1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

23.11). Параметры E1, E2, E3, R1, R2, R3 известны. Найти токиII2 R2E2в каждой из ветвей цепи.12Число узлов в цепи N = 2, число независимых контуров k = 2.III3 R3E3Произвольно обозначим направления токов в ветвях цепи, выберем направления обхода контуров I и II (см. РИС. 23.11). Можно было бы выбрать другие два из трёх замкнутых контуров вРис. 23.11этой цепи.189Запишем уравнение по I правилу Кирхгофа для узла 1 и уравнения по II правилуКирхгофа для контуров I и II:1: I1  I2  I3  0;I : I1R1  I2R2 E1 E2 ,II : I2R2  I3R3 E2 E3 .Эта система содержит 3 уравнения с 3 неизвестными. Студентам предлагаетсярешить её самостоятельно.190Лекция 243.6.5. Закон Джоуля-ЛенцаПри протекании электрического тока энергия электрического поля – работа сторонних сил расходуется на приращение внутренней энергии проводника(A = ΔU = Q – количество теплоты, выделившееся в цепи).Работа электростатического поля по переносу заряда dq по однородному участкуцепи 1-2 (РИС.

23.7)δA    φ2  φ1  dq ;по определению силы тока dq = Idt, а по закону Ома для однородного участка цепиIR = φ1 – φ2. Работа по переносу заряда по участку цепи 1-2 за конечное время tttt000A     φ2  φ1  Idt   IR  Idt   I 2Rdt ;tQ   I 2Rdt0– закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.При I = constQ  I 2Rt  UIt U2t.RМощность тока [по определению мощности (см. РАЗДЕЛ 1.8.2)]δQN.dtУдельная мощность тока – энергетическая характеристика тока, равная энергии электрического поля, переходящей во внутреннюю энергию проводника вединичный промежуток времени в единичном объёме:δQw.VdtТак как δQ = I2Rdt,I 2Rw.VДля проводника цилиндрической формы (РИС. 24.1) V  Sl ,ρlR(ρ – удельное сопротивление проводника); еслиSплотность тока j постоянна по сечению проводника, тоI = jS иj 2S 2 ρlw ρj 2 ;S  Slw  ρj 2SlРис.

24.1191– закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Можно показать, что этотзакон справедлив для проводника любой формы и при любом распределенииплотности тока.ПРИМЕРПараллельное и последовательное соединения ламп накаливанияДве одинаковые лампы подключаются к одному и тому же источнику сначала параллельно, затем последовательно. В каком случае лампы будут ярче гореть?Демонстрация: Лампы накаливанияЛампа будет гореть тем ярче, чем больше её температура, т. е. чем больше энергия, переходящая во внутреннюю энергию, – мощность тока, протекающего черезлампу.Представим лампы как проводники сопротивлением R; источник, к которому ониподключаются, имеет ЭДС E и внутреннее сопротивление r.1I1RI1RI2 RRI0E, rE, rбаРис. 24.21) Параллельное соединение (схема на РИС.

24.2А)I правило Кирхгофа для узла 1:I0.2Для нахождения тока I0 воспользуемся обобщённым законом Ома и формулой длясопротивления параллельно и последовательно соединённых проводников:RREREE2E r  ⇒ I0 I0 , Rобщ  r , I1 .R 2r  RRобщ2r  RRR2r2Мощность тока, протекающего через каждую из ламп,I0  I1  I1  2I1 ⇒ I1 2 E N1  I R   R. 2r  R 212) Последовательное соединение (схема на РИС. 24.2Б)Цепь неразветвлённая.

Ток в цепи и в каждой из лампEI2 .r  2RМощность тока в одной лампе1922 E N2  I R   R. r  2R 22Отношение222N1  E   r  2R   r  2R .N2  2r  R   E   2r  R Обычно внутреннее сопротивление источника сравнительно невелико: r << R. Втаком случае2N1  2R  4.N2  R При параллельном соединении лампы горят в четыре раза ярче, чем при последовательном.3.7.

Постоянное магнитное поле в вакуумеB0.tУравнения Максвелла:В этом случае E  0 ,II. Bdl  μ  jdS  μ I0LIV.0 LS BdS  0SСиловые линии магнитного поля замкнуты.3.7.1. Закон Био-Савара-Лапласа. Расчёт индукции магнитного поля методом суперпозицийЗакон Био-Савара-Лапласа: индукция магнитного поля точечного тока (бесконечно малого участка dl тонкого проводника с током I)dB μ0 dl , r I,4πr3(24.1)где r – радиус-вектор, соединяющий точечный ток с точкой, где измеряется индукция магнитного поля (РИС.

24.3); µ0 – магнитная постоянная; dl направлен потоку.Направление dB выбирается по правилу правоговинта60. На РИС. 24.3 векторы dl и r лежат в плоскости чертежа, а dB перпендикулярен плоскости чертежа. Модуль элементарной магнитной индукцииμ Idl sin α.dB  04π r 2Закон Био-Савара-Лапласа – эмпирический закон. Ис-Iα⊗Рис. 24.3Можно пользоваться правилом правой руки, известным из школьного курса физики, в следующей формулировке: если пальцы правой руки направить по току, а большой палец – в сторонуточки, где измеряется поле, то линии магнитной индукции будут входить в ладонь.60193ходя из него может быть доказана теорема о циркуляции вектора магнитной индукции(см. 3.7.2).Принцип суперпозиции в применении к вектору магнитной индукции (см.

РАЗДЕЛ3.1.5):B   Bi , B   dB .Любую сколь угодно сложную систему токов можно разбить на точечные токи(или токи другой формы, поле которых легко рассчитать) и рассчитать магнитную индукцию, воспользовавшись законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции.ПРИМЕРЫ1) Расчёт индукции магнитного поля тонкого прямого провода с токомТонкий прямой провод AC, по которому идёт ток I, виден из точки D, находящейсяна перпендикуляре к нему на расстоянии b, под углами β1 и β2 (РИС. 24.4). Найтииндукцию магнитного поля в точке D.

