1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Таким образом, силовые линии магнитного поля представляют собой окружности.На РИС. 24.8А изображён вектор индукции магнитного поля в точке A, лежащей вплоскости рисунка. РИС. 24.8Б – это РИС. 24.8А – вид сверху (провод перпендикулярен плоскости рисунка).II⊗⊗ArL⊙rALабРис. 24.8Теорема о циркуляции B Bdl  μ   I 0LL.Так как провод бесконечный, модуль B может зависеть только от r. Поэтому выбираем контур интегрирования L в виде окружности радиуса r, центр которой лежит на проводе (РИС. 24.8А, Б).

В каждой точке контура L вектор магнитной индукции направлен по касательной и одинаков по модулю. Циркуляция B по контуруL Bdl   Bdl cos0  B  dl  B  2πr .LLLСумма сцепленных с контуром L токовI ПолучимLI .198μ0 I.2πrЭтот результат был нами получен РАНЕЕ по методу суперпозиций.B2πr  μ0I ⇒ B 2) Расчёт индукции магнитного поля длинного прямого соленоида с токомПо бесконечно длинному соленоиду с плотностью намотки n идёт ток I. Найти индукцию магнитного поля внутри соленоида.По принципу суперпозиции поле соленоида склаLдывается из полей бесконечного числа витков.43Внутри соленоида суммарная магнитная индукция⊙⊙⊙I⊙будет направлена вдоль его оси (РИС. 24.9), более то12го, поле B будет однородно, а вне соленоида полявитков будут скомпенсированы и результирующаямагнитная индукция равна нулю (студенты должныпоказать это самостоятельно).⊗⊗⊗⊗Применим теорему о циркуляции B Bdl  μ   I 0LLРис.

24.9.Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна из сторон (1-2)которого параллельна оси соленоида и лежит внутри него, противолежащая ей(3-4) – вне соленоида, а две другие (2-3 и 4-1) перпендикулярны оси соленоида(РИС. 24.9). Циркуляция B по контуру L23412312ππL Bdl  1 Bdl  2 Bdl  3 Bdl  4 Bdl  1 Bdl cos0  2 Bdl cos 2  4 Bdl cos 2  B 1 dl  Bl12 ,0l12 – длина прямоугольника L.Сцепленный с контуром L ток0I L0 nl12I ,nl12 – число витков, приходящееся на отрезок соленоида длиной l12. Получим(24.3)Bl12  μ0nl12I ⇒ B  μ0nI .Как и должно быть, магнитная индукция на зависит от l12 – параметра произвольного контура интегрирования.

Магнитная индукция также не зависит от формы иразмеров поперечного сечения соленоида.Полученный результат был достигнут нами РАНЕЕ с использованием метода суперпозиций.3) Расчёт индукции магнитного поля тороида с токомТороид – геометрическое тело, образованное вращением плоской фигуры вокругоси, лежащей в плоскости этой фигуры.Имеется тороид, внутренний радиус которого равен R1, внешний радиус – R2, с обмоткой из N витков, по которым идёт ток I (РИС. 24.10). Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния r от оси тороида.Магнитное поле тороида является суперпозицией магнитных полей его витков.Поэтому вне тороида (при r < R1 и r > R2) B = 0.

Внутри же тороида вектор магнит-199ной индукции будет перпендикулярен радиусу, проведённому из центра тороидав точку A, где измеряется поле, модуль магнитной индукции будет зависеть только от r. Применим теорему о циркуляции B Bdl  μ   I 0LL.Выберем контур интегрирования L в виде окружностирадиуса r с центром в центре тороида. Циркуляция Bпо контуру LIL Bdl   Bdl cos0  B  dl  B  2πr .LLLOСцепленный с контуром L токI r R2A NI .LR1ПолучимB2πr  μ0NI ⇒ B μ0 NI2πrРис.

24.10при R1 < r < R2.График зависимости B(r) представлен на РИС. 24.11.B0R1R2xРис. 24.11Предельный случайПри R1 ≈ R2 ≈ R (тонкий тороид)Bμ0 NI μ0nI ,2πR(24.4)N– плотность намотки тороида. Формула (24.4) совпадает с (24.3) – ин2πRдукцией магнитного поля длинного соленоида.где n 200Лекция 253.7.3. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукцииТеорема Остроградского-Гаусса для B : поток вектора магнитной индукциисквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: BdS  0 .SПоток вектора магнитной индукции – магнитный потокΦ   BdS ; [Φ] = Вб.SПоток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура.ДоказательствоПусть на контур L натянуты две поверхности S1 и S2S1L (РИС.

