1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

е. найдём связь между x, y, z, t иx′, y′, z′, t′ (ТАБЛ. 14.1).В классической механике время во всех системах отсчёта течёт одинаково.t′tK′KO′x′xOРис. 14.2Таблица 14.1Преобразования ГалилеяK′ → Kx  x  vt y  yK → K′x  x  vty  yz  zt  tz  zt  t1.11.2. Следствия из преобразований ГалилеяИнвариант преобразований – физическая величина, которая не изменяется припереходе из одной системы отсчёта к другой, т. е. величина, значения которойодинаковы во всех системах отсчёта.1. Абсолютность одновременностиСобытия, одновременные в одной системе отсчёта, одновременны и в другой.Это следует из того, что время является инвариантом преобразований Галилея:t1  t2 ⇒ t1  t2 .37Параграфы 1.11-1.14 выносятся на конец I семестра.1132. Инвариантность длины отрезкаyty′t′Пусть отрезок 1-2 покоится относительно системы отсчёта K′ (РИС.

14.3).Его длина в этой системе отсчёта равнаl′. Выразим l′ через координаты концовотрезка в системе K′:2l′1l K′KOO′x′x1x2x22.Свяжем координаты концов стержня всистеме отсчёта K′ с координатами всистеме отсчёта K через преобразования Галилея:l Рис. 14.3 x2  x1    y2  y1  x2  vt  x1  vt    y2  y1 22 x2  x1    y2  y1 22l– длина отрезка в системе отсчёта K. Это означает, что длина отрезка – инвариантпреобразований Галилея:l  l  inv .3. Инвариантность интервала времениПусть интервал времени между двумя событиями 1 и 2 в системе отсчёта K′Δt   t2  t1 .Интервал времени между теми же событиями в системе отсчёта KΔt  t2  t1 .Так как t1  t1 и t2  t2 ,Δt  Δt   inv .4.

Классический закон сложения скоростейПусть материальная точка движется со скоростью u относительно системы отсчёта K′. Тогда её скорость в системе отсчёта Ku  u  v .ДоказательствоПо определению скоростиdx dx, ux  .dt dtВыразим ux через координату и время в системе отсчёта K′:dx   vdt  dx ux  v  ux   v .dt dt Аналогично получимdydyu y  , uy ⇒ u y  uy ;dtdt uz  uz .ux 1145. Инвариантность ускоренияПо определению, ускорение материальной точки в системе отсчёта K′a du,dt в системе отсчёта Kdudt(здесь мы используем те же обозначения, что в ПРЕДЫДУЩЕМ ПОДРАЗДЕЛЕ).Воспользуемся классическим законом сложения скоростей:au  u  v , a d uvdt  du  a ;dta  a  inv .6. Инвариантность массы и силыПостулируется, что масса и сила – инварианты преобразований Галилея:m  m  inv , F  F   inv .II закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея:F   ma ⇒ F  ma .1.12.

Специальная теория относительности1.12.1. 4-пространствоВремя относительно, как и пространство. Введём 4-пространство – линейноериманово (неевклидово) пространство координат и времени.4-радиус-вектор: ict  xr   , y  z здесь c – константа, имеющая размерность скорости; i – мнимая единица. Модуль4-радиуса-вектораr  x 2  y2  z 2  c 2t 2  inv(доказательство см. «ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА»).Мировая точка – точка в 4-пространстве.Мировая линия – кривая в 4-пространстве.ПРИМЕРМатериальная точка покоится в 4-пространстве.

Мировая линия – траекторияэтой материальной точки в 4-пространстве (вернее, двумерная её проекция) –изображена на РИС. 14.4.115x0ictРис. 14.41.12.2. Преобразования ЛоренцаII закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея, а уравнения Максвелла (см. 3.1.6) – нет. Надо получить другие преобразования, опираясьна свойства симметрии пространства-времени38 (см. 1.1.2).Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта K и K′. Система K′ движетсяотносительно системы K со скоростью v (РИС. 14.2). В момент совмещения началкоординат часы синхронизированы: x = x′ = y = y′ = z = z′, t = t′.Искомые преобразования должны иметь вид x   f  x , t , v  ,t   g  x , t , v  ,где f и g – функции, которые нужно найти.При сдвиге координаты в системе отсчёта K на Δx и времени на Δt соответствующие сдвиги в системе K′Δx   f  x  Δx , t  Δt , v   f  x , t , v  ,Δt   g  x  Δx , t  Δt , v   g  x , t , v  .Это возможно только тогда, когда f и g – линейные функции x и t: x   a1 x  a2 vt ,a3t   v x  a4t .Коэффициенты a1, a2, a3, a4 безразмерны.

Их можно найти с помощью элементарных преобразований. В результате получаются преобразования Лоренца, приведённые в ТАБЛИЦЕ 14.2.Упрощённый вывод (для двумерного пространства-времени x, t) приведён в ПРИЛОЖЕНИИ . Делать его на лекции не рекомендуется из-за громоздкости элементарных алгебраических преобразований.38116Таблица 14.2Преобразования ЛоренцаK′ → Kx   vt xv21 2cy  yK → K′x  vtx v21 2cy  yz  zvt   2 xctv21 2cz  zvt 2xct v21 2cЗдесь c = const. Видно, что v < c, т. е. c – предельная скорость. Из опыта известно,что c – скорость света в вакууме.При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.Подчеркнём, что преобразования Лоренца выводятся из свойств симметрии пространства-времени и не требуют других допущений.

