1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поток EРис. 22.5EdS E 4πr 2rS(см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3), охваченный заряд равен заряду шара Q;QQ⇒ Er .Er 4πr 2 4πε0r 2ε0Потенциал шара найдём из интегральной связи напряжённости и потенциалаэлектростатического поля:RRRQ drQ 1Qφ Er dr .24πε0 r4πε0 r 4πε0R176По определению ёмкостиCQ 4πε0R .φ3.4.2. Взаимная ёмкость двух проводниковРассмотрим систему, состоящую из двух проводников, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку(РИС. 22.6). Разность потенциалов между проводниками пропорциональна модулю их заряда: φ+ – φ– ~ q. ОтношениеCqφ φ–qqφ+φ–Рис.
22.6– взаимная ёмкость проводников. Эта величина зависит от размеров, формы,взаимного расположения проводников и диэлектрических свойств среды и не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля.3.4.3. КонденсаторыКонденсатор – система двух проводников, расположенных настолько близкодруг к другу, что, если этим проводникам сообщить одинаковые по модулю, норазные по знаку заряды, электрическое поле будет в основном сосредоточеномежду этими проводниками – обкладками конденсатора. Модуль заряда каждойиз обкладок – заряд конденсатора.Ёмкость конденсатора – характеристика конденсатора, равная отношению заряда конденсатора к модулю разности потенциалов между его обкладками(напряжению на обкладках):CQQ .φ φ U(22.5)Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, их взаимного расположения, диэлектрических свойств среды между обкладками и не зависит отзаряда, напряжения и т.
п.Для расчёта ёмкости любого конденсатора нужно мысленно придать ему заряд,найти напряжение между обкладками, а затем ёмкость по определению (22.5).В ТАБЛИЦЕ 22.1 представлены конденсаторы простейшей формы и стандартныеформулы55 для вычисления их ёмкости. Примеры вывода подобных формул даныНИЖЕ.Эти формулы относятся к конденсаторам, пространство между обкладками которых заполненооднородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В других случаях формулы для вычисления ёмкости нужно выводить заново, пользуясь определением ёмкости.55177Таблица 22.1КонденсаторыПлоскийЦилиндрическийСферическийR2εεR1εOlSR1R2dd << размеров пластинR2 R1Cε εSC 0dl2πε0εlRln 2R1C4πε0εR1R2R2 R1ПРИМЕРЫ1) Расчёт ёмкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектрикомИмеется плоский конденсатор, площадь обкладок которого равна S, расстояниемежду обкладками – d, пространство между обкладками заполнено диэлектрикомс относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС.
22.7). Найти ёмкостьконденсатора.Зарядим обкладки конденсатора заря–QQεдом Q. Найдём электрическое смещениев пространстве внутри конденсатора спомощью теоремы ОстроградскогоГауссаADdS q ,Sздесь qSS– сумма свободных зарядов,охваченных поверхностью S. Поверхность интегрирования S выберем в видецилиндра, основания которого паралdxлельны обкладкам конденсатора, один0из торцов располагается вне конденсаРис. 22.7тора (за положительно заряженной обкладкой), а другой – внутри конденсатора. Вне конденсатора поле отсутствует(это легко показать с помощью принципа суперпозиции полей, воспользовавшисьрезультатом РАСЧЁТА ПОЛЯ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛОСКОСТИ), внутри конденсатора оно однородно;S178 DdS D Sxторц,S q S σS торц ,Q.SЗаметим, что легко найти поток D мы можем благодаря тому, что пластины считаются большими, т.
е. практически бесконечными – мы пренебрегаем краевымиэффектами. ПолучимQDx σ .Sσ – поверхностная плотность заряда положительно заряженной обкладки, σ Далее, найдём напряжённость электрического поля через связь D и EDQ.D ε0εE ⇒ E x x ε0ε ε0εSЗатем найдём разность потенциалов между обкладками конденсатора, воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:00QQddx .ε εSε0εSd 0U φ φ φ 0 φ d E x dx dНаконец, по определению ёмкости (22.5)CQ ε0εSUd– формула, приведённая в ТАБЛ.
22.1.Демонстрация: Плоский раздвижной конденсатор2) Расчёт ёмкости воздушного коаксиального кабеля (цилиндрического конденсатора)Имеется воздушный коаксиальный кабель (в пространстве между обкладкамиε = 1), радиусы обкладок равны R1 и R2 (РИС. 22.8). Найти ёмкость кабеля, приходящуюся на отрезок единичной длины.Ход решения будет аналогичен ПРЕДЫДУЩЕМУ ПРИМЕРУ. Зарядим обкладки линейτными плотностями τ (внутреннюю об–τкладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так какмежду обкладками нет диэлектрика, можно обойтись без D . Теорема Остроградскоrhго-Гаусса для EA EdS SSqε0S.Поверхность интегрирования S выберем ввиде цилиндра, коаксиального (соосного)кабелю, произвольной высоты h, многоРис. 22.8меньшей длины кабеля, радиуса r, где r –расстояние от оси кабеля до точки, в которой измеряется поле.
