1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Связь D и E запишется какD  ε0εEУ всех диэлектриков ε > 1; у полярных диэлектриков эта характеристика больше,у неполярных – меньше.Для изотропных диэлектриков смысл относительной диэлектрической проницаемости – величина, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов(см. ПРИМЕР). Задачи на расчёт характеристик электрического поля в изотропном диэлектрикеможно решать и без использования D (вводя ε в формулировку теоремы Остроградского-Гауссадля E ), но мы настаиваем на том, чтобы студенты использовали эту величину и теорему Остроградского-Гаусса для D .53169Для анизотропных диэлектриков D и E не параллельны. Диэлектрические свойства вещества определяются тензором диэлектрической проницаемости εxx εxy εxz  ε yx ε yy ε yz  иε zx εzy εzz  εxxD  ε0  ε yxε zxε xz   E x  ε yz   E y  .εzz   E z εxyε yyεzyПРИМЕРПоле точечного заряда в однородном диэлектрикеТочечный заряд Q > 0 находится в безграничном диэлектрике с относительнойдиэлектрической проницаемостью ε (РИС.

21.4). Найдём ряд векторных характеристик электрического поля, создаваемого этим зарядом.Так как в пространстве имеется диэлекSтрик, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для DεDdS   q  .Q⊕rSSВыберем поверхность интегрирования S ввиде сферы радиуса r – расстояние от заряда Q до точки A, в которой исследуетсяполе, с центром в точке, где расположензаряд Q; нормаль dS направлена радиально, как и D .

Поток DAРис. 21.4 DdS  D 4πrr2,Sохваченный заряд qS Q . ПолучимDr 4πr 2  Q , Dr Q.4πr 2Связь между D и E :D  ε0εE ⇒ Dr  ε0εEr , Er DrQ.ε0ε 4πε0εr 2Поляризованность, исходя из определения D (21.5),ε0QQQ  11  .P  D  ε0 E ⇒ Pr  Dr  ε0Er 224πr 4πε0εr4πr 2 εНайдём также напряжённость электрического поля свободных и связанных зарядов. Проекция напряжённости электрического поля свободных зарядов на радиальное направление (см. 3.2.2)170E 0r Q.4πε0r 2Так как E  E0  E  , напряжённость электрического поля связанных зарядовEr  Er  E0r QQQ 1  1  0224πε0εr 4πε0r4πε0r 2  ε– поле связанных зарядов направлено против поля свободных зарядов.ОтношениеEr 1 1E 0r ε– диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов в ε раз.Демонстрация: Изменение потенциала при вводе диэлектрической пластины4.

Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной формеДивергенция div E  E– скалярная функция векторного аргумента.В декартовых координатахE EEdiv E  x  y  z ;xyzв сферических координатахdiv E 1  21 1 Eφ;rEEsinθrθr 2 rr sin θ θr sin θ φв цилиндрических координатахdiv E 1 1 Eφ E z. rEr  r rr φ zМожно доказать, что из теоремы Остроградского-Гаусса в интегральной форме(21.4), (21.5), (21.7) следует теорема Остроградского –Гаусса в дифференциальнойформе: PdS     qS DdS   q S EdS SSSdiv P   ρ ,⇒div D  ρ ,⇒  q     qSε0S⇒div E ρ  ρ.ε0(21.8)171ПРИМЕРРасчёт объёмной плотности связанных зарядов (см.

ПРЕДЫДУЩИЙ ПРИМЕР)Точечный заряд Q находится в безграничном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε. Найти объёмную плотность связанных зарядовв диэлектрике как функцию от расстояния r от заряда Q.РАНЕЕ была получена зависимость поляризованности от r:Pr  r  Q 11 .24πr εРассчитаем объёмную плотность связанных зарядов по теореме ОстроградскогоГаусса для P в дифференциальной форме (21.8):ρ   div P  1 d 21 d  r 2Q  1  r Pr   2 1    0 .r 2 drr dr  4πr 2 ε 172Лекция 223.3.3. Электрическое поле в диэлектриках (продолжение)5.

Условия на границе раздела двух диэлектриковПроанализируем, как изменяется электрическое поле при переходе из одной среды (диэлектрика) в другую.Пусть имеются два изотропных диэлектрика (относительные диэлектрическиепроницаемости ε1 и ε2), граничащие друг с другом (РИС. 22.1). В среде с ε1 существует электрическое поле с напряжённостью E1 и электрическим смещениемD1 . Свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют.

Найдём векторныехарактеристики поля в среде с ε2 – E2 и D2 (в проекциях на нормаль n и касательную τ к поверхности раздела сред).1ε1ε1ε2ε2 4S23LабРис. 22.11) DnВоспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для D DdS   q SS.Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которогопараллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 22.1А).