Полем подводящих проводов пренебречь.AIOb·β1ββ2⊗D,dβdβαrdβCРис. 24.4Разобьём проводи на малые фрагменты dl – точечные токи. По закону БиоСавара-Лапласаμ0 dl , r dB I,4πr3направление dB – перпендикулярно плоскости чертежа «от нас». Применимпринцип суперпозиции194B   dB .Все dB направлены одинаково, поэтому результирующая магнитная индукция Bнаправлена так же.Найдём модуль B :μ0 Idl sin α;4π r 2r, α, l – зависящие друг от друга переменные. Выразим их через угол β, так как интегрировать по этому углу удобнее:rdβbbdβ, dl ;sin α  cos β , r cos β cos2 βcos βB   dB ; dB dB μ0I bdβ cos2 βμIcos β  0 cos βdβ ;224π b cos β4πbβμI 2μIB  0  cos βdβ  0  sin β1  sin β2  .4πb  β14πbПредельный случайπПри β1 , β2 2μ0 I2πb– модуль индукции магнитного поля длинного прямого провода с током. ПОЗДНЕЕмы получим этот результат другим способом.B2) Расчёт индукции магнитного поля тонкого кольца с токомПо тонкому кольцу радиуса R идёт ток I.

Найти магнитную индукцию в точках наоси кольца: B  z  (РИС. 24.5).Разобьём кольцо на одинаковые по модулю элементыdl . Воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции:zμ0 dl , r dB I, B   dB .4πr3θ·AzIθORВсе dB одинаковы по модулю и образуют конус с вершиной в точке A, где измеряется поле (РИС. 24.5). Результирующая магнитная индукция направлена вдоль осикольца: B = Bz. Найдём Bz:πμ0 Idl sin 2 μ0 Idlμ IdldB , dBz  dB cos θ  0 2 cosθ ;224πr4π r4π rr и cos θ одинаковы для всех dl ;Рис. 24.5r  R2  z 2 , cos θ RR  z22.195Подставим в формулу для dBz выражения для r и cos θ и проинтегрируем по всейдлине кольца:2πRB0μ0IR4π  R  z22dl 32Предельные случаиμIа) z = 0 ⇒ B  02Rμ0IR  2πR4π  R  z22232μ0IR22 R  z2322.(24.2)μ0 IR2б) z >> R ⇒ B – модуль индукции магнитного поля точечного контура.2z 33) Расчёт индукции магнитного поля прямого круглого соленоида с токомПо прямому круглому соленоиду (катушке, на которую намотана проволока) радиуса R, имеющему плотность намотки n, идёт ток I (РИС.

24.6А). Найти магнитнуюиндукцию в точке на оси соленоида, отстоящей от концов соленоида на x1 и x2(точка O на РИС. 24.6Б): B  x1 , x2  .Плотность намотки – число витков, приходящихся на отрезок соленоида единичной длины:Nn ,lгде N – число витков соленоида, l – его длина.I⊙IR⊙⊙O⊙Rdxx⊗lx1а⊗x⊗x⊗x2бРис.

24.6Разобьём соленоид на тонкие кольца и воспользуемся принципом суперпозицииполейB   dB .и результатом предыдущей задачи (24.2). Индукция магнитного поля dB , создаваемого каждым тонким кольцом, направлена одинаково; соответственно и результирующий вектор B направлен так же (РИС. 24.6Б);B  Bx   dB .Тонкое кольцо толщиной dx,отстоящее на x от точки O, состоит изdN  n  dxвитков и по нему идёт токdI  IdN  nIdx .196Модуль индукции магнитного поля этого кольца, согласно (24.2),dB μ0dI  R22 R2  x 232μ0nR2Idx2 R2  x 232.Проинтегрируем это выражение по всей длине соленоида, т.

е. от –x1 до x2:x2μ nR2IdxB  02R2  x 2 x132μ nR2I 1x 022 R R2  x 2x2 x1μ0nI x2x12  R2  x22R2  x12Если точка O находится в середине соленоида, т. е. x1  x2 Bμ0nI2l2lR 42μ0nIl4R  l22.l, то2μ0NI4R2  l 2.Предельный случайПри R << l (длинный соленоид)B  μ0nI .Этот результат НИЖЕ будет получен другим способом.3.7.2.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукцииТеорема о циркуляции B 61: циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, сцепленных сэтим контуром, умноженной на µ0: Bdl  μ   I 0LL.Знак тока выбирается согласно направлению обхода контура L по правилу правого винта.ПРИМЕРНа РИС. 24.7I L I1  I2 . Токи I3 и I4 с контуром L не сцеплены.I4I1I3LI2Рис. 24.761Эту теорему иначе называют законом полного тока.197Теорема о циркуляции B полезна для расчёта магнитной индукции в отдельныхслучаях, в том числе при осевой симметрии распределения токов.

Сначаланаправление B определяется методом суперпозиций, затем выбирается такойконтур интегрирования, циркуляцию по которому легко вычислить.ПРИМЕРЫ1) Расчёт индукции магнитного поля тонкого прямого длинного провода с токомПо тонкому бесконечно длинному прямому проводу идёт ток I. Найти индукциюмагнитного поля как функцию расстояния от провода.Принцип суперпозиции и закон Био-Савара-Лапласа указывают, что в каждойточке магнитная индукция направлена перпендикулярно току (проводу) и радиусу – перпендикуляру к проводу, проведённому в точку, где измеряется поле.

Характеристики

Список файлов лекций