Главная » Просмотр файлов » 1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60

1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 20

Файл №805623 1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)) 20 страница1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623) страница 202020-08-22СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Тогдаdydypy  m0 m0 py .dτdτке p y  m0Но dτ  dt 1 u2, поэтомуc2py m0dydτm0dyu2dt 1  2cm0u yu21 2cаналогичноpx в векторной формеm0uxu21 2c, pz m0uzu21 2c;,121pm0 uu21 2c.Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:p  mu ,здесь m – релятивистская масса:mm0u21 2c.1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точкиЕсли материальная точка изолирована, то её импульс p  mu  const . Если на точку действуют другие объекты, то мера взаимодействия – сила F .

Запишем уравнение динамики:Δp  FΔtили, подставляя выражение для релятивистского импульса,ddtm0 uu21 2cF– релятивистское уравнение динамики материальной точки.Так как F  f  v , t  и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразований Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому полученное уравнение динамики малополезно для решения задач.1.13.3.

Энергия в релятивистской механикеПусть тело движется под воздействием других объектов, которое описываетсясилой F , направленной параллельно перемещению Δl (РИС. 15.5). Тело разгоняется от начальной скорости u0  0 до скорости u .xOt 0t 0x 0x 0u0u0Wк  0Wк  0Рис. 15.5По теореме об изменении кинетической энергии работа силы FA  ΔWк  Wк .122Найдём работу и, соответственно, кинетическую энергию тела. Элементарная работа на малом перемещении dl (dl = dx)δA  Fdl  Fdx cos0  Fdx ;так как из релятивистского уравнения динамики F dp, релятивистский имdtпульс p  muδA d  mu dtdx  ud  mu  .Проинтегрируем это выражение:uuuc2A  Wк   ud  mu   u  mu   mudu  mu  2000m02 mu2 m0c 22m0u212uc2u21 2c12m0c 212uc2c2u21 2c 2u  du uu2 c2  1  2 c  mu2  m0  m0c 2 2u1 2c0m0u212uc2 m0c 2  mc 2  m0c 2 ,Wк  mc 2  m0c 2 .При u << c m u21u2Wк  m0c 2  1   m0c 2  1  2  1   02c2u2 1 2c– результат классической механики.Полная энергияW  mc 2 .ПредставимW  mc 2  Wк  m0c 2 .При u = 0 W = W0 = m0c2;W0  m0c 2– энергия покоя.Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.123ПРИМЕРЫ1) Реакция аннигиляцииПри взаимодействии частицы и её античастицы они аннигилируют (взаимно уничтожаются) с образованием фотонов.

Например, реакция электрона и позитронаe   e   2γ ,m0m0m0 = 0γ – фотон рентгеновского излучения. Массы покоя электрона и позитрона одинаковы (m0), а масса покоя фотона равна нулю. Энергия покоя электрона и позитрона переходит в энергию фотона (энергию электромагнитного поля).2) Дефект массАтомные ядра состоят из нуклонов – протонов и нейтронов (см.

РАЗДЕЛ 7.1.1). Массы покоя протона и нейтрона в свободном состоянии соответственно равны mp иmn; масса ядра – mя.Всегда масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов:mя  Zmp   A  Z  mn ,здесь Z – число протонов в ядре – заряд ядра, A – массовое число, (A – Z) – числонейтронов в ядре. РазностьΔm0  Zmp   A  Z  mn  mя  0 ,– дефект масс.Рассмотрим реакцию синтеза атомного ядра (см. РАЗДЕЛ 7.3.5) – реакцию получения ядра из отдельных нуклонов. Изменение энергии системы нуклоновΔW  ΔWк  Δ m0c 2  ΔWк  c 2Δm0 .В замкнутой системе ΔW = 0.

ПоэтомуΔWк  c 2Δm0 ⇒ Δm0  ΔWк.c21.13.4. Вектор энергии-импульсаВ 4-пространстве оперируют физическими величинами – 4-векторами.4-вектор энергии-импульса Wi cP   px p y p zНайдём модуль вектора энергии-импульса:.124Wm0c 21puc2m0 u1W2u2c2m0c 212 2c pW2,p u u cp ,  ;⇒W c2 c W22 22 4⇒ W  c p  m0 c  inv– модуль вектора энергии-импульса является релятивистским инвариантом.125Лекция 161.14. Механические колебания391.14.1.

Виды колебанийКолебания – периодические изменения какой-либо физической величины вовремени. Система тел, в которой происходят колебания, – колебательная система.Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическоеописание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания.Колебаниясвободныеколебательная системапредоставлена самой себенезатухающиевынужденныепри периодическом внешнемвоздействиизатухающиеW↓1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные колебания)Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (трения нет) в горизонтальномнаправлении.

