1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Тогдаdydypy  m0 m0 py .dτdτке p y  m0Но dτ  dt 1 u2, поэтомуc2py m0dydτm0dyu2dt 1  2cm0u yu21 2cаналогичноpx в векторной формеm0uxu21 2c, pz m0uzu21 2c;,121pm0 uu21 2c.Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:p  mu ,здесь m – релятивистская масса:mm0u21 2c.1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точкиЕсли материальная точка изолирована, то её импульс p  mu  const . Если на точку действуют другие объекты, то мера взаимодействия – сила F .

Запишем уравнение динамики:Δp  FΔtили, подставляя выражение для релятивистского импульса,ddtm0 uu21 2cF– релятивистское уравнение динамики материальной точки.Так как F  f  v , t  и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразований Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому полученное уравнение динамики малополезно для решения задач.1.13.3.

Энергия в релятивистской механикеПусть тело движется под воздействием других объектов, которое описываетсясилой F , направленной параллельно перемещению Δl (РИС. 15.5). Тело разгоняется от начальной скорости u0  0 до скорости u .xOt 0t 0x 0x 0u0u0Wк  0Wк  0Рис. 15.5По теореме об изменении кинетической энергии работа силы FA  ΔWк  Wк .122Найдём работу и, соответственно, кинетическую энергию тела. Элементарная работа на малом перемещении dl (dl = dx)δA  Fdl  Fdx cos0  Fdx ;так как из релятивистского уравнения динамики F dp, релятивистский имdtпульс p  muδA d  mu dtdx  ud  mu  .Проинтегрируем это выражение:uuuc2A  Wк   ud  mu   u  mu   mudu  mu  2000m02 mu2 m0c 22m0u212uc2u21 2c12m0c 212uc2c2u21 2c 2u  du uu2 c2  1  2 c  mu2  m0  m0c 2 2u1 2c0m0u212uc2 m0c 2  mc 2  m0c 2 ,Wк  mc 2  m0c 2 .При u << c m u21u2Wк  m0c 2  1   m0c 2  1  2  1   02c2u2 1 2c– результат классической механики.Полная энергияW  mc 2 .ПредставимW  mc 2  Wк  m0c 2 .При u = 0 W = W0 = m0c2;W0  m0c 2– энергия покоя.Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.123ПРИМЕРЫ1) Реакция аннигиляцииПри взаимодействии частицы и её античастицы они аннигилируют (взаимно уничтожаются) с образованием фотонов.

Например, реакция электрона и позитронаe   e   2γ ,m0m0m0 = 0γ – фотон рентгеновского излучения. Массы покоя электрона и позитрона одинаковы (m0), а масса покоя фотона равна нулю. Энергия покоя электрона и позитрона переходит в энергию фотона (энергию электромагнитного поля).2) Дефект массАтомные ядра состоят из нуклонов – протонов и нейтронов (см.

РАЗДЕЛ 7.1.1). Массы покоя протона и нейтрона в свободном состоянии соответственно равны mp иmn; масса ядра – mя.Всегда масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов:mя  Zmp   A  Z  mn ,здесь Z – число протонов в ядре – заряд ядра, A – массовое число, (A – Z) – числонейтронов в ядре. РазностьΔm0  Zmp   A  Z  mn  mя  0 ,– дефект масс.Рассмотрим реакцию синтеза атомного ядра (см. РАЗДЕЛ 7.3.5) – реакцию получения ядра из отдельных нуклонов. Изменение энергии системы нуклоновΔW  ΔWк  Δ m0c 2  ΔWк  c 2Δm0 .В замкнутой системе ΔW = 0.

ПоэтомуΔWк  c 2Δm0 ⇒ Δm0  ΔWк.c21.13.4. Вектор энергии-импульсаВ 4-пространстве оперируют физическими величинами – 4-векторами.4-вектор энергии-импульса Wi cP   px p y p zНайдём модуль вектора энергии-импульса:.124Wm0c 21puc2m0 u1W2u2c2m0c 212 2c pW2,p u u cp ,  ;⇒W c2 c W22 22 4⇒ W  c p  m0 c  inv– модуль вектора энергии-импульса является релятивистским инвариантом.125Лекция 161.14. Механические колебания391.14.1.

Виды колебанийКолебания – периодические изменения какой-либо физической величины вовремени. Система тел, в которой происходят колебания, – колебательная система.Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическоеописание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания.Колебаниясвободныеколебательная системапредоставлена самой себенезатухающиевынужденныепри периодическом внешнемвоздействиизатухающиеW↓1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные колебания)Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (трения нет) в горизонтальномнаправлении.