25.1). Составная поверхность S1 + S2 – замкнутая. Потеореме Остроградского-Гаусса для BBdS  0 .S1  S2S2При вычислении потока по замкнутой поверхности dS –внешняя нормаль. ПоэтомуРис. 25.1S1  S2BdS   BdS1   BdS2 .S1S2При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направлениенормали выбирается по правилу правого винта, соответственно, нормали dS1 иdS 2 будут направлены в одну сторону; dS2  dS2 .

Из этого следует, что BdS   BdS1S1S220 ⇒ BdS   BdS1S12 0 , ч. т. д.S2ПРИМЕРПоток однородного магнитного поля сквозь полусферуНайти поток однородного магнитного поля с индукцией B сквозь полусферу радиуса R, при том что сиSловые линии магнитного поля направлены под угломα к нормали к основанию полусферы (РИС. 25.2).αRS′Полусфера S натянута на окружность радиуса R с ценOтром в центре полусферы – точке O.

На ту же окружность натянуто и плоское основание S′. Следовательно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′ равны:Рис. 25.2Φ  Φ   BdS    BdS  cos α  B cos α  dS  SSS BS  cos α  πR B cos α .22013.7.4. Векторный потенциалРотор – векторная функция векторного аргумента – векторное произведениеоператора векторного дифференцирования  на векторную функциюrot B   , B  .В декартовых координатахrot B ijxBxyByk.zBzРотор вектора всегда перпендикулярен этому вектору.Из теоремы о циркуляции B в интегральной форме Bdl  μ  jdS0LS( j – плотность тока) следует, чтоrot B  μ0 j(25.1)– теорема о циркуляции B в дифференциальной форме.Векторный потенциал A – векторная величина – энергетическая характеристика магнитного поля – такая, чтоrot A  B ,(25.2)причёмdiv A  0 ;[A] = Тл·м.Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции B (25.1):rot rot A  μ0 j .Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного векторного произведения: rot rot A    A     A     A  2 A ,02 A  μ0 jВ декартовых координатах:  2 Ax  2 Ax  2 Ax 2  2  2   μ0 jx ,yz x22  Ay  Ay  2 Ay  μ0 j y , 2 y 2z 2 x 2 A 2 A 2 A 2z  2z  2z   μ0 jz .yz x(25.3)202Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частныхпроизводных.

Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторых случаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компоненты векторного потенциала, а затем по определению (25.2), проведя дифференцирование, найти магнитную индукцию.Выражение, подобное (25.3), можно получить и для электрической компонентыэлектромагнитного поля:E  φ , ρ2ρ  ⇒  φ E ε0ε0 (напоминаем, что φ – потенциал, ρ – объёмная плотность заряда).Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля: icφ Ax A Ay A  z – 4-потенциал.Методы расчёта магнитной индукцииметод суперпозицийтеорема о циркуляциичерез3.8. Действие магнитного поля на движущиеся заряды3.8.1.

Движение точечного заряда в магнитном полеМагнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный зарядq, движущийся со скоростью v , с силойF2  q  vB – сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3).Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы.

По этой причине магнитное поле не совершает работы.ПРИМЕРДвижение заряженной частицы в однородном магнитном полеЧастица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью v в область пространства, где имеется однородное магнитное поле с индукцией B (РИС. 25.3).Угол между v и B равен α. По какой траектории будет двигаться частица?Запишем II закон Ньютона для данной частицыma  F2 ,(25.4)где F2  q  vB  . Сила F2 и ускорение a изображены на РИС. 25.3А, Б в разных проекциях.203⊙ORα⊕m, qm, q ⊕ ⊙абРис. 25.3Сила F2 перпендикулярна скорости частицы, так же направлено и ускорение, т. е.a = an – нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линияммагнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3Б)– по окружности.Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории частицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции:man  qvB sin α .v2По известной формуле кинематики (2.3) an , где v⏊ = v sin α, R – радиус траекRтории;mv2mv q v B ⇒ R .RqBМожно также найти шаг спирали, по которой движется частица.При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону.Демонстрация: Электронно-лучевая трубка3.8.2.

Действие магнитного поля на проводник с токомРассмотрим участок проводника длиной dl, находящийся в магнитном поле с индукцией B , по которому идётток I (РИС. 25.4). Заряд носителей равен q (будем считать, что в проводнике движутся положительно заря⊗q⊕женные частицы), скорость упорядоченного движенияI– v . На каждый носитель магнитное поле действует ссилой F2  q  vB  .

Характеристики

Список файлов лекций