Однако, во многих учебниках(например, [1]) преобразования Лоренца выводятся другим способом – через постулаты Эйнштейна.Постулаты Эйнштейна1. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ2. Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно преобразований.117Лекция 151.12.3. Следствия из преобразований Лоренца1. Инвариантность интервалаИнтервал между событиями 1 и 22ΔS12 c 2 t2  t1    x2  x1    y2  y1    z2  z1  .2222Интервал – инвариант преобразований Лоренца:ΔS12  inv .ДоказательствоДокажем, что малый интервал – дифференциал интервала dS12 – инвариант преобразований Лоренца:22  c 2dt 2  dx2  dy2  dz2 .dS12 c2dt 2  dx 2  dy2  dz2 , dS12 через время и координаты в системе отсчёта K:Выразим dS12dt  vdxdx  vdtc2, dx  , dy  dy , dz  dz ;v2v21 21 2ccdt v2 2dx  2vdxdt  dx 2  v2dt 2  2vdxdt2c2 dS12 dy 2  dz 2 2v1 2c2vc 2  v2 dt 2   2  1  dx 2c2 dy 2  dz 2  c 2dt 2  dx 2  dy 2  dz 2  dS12,2v1 2cc 2dt 2 ч.

т. д.2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)Пусть отрезок 1-2 покоится относиy′yтельно системы отсчёта K′; для простоtt′ты расположим его вдоль оси x′l0(РИС. 15.1). Длина отрезка в системе от12счёта, в которой он покоится, – собственная длина отрезкаl0  l .K′Выразим длину отрезка в системах отO′x′счёта K′ и K через координаты его конKцов:x1x2xOl0  x2  x1 ,Рис. 15.1l  x 2  x 1 .Выразим l0 через координаты и время в системе отсчёта K:118l0 x2  vtx1  vtx 2  x1l,v2v2v2v21 21 21 21 2ccccвремя t в обоих слагаемых этой формулы одно и то же, так как измерение координат x1 и x2 проводится одновременно. Получается, чтоl  l0 1 v2,c2l < l0 – длина движущегося отрезка меньше длины покоящегося.3. Замедление хода движущихся часовyty′t′K′O′x′Имеются часы с пружинным (или другим) маятником, покоящиеся относительно системы отсчёта K′ (РИС.

15.2).Период колебаний маятника в системеотсчёта, относительно которой точкаподвеса маятника покоится ( x1  x2 ), –период собственных колебанийT0  T  ,T   t2  t1 [события 1 и 2 – два последовательных прохождения маятникомxOположения равновесия (или любойРис. 15.2другой фазы колебаний]. В системе отсчёта K события 1 и 2 происходят вточках с разными координатами x1 и x2, период колебаний маятникаT  t 2  t1 .KВыразим эту величину через координаты и время в системе отсчёта K′:vvt 2  2 x2 t1  2 x1t  tccT 2 1 ,v2v2v21 21 21 2cccTT01v2c2T > T0 – ход движущихся часов замедляется.4. Относительность одновременностиЕсли события 1 и 2 в системе отсчёта K′ происходят в одно и то же время ( t2  t1 ),но в разных местах ( x2  x1 ), то t2 ≠ t1 – эти события не одновременны в системеотсчёта K.

Это следует из преобразований Лоренца.При t2  t1 и x2  x1 возможно t2 < t1. Однако, если между событиями 1 и 2 имеетсяпричинно-следственная связь, то она не нарушается и t2 > t1.1195. Релятивистский закон сложения скоростейyty′t′K′KO′x′xOРис. 15.3Пусть материальная точка M движетсясо скоростью u относительно системыотсчёта K′ (РИС.

15.3). Найдём её скорость в системе отсчёта K.По определению, проекции скорости всистеме отсчёта K′dzdx dyux  , uy , uz ;dt dt dt в системе отсчёта Kdxdzdyux , uy , uz  .dtdtdtВыразим эти проекции через коорди-наты и скорости в системе отсчёта K′:dx dx   vdt v21 2c, dy  dy , dz  dz , dt vdx c2;v21 2cdt  v2v2v2u1u1u  vdx   vdt c2  yc2 .c2 , u  zux  x, uy zvvvvvdt   2 dx  1  2 ux dt   2 dx  1  2 ux 1  2 ux cccccdy 1 Итак,v2v2u  1 2u  vc2 , u  zc .ux  x , uy zvvv1  2 ux 1  2 ux 1  2 ux cccuy 1 Ускорение не является инвариантом преобразований Лоренца.

Формулы для преобразования компонент ускорений можно получить аналогичным образом – исходя из определения и преобразований Лоренца:duduax  x , ax   x  ⇒ …dt dt1.13. Релятивистская динамика1.13.1. Релятивистский импульсРассмотрим замкнутую механическую систему – два груза одинаковой массы m0,соединённых пружиной (РИС. 15.4). В системе отсчёта K′ центр масс данной механической системы покоится. В начальном состоянии пружина сжата, затем онаразжимается и грузы движутся со скоростями u1 и u2 .Должен выполняться закон сохранения импульса: импульс данной замкнутой механической системы должен сохраняться в любой инерциальной системе отсчёта.120yty′t′m0m0K′O′Kx′xРис. 15.4Определим импульс материальной точки, как в классической механике:Op  m0 u .Используя РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ, получим в системе отсчёта K:проекция начального импульса системы на ось xP1 x  2m0 v ,проекция конечного импульсаv  uv  u. m0vv1  2 u1  2 uccВидно, что P1x ≠ P2x.

Получается., что в системе отсчёта K закон сохранения не выполняется, чего не может быть.Подберём такое выражение для импульса, чтобы py  p y . (В классической механиP2 x  m0dy; так как dy = dy′, а dt = dt′, то при таком определении py  p y .) Возьdtмём в качестве элементарного интервала времени собственное время dτ = dτ′.

Характеристики

Список файлов лекций