1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

42.2 показаны все возможные микросостояния такой макросистемы в случае, если она состоит из классических частиц, фермионов и бозонов. Статистический вес системы Ω0 –– общее число микросостояний, в которых может находиться данная макросистема.Таблица 42.2Классические частицыAABBAБозоныФермионыΩ0  3Ω0  1BAΩ0  4B6.1.6. Функция распределенияФункция распределения (см. 2.7.1) f(εi) определяется средней заполняемостьюфазовых ячеек изобразительными точками (числом точек в одной ячейке) в малой области фазового пространства:327f  εi  dN  εi dg  εi ,где dN(εi) – число частиц, а dg(εi) – число ячеек, в которых энергия частицы принимает значения от εi до εi + dε.Проведя термодинамический расчёт, можно получить функции распределения,которые приведены в ТАБЛ. 42.3 (k – постоянная Больцмана).

Это распределениечастиц по ячейкам εi, а не по энергиям ε!Таблица 42.3СпинСтатистикаПлотностьзаполнения ячеекФункцияраспределенияХимическийпотенциалТемпература(см. 6.1.7)Классическиечастицысвойства частицне важныМаксвелла-БольцманаN1gf  εi   eεi  μkTФермионыБозоныполуцелыйцелыйФерми-ДиракаN1gБозе-ЭйнштейнаN~1g1f  εi  eμ0εi  μkT1f  εi  1eεi  μkT1μ0μ0T  TкрT  Tкр6.1.7. Критерий вырождения газаИндивидуальные свойства частиц влияют на поведение макросистемы толькоNN 1  . Такая системапри высокой плотности заполнения фазовых ячеек  ~ 1,ggподчиняется квантовой статистике.

Подобный газ называется вырожденным.N1  индивидуальные свойства чаПри низкой плотности заполнения ячеек gстиц не важны и работают законы классической физики. Такой газ называетсяневырожденным.Параметром, который разграничивает вырожденный и невырожденный газ, является температура. Если T > Tкр, где T – критическая температура, то газ невырожден. Если T < Tкр, то газ вырожден.Можно показать, чтоh2n2 3Tкр ~,3km0где n – концентрация газа, m0 – масса частицы.Численная оценкаДля идеального газа, состоящего из молекул, Tкр ~ 5 К, т. е.

этот газ не вырожден.Для электронного газа в металле Tкр ~ 5∙104 К, т. е. этот газ вырожден.3286.2. Распределение молекул идеального газа по энергиям. Химический потенциалидеального газаЭта тема рассматривалась в I семестреf(εi)(2.7.2, 2.7.3). Подойдём к этому вопросу сдругой стороны.Функция распределенияf  εi   eεi  μkT,(42.1)μ < 0; график функции распределенияпредставлен на РИС.

42.2. Газ не вырожден,т. е. f(εi) << 1.μμ0Подсчитаем число частиц, энергия которых лежит в интервале от εi до εi + dε. ПоРис. 42.2определению функции распределенияdNεif  εi  ⇒ dNεi  f  εi  dgεi .dgεiεiДалее индекс i опустим. Число фазовых ячеекdΓ,dg Δγгде dΓ – объём области фазового пространства, соответствующей энергиям частицh3от ε до ε + dε; Δγ – объём фазовой ячейки.2Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты. ТогдаdΓ    dxdydz  dpx dp ydpz  VdΓp , VV – объём сосуда, в котором находится газ;VdΓdg  3 p .h 2Найдём dΓp – элемент объёма в пространстве импульсов – трехмерном подпространстве фазового пространства.