Груз – материальная точка масkсы m – колеблется на пружине жёсткостью k(РИС. 16.1), после того как его вывели из поOложения равновесия (точка O) и предоставили систему самой себе.Запишем II закон Ньютона для груза:Рис. 16.1mxma  Fт  N  F упр .Спроецируем это уравнение на ось x. Так как Fупр x = –kx,max  kx .По определению, ax d2x. Получим дифференциальное уравнениеdt 2md2 xd2 x kkx0 x 0.⇒dt 2dt 2 mОбозначимk ω02 ;mМатериал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра. Материаллекций 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитан во II семестре перед темой «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ » или параллельно материалу этой темы.39126d2x ω02 x  0dt 2(16.1)– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Егообщее решение40x t   A cos  ω0t  φ (16.2)содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяютсяиз начальных условий.Пусть при t = 0 x = x0, vx = 0 (груз оттянули на x0 и отпустили без начальной скорости). Первая производная функции (16.2) – проекция скорости груза на ось xdx vx t    Aω0 sin  ω0t  φ  .(16.3)dtПодставим начальные условия в функции (16.2) и (16.3) и найдём константы A иφ:x  0  A cos φ,x0  A cos φ , φ  0,⇒⇒0   Aω0 sin φ vx  0   Aω0 sin φ  A  x0 .Частное решение дифференциального уравнения (16.1) при данных начальныхусловияхx t   x0 cos ω0t ;проекции скорости и ускорения на ось xvx t    x0ω0 cos ω0t , ax t    x0ω02 cos ω0t .Графики функций x(t), vx(t), ax(t) представлены на РИС.

16.2. Решение (16.2) – гармоническая функция.В общем решении (16.2):A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величиныот равновесного значения;ω0 – циклическая частота;выражение в скобках (аргумент косинуса) – фаза колебаний;φ – начальная фаза.Введём другие характеристики гармонических колебаний:период T – время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание;частота ν – число полных колебаний в единичный промежуток времени;Tω0  ω0 12π ;, ν2π Tω0рад 1 с ,  ν   Гц .сСтудентам предлагается проверить самостоятельно, является ли формула (16.2) общим решением дифференциального уравнения (16.1).40127xx00t–x0аvxx0 ω 00t–x0ω0бax0tвРис. 16.2Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы)mv2 kx 22π const22ω0(студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно).W  Wк  Wп 128Демонстрация: Пружинные маятникиПРИМЕРЫ1.

Математический маятникМатематический маятник – материальная точка,подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно⊙родном гравитационном поле.zНайдём период колебаний математического маятникамассы m на нити длиной l (РИС. 16.3). Запишем II законlНьютона:φma  Fт  T .mСпроецируем это уравнение на оси естественной системы координат:man  T  Fт cos φ ,Рис. 16.3maτ  Fт sin φ .(16.4)Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. Выразим тангенциальноеускорение маятника через угловое ускорение:(16.5)aτ  εz l ,а по определениюd 2φ.dt 2Подставим (16.5) и (16.6), а также Fт = mg в уравнение (16.4):εz md 2φl  mg sin φ ,dt 2d 2φ g sin φ  0 .dt 2 lПри малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет видd 2φ ω02φ  0 ,2dt– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, гдеω0 g.lПериод колебаний математического маятника T T  2πзависит только от его длины.lg2π,ω0(16.6)1292.

Физический маятник⊙z⊗⊗dφCФизический маятник – твёрдое тело, которое можетвращаться вокруг неподвижной оси, проходящей черезточки этого тела, не являющиеся его центром масс, в однородном гравитационном поле.Пусть масса маятника равна m, его момент инерции относительно оси маятника равен I, расстояние между центром масс маятника и его осью z равно d (РИС. 16.4).Найдём период колебаний маятника.Запишем основное уравнение динамики вращательногодвижения:Iε  M Fт  M NРис. 16.4( N – сила реакции оси маятника). Спроецируем это уравнение на ось маятника:Id 2φ mgd sin φ .dt 2При малых углах φ sin φ ≈ φ иd 2φ mgdφ 0.dt 2IОбозначивω0 mgd,Iполучим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе2πриод колебаний T ,ω0T  2πI.mgdПриведённая длина физического маятника – длина математического маятника спериодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний данного физического маятника.Демонстрация: Математический и физический маятникиИз приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механические колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблющейся величины.1.14.3.

Свободные затухающие колебанияРассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2), введя силу сопротивления в видеF сопр  r v – сила вязкого трения, r – положительная константа. Колебательнаясистема изображена на РИС. 16.5.Запишем II закон Ньютона для груза:ma  Fт  N  F упр  F сопр .В проекции на ось x130d2xdxm 2  kx  r ,dtdtkd 2 x r dx k x 0.dt 2 m dt mОбозначим ω0 mxOkиmРис. 16.5r 2β ,mβ – коэффициент затухания;d2 xdx 2β  ω02 x  02dtdt(16.7)– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения41 зависит от величины коэффициента затухания.1. Сильное затухание (β ≥ ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.7)x t   A1eββ2 ω02 t A2eββ2 ω02 t– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальныхусловий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс.

Примерный график апериодического процесса показан на РИС. 16.6.xx00tРис. 16.62. Слабое затухание (β < ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.7)Можно провести решение дифференциального уравнения (16.7) через характеристическоеуравнение.41131x t   A0e  βt cos  ωt  φ  ,(16.8)гдеω  ω02  β 2– циклическая частота затухающих колебаний.Величины A0 и φ в решении (16.8) – это постоянные, определяемые из начальныхусловий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см.

Характеристики

Список файлов лекций