Внутри внутреннего провода (при r < R1) и вне кабеля (при r > R2) поля нет.179Поток E EdS E 2πrh ,rSзаряд, охваченный поверхностью S, qS τh (см. ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙНИТИ ). ПолучимEr 2πrh τhτ⇒ Er .ε02πε0rНапряжение на обкладках конденсатораR1R1Rτ drτln 2 .2πε0 r 2πε0 R1R2U φ φ φ R1 φ R2 Er dr R2Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины,τ 2πε0.C1 R2UlnR13) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектрикомИмеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равенR1, радиус внешней обкладки – R2, заполненный двумя слоями диэлектрика: диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε1 (область I наРИС.
22.9) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε2 (область II) – к внешней обкладке, радиус границы разделал диэлектриков равен R0. Найти ёмкость конденсатора.Зарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладкаимеет заряд Q, а внешняя обкладка – заряд –Q. Элек–Q трическое поле существует только в пространствеε2 ε1между обкладками (R1 < r < R2).
Применим теоремуrОстроградского-Гаусса для DQ O R1IS DdS q S .R2R0Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы,IIконцентричной конденсатору. Поток DРис. 22.9 DdS D 4πrr2,Sохваченный поверхностью S свободный заряд равен Q,QDr 4πr 2 Q ⇒ Dr .4πr 2Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещениемDDQ.D ε0εE ⇒ EIr r c , EIIr r ε0ε1ε0ε2 4πε0ε2r 2Напряжение на обкладках конденсатора180R0R1R1R0RQ dr 1 Q drU φ φ φ R1 φ R2 E r dr E IIr dr E Ir dr 4πε0ε2 r 2 R0 4πε0ε1 r 2R2R2R0R2Q 14πε0 ε2rQ 1111 4πε0 ε2R0 ε2R2 ε1R1 ε1R0 R2R0 Q ε1R1R2 ε1R0R1 ε2R0R2 ε2R1R2.4πε0ε1ε2R0R1R2R01ε1rR1Ёмкость конденсатораC4πε0ε1ε2R0R1R2Q.U ε1R1R2 ε1R0R1 ε2R0R2 ε2R1R2При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ. 22.1.181Лекция 233.4.4.
Соединения конденсаторов1. Последовательное соединениеПоследовательное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденсаторов, соединённых последовательно. Заряд каждогоC1C2CiCNконденсатора равен заряду всей батареи, так как всеРис. 23.1обкладки кроме крайних (левая обкладка конденсатора С1 и правая обкладка CN на схеме РИС.
23.1) изолированы и сумма их зарядов равна нулю:Q1 Q2 Qi QN Q .Напряжение на i-м конденсатореUi Qi.CiНапряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:Q1U Ui i Q .CiCiЁмкость батареиCQU11C⇒11 .CCii2. Параллельное соединениеПараллельное соединение конденсаторов –соединение, при котоC1ром конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.На РИС. 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединёнC2ных параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одинаково и равно напряжению на всей батарее:CiU1 U2 Ui UN U .CNРис. 23.2Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов:Q Qi CiUi U Ci .Ёмкость батареиQ C i , C Ci .UНужно соблюдать правила построения электрических схем!C1823.5.
Энергия электростатического поля3.5.1. Энергия заряженного конденсатораПусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положительный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки наположительно заряженную (РИС. 23.3). При этом внешними силамисовершается работаqδA* dq φ φ Udq dq .CРабота внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Qqdq–qРис. 23.3Qqdq Q2.C2C0A *Так как работа – мера изменения энергии, W = A*,Q2 CU 2 QUW2C22(по определению ёмкости Q = CU).Демонстрация: Энергия конденсатора3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поляРассмотрим заряженный плоский конденсатор (РИС.
23.4); зарядQ–Q конденсатора равен Q, площадь обкладок – S, расстояние между обкладками – d, конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое полевнутри конденсатора однородно, его напряжённость равна E . Ёмdε εSкость этого конденсатора C 0 , а напряжение между обкладкаРис. 23.4dми (по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed.Энергия конденсатораCU 2 ε0εS 2 2 ε0εE 2VWEd ,(23.1)22d2где V = Sd – объём конденсатора.Объёмная плотность энергии электрического поля – энергетическая характеристика поля, равная энергии поля в единичном объёмеWw(23.2)Vдля однородного поля,wdW.dVдля неоднородного поля.В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью εwε0εE 2.2183ДоказательствоПусть в пространстве существует электростатическое поле. Разобьём пространство, на плоскиеконденсаторы: вдоль любой пары близко расположенных друг к другу эквипотенциальных поверхностей можно мысленно разместить тонкиепроводники, которые служат обкладками плоского конденсатора (РИС.