Выразим энергию частицы через её импульс:ε(42.2)pzdpp2.2m0Энергия частицы зависит только от модуля импульса. Поэтому разбиваем подпространство импульсов на бесконечно тонкие сферические слои радиусом p и толщиной dp (РИС. 42.3). Объём такого слояdΓp  4πp dp .p0px2Подставим это выражение в (42.2):Рис. 42.3py329dg V 4πp2dp.h3 2Перейдём от p к ε:p  2m0ε , dp  2m0dεm0 dε;2 ε2 εV 4π  2m0ε m0 dε 16πVm03 2εdε .h3 22 εh3 2Число частиц, учитывая вид функции распределения (42.1),dg dNε  f  ε  dg 16πVm03 2εeh3 2εμkTdε .Найдём химический потенциал из условия нормировки  dNε  N :N016πVm03 2h3 2εeεμkTdε  4πV  2m0 32eh30μkTεeεkTdε 322 4πV  2m 3 2 μμ2V  2πm0kT π320kTkTee ; kT  h32h3μ  kT lnμe kT Nh32V  2πm0kT 32Nh32V  2πm0kT 32;,2εε16πVm03 2Nh32NkTkTdNε εedεεedε .3232h3 2 2V 2πm0kT π  kT Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятностипопадания частицы в данный интервал энергий:F ε εdNε2kTεe.32Ndεπ  kT Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС.

42.4.Среднее значение энергии частицыε  εF  ε  dε0 F  ε  dε03 kT .21330F(ε)T1T2 > T10Рис. 42.4ε331Лекция 436.3. Тепловое излучение. Фотонный газ6.3.1. Тепловое излучение и его характеристикиТепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое телами за счётих внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре.Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическомравновесии с излучающим телом.Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) –энергия, испускаемая телом в единичный промежуток с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:RT dWВт,  RT   2 .dSdtмСпектральная излучательная (испускательная) способность – энергия, испускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток времени по всем направлениям в единичном интервале частот77 (длин волн):rω ,T dWdW, rλ ,T ;dSdtdωdSdtdλВт  сВтrω ,T   2 , rλ ,T   3 .ммСвязь интегральной и спектральной излучательных способностей:dRdRrω ,T  T , rλ ,T  T ;dωdλ00RT   rω ,T dω   rλ ,T dλ .Связь rω, T и rλ, T:2π v 2π v dλ  d   2 dω ;ω ω dωdω  ω2 4π 2 v2 2πv2π v rω ,Trω ,T  2 rω ,T ,(43.1)dλ2π vdω 2π vλ2λздесь v – скорость света в среде.Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, равнадоле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω,которая поглощается этим телом:rω ,T dω  rλ ,T dλ ⇒ rλ ,T  rω ,Taω ,T dWпогл.dWпадПлотность энергии излучения – энергия излучения в единичном объёме:В этом параграфе частота – это циклическая частота ω.

Все формулы, содержащие эту величину,ωможно записать через частоту ν .2π77332dWДж, wT   3 .dVмСпектральная плотность энергии излучения– плотность энергии излучения,приходящаяся на единичный интервал частот78:wT uω ,T dwTДж  c, uω ,T  .dωм3Связь uω, T и wT:wT   uω ,T dω .0Связь rω, T и uω, T:vrω ,T  uω ,T .4(43.2)ДоказательствоПусть на чёрную (см. 6.3.2) стенку летит поток фотонов, падающих по нормали кповерхности тела. Плотность потока фотонов равна n, т. е.

на единичный участокстенки падает в единичный промежуток времени vn фотонов. При поглощенииεкаждый фотон передаёт стенке импульса p  , где ε – энергия фотона. Общийvимпульс, т. е. давление света на стенку,nε n ωP  np  .vvПусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω = dω. Энергия этих фотоновdW  εdnω  ωdnω  uω,T dω .Фотоны летят внутри полости по всем направлениям.

Число ударов фотонов о1стенку в единичный промежуток времени равно vdnω . Поэтому4vdW  ωdnω .4Эта же величина равна rω, Tdω. Из этого следуетrvvvrω ,T dω  ωdnω  uω ,T dω ⇒ ω ,T  , ч. т. д.uω ,T 444Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температурыи частоты.6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон КирхгофаСерое тело – тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты(длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:aω,T  aT  1 .78Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T.333Чёрное тело (абсолютно чёрное тело) – тело, поглощающее всё падающее нанего излучение:aω0 ,T  aT0  1 .Модель чёрного телаАбсолютно чёрных тел в природе не бывает, но можно создать объект, по своим оптическим свойствамсколь угодно приближенный к чёрному телу.