Груз – материальная точка масkсы m – колеблется на пружине жёсткостью k(РИС. 16.1), после того как его вывели из поOложения равновесия (точка O) и предоставили систему самой себе.Запишем II закон Ньютона для груза:Рис. 16.1mxma  Fт  N  F упр .Спроецируем это уравнение на ось x. Так как Fупр x = –kx,max  kx .По определению, ax d2x. Получим дифференциальное уравнениеdt 2md2 xd2 x kkx0 x 0.⇒dt 2dt 2 mОбозначимk ω02 ;mМатериал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра. Материаллекций 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитан во II семестре перед темой «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ » или параллельно материалу этой темы.39126d2x ω02 x  0dt 2(16.1)– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Егообщее решение40x t   A cos  ω0t  φ (16.2)содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяютсяиз начальных условий.Пусть при t = 0 x = x0, vx = 0 (груз оттянули на x0 и отпустили без начальной скорости). Первая производная функции (16.2) – проекция скорости груза на ось xdx vx t    Aω0 sin  ω0t  φ  .(16.3)dtПодставим начальные условия в функции (16.2) и (16.3) и найдём константы A иφ:x  0  A cos φ,x0  A cos φ , φ  0,⇒⇒0   Aω0 sin φ vx  0   Aω0 sin φ  A  x0 .Частное решение дифференциального уравнения (16.1) при данных начальныхусловияхx t   x0 cos ω0t ;проекции скорости и ускорения на ось xvx t    x0ω0 cos ω0t , ax t    x0ω02 cos ω0t .Графики функций x(t), vx(t), ax(t) представлены на РИС.

16.2. Решение (16.2) – гармоническая функция.В общем решении (16.2):A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величиныот равновесного значения;ω0 – циклическая частота;выражение в скобках (аргумент косинуса) – фаза колебаний;φ – начальная фаза.Введём другие характеристики гармонических колебаний:период T – время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание;частота ν – число полных колебаний в единичный промежуток времени;Tω0  ω0 12π ;, ν2π Tω0рад 1 с ,  ν   Гц .сСтудентам предлагается проверить самостоятельно, является ли формула (16.2) общим решением дифференциального уравнения (16.1).40127xx00t–x0аvxx0 ω 00t–x0ω0бax0tвРис. 16.2Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы)mv2 kx 22π const22ω0(студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно).W  Wк  Wп 128Демонстрация: Пружинные маятникиПРИМЕРЫ1.

Математический маятникМатематический маятник – материальная точка,подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно⊙родном гравитационном поле.zНайдём период колебаний математического маятникамассы m на нити длиной l (РИС. 16.3). Запишем II законlНьютона:φma  Fт  T .mСпроецируем это уравнение на оси естественной системы координат:man  T  Fт cos φ ,Рис. 16.3maτ  Fт sin φ .(16.4)Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. Выразим тангенциальноеускорение маятника через угловое ускорение:(16.5)aτ  εz l ,а по определениюd 2φ.dt 2Подставим (16.5) и (16.6), а также Fт = mg в уравнение (16.4):εz md 2φl  mg sin φ ,dt 2d 2φ g sin φ  0 .dt 2 lПри малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет видd 2φ ω02φ  0 ,2dt– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, гдеω0 g.lПериод колебаний математического маятника T T  2πзависит только от его длины.lg2π,ω0(16.6)1292.

Физический маятник⊙z⊗⊗dφCФизический маятник – твёрдое тело, которое можетвращаться вокруг неподвижной оси, проходящей черезточки этого тела, не являющиеся его центром масс, в однородном гравитационном поле.Пусть масса маятника равна m, его момент инерции относительно оси маятника равен I, расстояние между центром масс маятника и его осью z равно d (РИС. 16.4).Найдём период колебаний маятника.Запишем основное уравнение динамики вращательногодвижения:Iε  M Fт  M NРис. 16.4( N – сила реакции оси маятника). Спроецируем это уравнение на ось маятника:Id 2φ mgd sin φ .dt 2При малых углах φ sin φ ≈ φ иd 2φ mgdφ 0.dt 2IОбозначивω0 mgd,Iполучим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе2πриод колебаний T ,ω0T  2πI.mgdПриведённая длина физического маятника – длина математического маятника спериодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний данного физического маятника.Демонстрация: Математический и физический маятникиИз приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механические колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблющейся величины.1.14.3.

Свободные затухающие колебанияРассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2), введя силу сопротивления в видеF сопр  r v – сила вязкого трения, r – положительная константа. Колебательнаясистема изображена на РИС. 16.5.Запишем II закон Ньютона для груза:ma  Fт  N  F упр  F сопр .В проекции на ось x130d2xdxm 2  kx  r ,dtdtkd 2 x r dx k x 0.dt 2 m dt mОбозначим ω0 mxOkиmРис. 16.5r 2β ,mβ – коэффициент затухания;d2 xdx 2β  ω02 x  02dtdt(16.7)– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения41 зависит от величины коэффициента затухания.1. Сильное затухание (β ≥ ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.7)x t   A1eββ2 ω02 t A2eββ2 ω02 t– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальныхусловий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс.

Примерный график апериодического процесса показан на РИС. 16.6.xx00tРис. 16.62. Слабое затухание (β < ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.7)Можно провести решение дифференциального уравнения (16.7) через характеристическоеуравнение.41131x t   A0e  βt cos  ωt  φ  ,(16.8)гдеω  ω02  β 2– циклическая частота затухающих колебаний.Величины A0 и φ в решении (16.8) – это постоянные, определяемые из начальныхусловий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,2 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее