1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Поток EРис. 22.5EdS  E 4πr 2rS(см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3), охваченный заряд равен заряду шара Q;QQ⇒ Er .Er 4πr 2 4πε0r 2ε0Потенциал шара найдём из интегральной связи напряжённости и потенциалаэлектростатического поля:RRRQ drQ 1Qφ    Er dr  .24πε0  r4πε0 r  4πε0R176По определению ёмкостиCQ 4πε0R .φ3.4.2. Взаимная ёмкость двух проводниковРассмотрим систему, состоящую из двух проводников, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку(РИС. 22.6). Разность потенциалов между проводниками пропорциональна модулю их заряда: φ+ – φ– ~ q. ОтношениеCqφ  φ–qqφ+φ–Рис.

22.6– взаимная ёмкость проводников. Эта величина зависит от размеров, формы,взаимного расположения проводников и диэлектрических свойств среды и не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля.3.4.3. КонденсаторыКонденсатор – система двух проводников, расположенных настолько близкодруг к другу, что, если этим проводникам сообщить одинаковые по модулю, норазные по знаку заряды, электрическое поле будет в основном сосредоточеномежду этими проводниками – обкладками конденсатора. Модуль заряда каждойиз обкладок – заряд конденсатора.Ёмкость конденсатора – характеристика конденсатора, равная отношению заряда конденсатора к модулю разности потенциалов между его обкладками(напряжению на обкладках):CQQ .φ  φ U(22.5)Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, их взаимного расположения, диэлектрических свойств среды между обкладками и не зависит отзаряда, напряжения и т.

п.Для расчёта ёмкости любого конденсатора нужно мысленно придать ему заряд,найти напряжение между обкладками, а затем ёмкость по определению (22.5).В ТАБЛИЦЕ 22.1 представлены конденсаторы простейшей формы и стандартныеформулы55 для вычисления их ёмкости. Примеры вывода подобных формул даныНИЖЕ.Эти формулы относятся к конденсаторам, пространство между обкладками которых заполненооднородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В других случаях формулы для вычисления ёмкости нужно выводить заново, пользуясь определением ёмкости.55177Таблица 22.1КонденсаторыПлоскийЦилиндрическийСферическийR2εεR1εOlSR1R2dd << размеров пластинR2  R1Cε εSC 0dl2πε0εlRln 2R1C4πε0εR1R2R2  R1ПРИМЕРЫ1) Расчёт ёмкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектрикомИмеется плоский конденсатор, площадь обкладок которого равна S, расстояниемежду обкладками – d, пространство между обкладками заполнено диэлектрикомс относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС.

22.7). Найти ёмкостьконденсатора.Зарядим обкладки конденсатора заря–QQεдом Q. Найдём электрическое смещениев пространстве внутри конденсатора спомощью теоремы ОстроградскогоГауссаADdS   q  ,Sздесь qSS– сумма свободных зарядов,охваченных поверхностью S. Поверхность интегрирования S выберем в видецилиндра, основания которого паралdxлельны обкладкам конденсатора, один0из торцов располагается вне конденсаРис. 22.7тора (за положительно заряженной обкладкой), а другой – внутри конденсатора. Вне конденсатора поле отсутствует(это легко показать с помощью принципа суперпозиции полей, воспользовавшисьрезультатом РАСЧЁТА ПОЛЯ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛОСКОСТИ), внутри конденсатора оно однородно;S178 DdS  D Sxторц,S q S σS торц ,Q.SЗаметим, что легко найти поток D мы можем благодаря тому, что пластины считаются большими, т.

е. практически бесконечными – мы пренебрегаем краевымиэффектами. ПолучимQDx  σ  .Sσ – поверхностная плотность заряда положительно заряженной обкладки, σ Далее, найдём напряжённость электрического поля через связь D и EDQ.D  ε0εE ⇒ E x  x ε0ε ε0εSЗатем найдём разность потенциалов между обкладками конденсатора, воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:00QQddx .ε εSε0εSd 0U  φ  φ  φ  0  φ  d     E x dx   dНаконец, по определению ёмкости (22.5)CQ ε0εSUd– формула, приведённая в ТАБЛ.

22.1.Демонстрация: Плоский раздвижной конденсатор2) Расчёт ёмкости воздушного коаксиального кабеля (цилиндрического конденсатора)Имеется воздушный коаксиальный кабель (в пространстве между обкладкамиε = 1), радиусы обкладок равны R1 и R2 (РИС. 22.8). Найти ёмкость кабеля, приходящуюся на отрезок единичной длины.Ход решения будет аналогичен ПРЕДЫДУЩЕМУ ПРИМЕРУ. Зарядим обкладки линейτными плотностями τ (внутреннюю об–τкладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так какмежду обкладками нет диэлектрика, можно обойтись без D . Теорема Остроградскоrhго-Гаусса для EA EdS SSqε0S.Поверхность интегрирования S выберем ввиде цилиндра, коаксиального (соосного)кабелю, произвольной высоты h, многоРис. 22.8меньшей длины кабеля, радиуса r, где r –расстояние от оси кабеля до точки, в которой измеряется поле.

Внутри внутреннего провода (при r < R1) и вне кабеля (при r > R2) поля нет.179Поток E EdS  E 2πrh ,rSзаряд, охваченный поверхностью S, qS τh (см. ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙНИТИ ). ПолучимEr 2πrh τhτ⇒ Er .ε02πε0rНапряжение на обкладках конденсатораR1R1Rτ drτln 2 .2πε0 r 2πε0 R1R2U  φ  φ  φ  R1   φ  R2     Er dr   R2Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины,τ 2πε0.C1  R2UlnR13) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектрикомИмеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равенR1, радиус внешней обкладки – R2, заполненный двумя слоями диэлектрика: диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε1 (область I наРИС.

22.9) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε2 (область II) – к внешней обкладке, радиус границы разделал диэлектриков равен R0. Найти ёмкость конденсатора.Зарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладкаимеет заряд Q, а внешняя обкладка – заряд –Q. Элек–Q трическое поле существует только в пространствеε2 ε1между обкладками (R1 < r < R2).

Применим теоремуrОстроградского-Гаусса для DQ O R1IS DdS   q S .R2R0Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы,IIконцентричной конденсатору. Поток DРис. 22.9 DdS  D 4πrr2,Sохваченный поверхностью S свободный заряд равен Q,QDr 4πr 2  Q ⇒ Dr .4πr 2Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещениемDDQ.D  ε0εE ⇒ EIr  r  c , EIIr  r ε0ε1ε0ε2 4πε0ε2r 2Напряжение на обкладках конденсатора180R0R1R1R0RQ dr 1 Q drU  φ  φ  φ  R1   φ  R2     E r dr    E IIr dr   E Ir dr   4πε0ε2 r 2 R0 4πε0ε1 r 2R2R2R0R2Q  14πε0  ε2rQ  1111  4πε0  ε2R0 ε2R2 ε1R1 ε1R0 R2R0 Q ε1R1R2  ε1R0R1  ε2R0R2  ε2R1R2.4πε0ε1ε2R0R1R2R01ε1rR1Ёмкость конденсатораC4πε0ε1ε2R0R1R2Q.U ε1R1R2  ε1R0R1  ε2R0R2  ε2R1R2При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ. 22.1.181Лекция 233.4.4.

Соединения конденсаторов1. Последовательное соединениеПоследовательное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденсаторов, соединённых последовательно. Заряд каждогоC1C2CiCNконденсатора равен заряду всей батареи, так как всеРис. 23.1обкладки кроме крайних (левая обкладка конденсатора С1 и правая обкладка CN на схеме РИС.

23.1) изолированы и сумма их зарядов равна нулю:Q1  Q2   Qi   QN  Q .Напряжение на i-м конденсатореUi Qi.CiНапряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:Q1U  Ui   i  Q  .CiCiЁмкость батареиCQU11C⇒11 .CCii2. Параллельное соединениеПараллельное соединение конденсаторов –соединение, при котоC1ром конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.На РИС. 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединёнC2ных параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одинаково и равно напряжению на всей батарее:CiU1  U2   Ui   UN  U .CNРис. 23.2Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов:Q  Qi  CiUi  U Ci .Ёмкость батареиQ  C i , C   Ci .UНужно соблюдать правила построения электрических схем!C1823.5.

Энергия электростатического поля3.5.1. Энергия заряженного конденсатораПусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положительный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки наположительно заряженную (РИС. 23.3). При этом внешними силамисовершается работаqδA*  dq   φ  φ   Udq  dq .CРабота внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Qqdq–qРис. 23.3Qqdq Q2.C2C0A *Так как работа – мера изменения энергии, W = A*,Q2 CU 2 QUW2C22(по определению ёмкости Q = CU).Демонстрация: Энергия конденсатора3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поляРассмотрим заряженный плоский конденсатор (РИС.

23.4); зарядQ–Q конденсатора равен Q, площадь обкладок – S, расстояние между обкладками – d, конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое полевнутри конденсатора однородно, его напряжённость равна E . Ёмdε εSкость этого конденсатора C  0 , а напряжение между обкладкаРис. 23.4dми (по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed.Энергия конденсатораCU 2 ε0εS 2 2 ε0εE 2VWEd ,(23.1)22d2где V = Sd – объём конденсатора.Объёмная плотность энергии электрического поля – энергетическая характеристика поля, равная энергии поля в единичном объёмеWw(23.2)Vдля однородного поля,wdW.dVдля неоднородного поля.В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью εwε0εE 2.2183ДоказательствоПусть в пространстве существует электростатическое поле. Разобьём пространство, на плоскиеконденсаторы: вдоль любой пары близко расположенных друг к другу эквипотенциальных поверхностей можно мысленно разместить тонкиепроводники, которые служат обкладками плоского конденсатора (РИС.

Характеристики

Список файлов лекций