1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля можетбыть как положительной, так и отрицательной.48152I. r > RТеорема Остроградского-Гаусса: q EIdSI SIε0SI.Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)напряжённость электрического поля E I направлена радиально, а по модулю одинакова. Вектор внешней нормали dS I сонаправлен E I .

Поток напряжённостиэлектрического поля E dS   EISIISIIrdSI cos0  EIr  dSI  EIr S I  EIr 4πr 2 .Заряд, охваченный поверхностью SI,SI1 qSIQ– весь заряд заряженной сферы. ПолучимQQ⇒ EIr .EIr 4πr 2 ε04πε0r 2II. r < RТеорема Остроградского-Гаусса: E IIdS II  qSIIε0SII.Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). Направления E II и dS II показаны на рисунке. Поток напряжённостиэлектрического поля, аналогично выражению для области I,EIIdS II  EIIr 4πr 2 .SIIЗаряд, охваченный поверхностью SII, qSII0,так как заряды внутрь поверхности SII не попадают.

ПоэтомуEIIr  0 .График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточенысвободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединятьсплошной линией.153Er0RРис. 19.8r2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямойнитиБесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с линейной плотностьюττ (РИС. 19.9).

Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния r от нити Er(r).BРаспределение заряда имеет осевуюсимметрию. Теорема ОстроградскогоrГауссаhAqS EdS  ε0 S .Выберем поверхность интегрирования ввиде цилиндра радиуса r (r – расстояниеот нити до точки, где измеряется поле –Рис. 19.9точка A на РИС. 19.9) и произвольной высоты h, ось которого совпадает с нитью. Напряжённость электрического полянаправлена радиально и зависит только от r. Векторы внешней нормали направлены: для боковой поверхности dS бок E , для торцов dS торц  E . Поток напряжённости электрического поля10πS EdS  S EdS бок  2S  EdS торц  S Er dSбок cos0  2S  Er dS торц cos 2 бокторцбокторцS Er dSбок Er Sбок  Er 2πrh.SбокЗаряд, охваченный поверхностью S, qS τh– заряд участка нити длиной h.

Получимτhτ⇒ Er .Er 2πrh ε02πε0r154Результат не зависит от h, как и должно быть. Это же решение было полученонами методом суперпозиций (см. РАЗДЕЛ 3.2.3).График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.10.Er0rРис. 19.10155Лекция 203.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённостиэлектрического поля (продолжение)3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскостиПлоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).σCABS0xРис. 20.1Распределение заряда имеет плоскую симметрию.

Теорема Остроградского-Гаусса EdS SqSε0.Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра высотой 2 x (x – координата точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 20.1) и произвольного сеченияSторц, расположенного симметрично относительно заряженной плоскости. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и можетзависеть только от x.

Векторы внешней нормали направлены: для боковой поверхности dS бок  E , для торцов dS торц E . Поток напряжённости электрическогополяπS EdS  S EdS бок  2S  EdS торц  S E x dSбок cos 2  2S  E x dS торц x cos0 бокторцбокторц 2EdS торц  2ES торц .S торцЗаряд, охваченный поверхностью S, q S σS торц– заряд участка плоскости площадью Sторц. Получим1562ES торц σS торцε0⇒ Eσ2ε049;σ x  0: E x  2ε ,0 x  0: E   σ .x2ε0По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно.

График зависимости Ex(x) представлен на РИС. 20.2.Ex0xРис. 20.2Демонстрация:Сетка Кольбе3.2.4. ПотенциалI уравнение Максвелла для электростатического поля Edl  0 .LУмножим это уравнение на пробный заряд q0:q0  Edl   q0 Edl   F1dl  0LLL– работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатическое поле потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4).[Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а полецентральных сил потенциально (см. 1.8.4).]Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равнаработе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальнаяэнергия принята равной нулю, в данную точку, или работе поля при этом перемещении:Wп   Aполя  A* .Потенциальная энергия – характеристика и поля, и заряда:49Эта формула справедлива при σ > 0.

Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный.157Wп  f q0 , E .ОтношениеWпне зависит от q0 и является энергетической характеристикой поq0ля:φWп;q0– потенциал;[φ] = В.Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физический смысл имеет разность потенциаловΔφ12  φ2  φ1  A1поляA*2 12q0q0– работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.Связь напряжённости и потенциала электростатического поляРабота электростатического поля при перемещению пробного заряда из точки 1 вточку 2222111Aполя   F1dl   q0 Edl  q0  Edl ;разность потенциалов2Aполя   Edl ;q01Δφ12  интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатическогополя2211Δφ12    Edl    E l dl ,1φ1  1Edl   φ 0  φ 0 E l dl– потенциал поля в точке 1.Элементарная работа поляδAполя  F1dl  q0 Edl ;элементарное приращение потенциалаdφ  δAполя Edl ,q0158E dφ  grad φdl– дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатичеdφского поля (определение вектора градиента φ см.

в РАЗДЕЛЕ 1.8.5).dlЭквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.Так как E   grad φ , вектор напряжённости электрического поля перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.ПРИМЕРПотенциал поля точечного зарядаНапряжённость электрического поля точечного заряда qEq r.4πε0 r 3Эквипотенциальные поверхности – сферы (РИС. 20.3).Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно удалённой точке: φ(∞) = 0.

Интегрирование в формуле интегральной связи напряжённости и потенциала проведёмпо радиальной прямой:rrrrq drq 1qφ    Edr    Er dr   .24πε0 r4πε0 r  4πε0r⊕qrРис. 20.3Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности:φ   φi , φ   dφ .ДоказательствоИмеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённостьэлектрического поляE  Ei .Интегральная связь напряжённости и потенциалаAφ φ 0 AEdl  A   E  dl    φ 0 i φ 0 Ei dl   φi , ч.

т. д.Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал,чем напряжённость, так как потенциал – скалярная величина, а напряжённость –векторная.159ПРИМЕР1) Поле равномерно заряженного тонкого кольцаПо тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС.

20.4). Найти зависимость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z).Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцо на малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций:dqφ   dφ , dφ .4πε0rРасстояние r до точки A, где измеряется потенциал одинаково для всех элементов dq;zr  R2  z 2 .Проинтегрируем выражение для потенциала по q:Qφ0dq4πε0 R  z22Q4πε0 R2  z 2A.rQНайдём напряжённость электрического поля как функцию zчерез дифференциальную связь напряжённости и потенциала:dφE   grad φ  kdzzROdqРис. 20.4( k – орт оси z), так как в точках на оси z напряжённостьэлектрического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z; 1Q    2zdφQz 2.Ez  3232dz4πε  R2  z 2 4πε  R2  z 2 00Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E .2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нитиБесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с τлинейной плотностью τ (РИС.

20.5). Найти зависимость потенциала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r).Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённости электрического поля этой системыτEr r2πε0rи интегральной связью напряжённости и потенциала. Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянии r0от нити50;Ar0OРис. 20.5В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало отсчёта потенциала в бесконечности.50160rrτ drτrln .2πε0 r 2πε0 r0r0φ    Er dr   r0График зависимости φ(r) показан на РИС.

20.6.φr0Q0rРис. 20.63) Поле равномерно заряженной сферыСфера радиуса R равномерно заряжена зарядом QQ(РИС. 20.7). Найти зависимость потенциала электрическоIIго поля от расстояния r от центра сферы: φ(r).ROВоспользуемся интегральной связью напряжённости ипотенциала, полагая φ(0) = 0:Irrφ    Er dr .A(20.1)0Разбиваем пространство на две области (см. ПРИМЕР 1 РАЗДЕЛА 3.2.3).Рис. 20.7II.

Характеристики

Список файлов лекций