Поток D DdS  DS1n торцS DdS  DS2n торцSбокохваченный поверхностью S заряд0 qS  D2n  D1n  S торц ; 0 , так как свободные заряды на гра-нице раздела отсутствуют. ПоэтомуD2n  D1n(22.1)– нормальная составляющая вектора электрического смещения не претерпеваетскачка на границе раздела диэлектриков.2) EnСвязь D и E в изотропном диэлектрикеD  ε0εE ,поэтому173D1n  ε0ε1E1n , D2n  ε0ε2E2n .С учётом условия (22.1)ε0ε1E1n  ε0ε2E2n ⇒E2n ε2E1n ε1(22.2)– нормальная составляющая напряжённости электрического поля претерпеваетскачок на границе раздела диэлектриков.3) EτВоспользуемся I уравнением Максвелла – условием потенциальности электростатического поля Edl  0 .LВыберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС.

22.1Б), а другая мала (стороны 2-3 и 4-1). Циркуляция E по контуру L31 Edl  E1τ l12   Edl  E2τ l34   Edl   E1τ  E2τ  l12  0 ,L2400E2τ  E1τ(22.3)– тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.4) DτИз связи между D и E и условия (22.3) получимD1τ  ε0ε1E1τ , D2τ  ε0ε2E2τ ⇒D1τ D2τ,ε1ε2D2τ ε1D1τ ε2(22.4)– тангенциальная составляющая электрического смещения претерпевает скачокна границе раздела диэлектриков.3.3.4. Проводники в электростатическом полеСвойства электростатического поля в проводниках541.

Внутри проводника напряжённость электрического поля равна нулю:внутриE 0.В противном случае по проводнику будет идти ток, так как в проводнике имеютсясвободные заряды, свободно перемещающиеся под действием электрическогополя.Демонстрация: Клетка ФарадеяСледует отметить, что эти утверждения относятся только к электростатическому полю в проводниках, т. е. к случаю, когда электрический ток отсутствует.541742.Напряжённость электрического поля перпендикулярна поверхности проводника:E τ  0 , E  En .Если Eτ ≠ 0, то по поверхности проводника будет идти ток.3.

Нескомпенсированный заряд располагается на поверхности проводника:ρ0.ДоказательствоПроведём внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S (РИС. 22.2). Теорема Остроградского-Гаусса для D DdS   q SНо D  0 , так как E  0 , поэтомуSS. DdS  0иS qS 0 , т. е.Рис. 22.2нескомпенсированного заряда внутри проводника нет.Демонстрация: Стекание заряда с острия4. Поверхность проводника эквипотенциальна (а также весь объём проводника):φ  const .ДоказательствоНайдём разность потенциалов между точками 1 и 2 на одномпроводнике, соединив эти точки кривой, целиком лежащей внутри проводника (РИС.

22.3), и воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:2Δφ12    Edl  0 ⇒ φ1  φ2 , ч. т. д.21Рис. 22.31Демонстрация: Распределение заряда на поверхности проводника5. Нормальная проекция электрического смещения у поверхности проводникаравна поверхностной плотности свободных зарядов:Dn  σ .ДоказательствоПрименим теорему Остроградского-Гаусса для D , выбрав поверхность интегрирования S в виде цилиндра,одно из оснований которого лежит внутри проводника, адругое плотно прилегает к поверхности проводника свнешней стороны (РИС. 22.4): DdS   q SSSРис. 22.4; DdS  D Sn торц,Sтак как внутри проводника D  0 и потоки D через все стороны цилиндра S, кроме внешнего торца, равны нулю; q S σS торц ,175так как заряд распределён только по поверхности проводника;DnS торц  σSторц ⇒ Dn  σ , ч. т.

д.3.4. Электрическая ёмкость3.4.1. Ёмкость уединённого проводникаУединённый проводник – проводник, удалённый от других тел, так что влияниемих электрических полей можно пренебречь.Рассмотрим, как изменяются напряжённость электрического поля и потенциалуединённого проводника при изменении его заряда.

При увеличении заряда в nраз напряжённость поля и потенциал увеличатся также в n раз (см. ПРИМЕРЫ В РАЗДЕЛЕ 3.2.4).Электрическая ёмкость уединённого проводника – характеристика проводника, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:CQ, C   Ф .φЁмкость не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля, она зависит от формы и размеров проводника и диэлектрических свойствсреды, его окружающей.ПРИМЕРЁмкость шараУединённый проводник – металлический шар радиуса R находится в вакууме(РИС. 22.5).

Найти ёмкость проводника.Мысленно зарядим проводник зарядом Q и рассчитаемSпотенциал проводника (потенциал отсчитывается отQбесконечно удалённой точки).Сначала найдём напряжённость электрического поляO Rиз теоремы Остроградского-Гаусса для E :r  q S .EdSSε0AПоверхность интегрирования S – сфера радиуса r, где r– расстояние от центра шара до точки, где измеряетсяполе, концентричная заряженному шару.

Характеристики

Список файлов лекций