга на одинаковую величинуΔW  ω  hν .Минимально возможная энергия гармонического осциллятора – нулевая энергияW0 ω.2Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, чтоосциллятор излучает порциями – квантами.W2W1W00xРис. 39.35.6. Атом водорода5.6.1. Модель атома Резерфорда-БораАтом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов74.

(С классической точки зрения это невозможно – электрон упал бы на ядро!)Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электронаme :mp  1836me ,поэтому ядро можно считать неподвижным.По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим представлениям же об орбитах говорить бессмысленно.74308U0mp⊕0Wprr⊝meРис.

39.4Рис. 39.5Потенциал электростатического поля ядраZe,φ4πε0rгде Z – заряд ядра (число протонов в ядре), r – расстояние от ядра до электрона.Потенциальная энергия электрона в этом полеU Ze2.4πε0rГрафик зависимости U (r) представлен на РИС.

39.5.Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электрона, – водородоподобный ион.5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решениеСтационарное уравнение Шрёдингера2m Ze2 Δψ  2  W ψ  0 ,4πε0r где m – масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующемразделах).Так как поле – центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в виде1   2 ψ 1 ψ 1 2ψ 2m Ze2 rsinθW ψ  0 . (39.5)2 r 2 r  r  r 2 sin θ θ θ  r 2 sin θ φ24πεr0 Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r),с энергией W1.

Тогдаd 2ψ1 2 dψ1 2m Ze2  2  W1  ψ1  0 .dr 2 r dr4πε0r Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1  Ceцииrr0(39.6). Производные этой функ-309rrdψ1ψ d 2ψ1 C  r0 ψ1C   e r0   1 , e  2 .drr0r0 dr 2 r02r0Подставим эти выражения в уравнение (39.6):ψ1 2 ψ1 2m Ze2 W ψ1  012 r02 r r04πεr0 2(ψ1 ≠ 0). Домножив это уравнение на2m, получим2 2Ze21 2Ze2  W1  .2mr022mr0r 4πε0r r  mr0 4πε0 Это равенство должно выполняться при любых r, в т. ч. при r → ∞. В таком случаеправая часть этого равенства стремится к нулю, а, следовательно, и левая частьдолжна быть также равна нулю:222mr02 W1  0 ⇒ W1  22mr02.При r ≠ 0 должны выполняться равенства 2 W1  0,2 2mr0 2Ze2 0. mr0 4πε0Из этой системы уравнений получим24πε0 2m  Ze2 r0 ,W .12 2  4πε0 Ze2mЧисленное значениеПри Z = 1 W1 = 13,6 эВ; r0 = 0,529 Å – 1-ый боровский радиус.Вероятность обнаружения электрона втонком сферическом слое радиуса r и толщиной dr2dP  ψ1 4πr dr  C e222rr04πr 2dr ;2rdP C 2 4πr 2e r0 .drГрафик этой функции изображён наРИС.

Характеристики

Список файлов лекций