В закрытом сосуде (лучше с зачернённой внутренней поверхностью) нужно сделать малое по сравнению сразмерами сосуда отверстие (РИС. 43.1). Если на этоотверстие падает свет, то, проходя через отверстие,он либо поглощается внутренней поверхностью сосуда, либо отражается от неё, затем снова падает навнутреннюю поверхность, опять поглощается илиРис. 43.1отражается и т. д. Таким образом, свет, падающий наотверстие, практически не выходит из него, т. е. отверстие является чёрным телом.Демонстрация: Модель абсолютно чёрного телаЗакон Кирхгофа: отношение спектральной поглощательной и излучательнойспособностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией частоты (длины волны), равной спектральной излучательной способностичёрного тела;rω ,Taω ,T rω0,T .ДоказательствоПусть внутри чёрной оболочки помещено нечёрное тело (РИС.

43.2). Так как оба тела находятся в равновесии с излучением, энергия, поглощённая участком поверхности нечёрного телаплощадью dS в любом малом интервале частотdω за время dt, равно излучённой энергии в томже интервале:dWпогл  dWизл .По определению спектральной поглощательнойспособностиdWпогл  aω ,T dWпад ,чёрное телонечёрное телоРис. 43.2где dWпад – энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадкув тот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной способностиdWизл  rω,T dωdSdt .На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько жеизлучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:0.dWпад  dWпад334Но чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно,столько же излучает:000dWпад dWпогл dWизл rω0,T dωdSdt .Из этих равенств следует, чтоrω,T dωdSdt  aω,T rω0,T dωdSdt ⇒Демонстрация:rω ,Taω ,T rω0,T , ч.

т. д.Кубок Лесли6.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dεТак как фотоны – бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике БозеЭйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам1.f  εi   εi  μkTe1Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частицN ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газстремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:U0.N U Но по определению химического потенциала μ   const . Поэтому N VS constμ 0 .С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как1f ε  εe kT  1(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i).По определению функции распределенияdNf ε  ε ,dgгде dNε – число фотонов с энергией от ε до ε + dε, dg – число ячеек, соответствующих этой энергии.Число фазовых ячеек в фазовом объёме dΓ, в котором энергия частиц лежит ε доε + dε,dΓdg  3 ,h 2так как h3/2 – объём фазовой ячейки.

Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,dΓ    dxdydz  dpx dp ydpz  VdΓp , V335где V – объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓp – элемент объёма вподпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуляимпульса, а не от его направления, выбираем dΓp в виде тонкого сферическогослоя радиуса p и толщины dp (РИС. 42.3):dΓp  4πp2dp .Так как энергия фотона ε = cp (c – скорость света в вакууме; если излучение распространяется в среде, в всех формулах этого параграфа можно заменить c на v),dεε4πε2dεp  , dp ⇒ dΓp ;ccc3dg V  2  4πε2dε 8πV 2 3 3 ε dε ;c3h3chdNε 8πV ε2dεc 3h3 kTεe 1илиVdNε  2 3πcε2dε3eεkT.(43.3)16.3.4. Спектральная излучательная способность чёрного телаЭнергия фотонов с энергией ε до ε + dε в объёме VdW  εdNε .Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излученияωdNεdW.uω ,T VdωVdωПодставив сюда выражение (43.3), получимuω ,T ω VV π 2c323ω2 dωω3.π 2c3 kTω kTωe 1 e  1  dωИз соотношения (43.2) следует, чтоrω ,Tc uω ,T  2 244π cω3eωkT.1Из (43.1)rλ ,T Итак,4π 2c 2152π c2π cλ λkT3  λkTλ e 1 1e212πc h1 5.2π chcλ  λkT λkT 1e e  12πc2πcrω ,T  2 2 22λ4π c λ4π 2c 2λ58π 3c 3336rω ,T ω32πc 2eωkT, rλ ,T 12πc 2h15hcλ  λkT e  1(43.4)– формула Планка.График функции rω, T представлен на РИС.

Характеристики

Список файлов лекций