1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогдаdydypy m0 m0 py .dτdτке p y m0Но dτ dt 1 u2, поэтомуc2py m0dydτm0dyu2dt 1 2cm0u yu21 2cаналогичноpx в векторной формеm0uxu21 2c, pz m0uzu21 2c;,121pm0 uu21 2c.Запишем это определение в виде, аналогичном формуле классической механики:p mu ,здесь m – релятивистская масса:mm0u21 2c.1.13.2. Релятивистское уравнение динамики материальной точкиЕсли материальная точка изолирована, то её импульс p mu const . Если на точку действуют другие объекты, то мера взаимодействия – сила F .
Запишем уравнение динамики:Δp FΔtили, подставляя выражение для релятивистского импульса,ddtm0 uu21 2cF– релятивистское уравнение динамики материальной точки.Так как F f v , t и ни время, ни скорость не являются инвариантами преобразований Лоренца, то и сила не является релятивистским инвариантом. Поэтому полученное уравнение динамики малополезно для решения задач.1.13.3.
Энергия в релятивистской механикеПусть тело движется под воздействием других объектов, которое описываетсясилой F , направленной параллельно перемещению Δl (РИС. 15.5). Тело разгоняется от начальной скорости u0 0 до скорости u .xOt 0t 0x 0x 0u0u0Wк 0Wк 0Рис. 15.5По теореме об изменении кинетической энергии работа силы FA ΔWк Wк .122Найдём работу и, соответственно, кинетическую энергию тела. Элементарная работа на малом перемещении dl (dl = dx)δA Fdl Fdx cos0 Fdx ;так как из релятивистского уравнения динамики F dp, релятивистский имdtпульс p muδA d mu dtdx ud mu .Проинтегрируем это выражение:uuuc2A Wк ud mu u mu mudu mu 2000m02 mu2 m0c 22m0u212uc2u21 2c12m0c 212uc2c2u21 2c 2u du uu2 c2 1 2 c mu2 m0 m0c 2 2u1 2c0m0u212uc2 m0c 2 mc 2 m0c 2 ,Wк mc 2 m0c 2 .При u << c m u21u2Wк m0c 2 1 m0c 2 1 2 1 02c2u2 1 2c– результат классической механики.Полная энергияW mc 2 .ПредставимW mc 2 Wк m0c 2 .При u = 0 W = W0 = m0c2;W0 m0c 2– энергия покоя.Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.123ПРИМЕРЫ1) Реакция аннигиляцииПри взаимодействии частицы и её античастицы они аннигилируют (взаимно уничтожаются) с образованием фотонов.
Например, реакция электрона и позитронаe e 2γ ,m0m0m0 = 0γ – фотон рентгеновского излучения. Массы покоя электрона и позитрона одинаковы (m0), а масса покоя фотона равна нулю. Энергия покоя электрона и позитрона переходит в энергию фотона (энергию электромагнитного поля).2) Дефект массАтомные ядра состоят из нуклонов – протонов и нейтронов (см.
РАЗДЕЛ 7.1.1). Массы покоя протона и нейтрона в свободном состоянии соответственно равны mp иmn; масса ядра – mя.Всегда масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов:mя Zmp A Z mn ,здесь Z – число протонов в ядре – заряд ядра, A – массовое число, (A – Z) – числонейтронов в ядре. РазностьΔm0 Zmp A Z mn mя 0 ,– дефект масс.Рассмотрим реакцию синтеза атомного ядра (см. РАЗДЕЛ 7.3.5) – реакцию получения ядра из отдельных нуклонов. Изменение энергии системы нуклоновΔW ΔWк Δ m0c 2 ΔWк c 2Δm0 .В замкнутой системе ΔW = 0.
ПоэтомуΔWк c 2Δm0 ⇒ Δm0 ΔWк.c21.13.4. Вектор энергии-импульсаВ 4-пространстве оперируют физическими величинами – 4-векторами.4-вектор энергии-импульса Wi cP px p y p zНайдём модуль вектора энергии-импульса:.124Wm0c 21puc2m0 u1W2u2c2m0c 212 2c pW2,p u u cp , ;⇒W c2 c W22 22 4⇒ W c p m0 c inv– модуль вектора энергии-импульса является релятивистским инвариантом.125Лекция 161.14. Механические колебания391.14.1.
Виды колебанийКолебания – периодические изменения какой-либо физической величины вовремени. Система тел, в которой происходят колебания, – колебательная система.Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическоеописание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания.Колебаниясвободныеколебательная системапредоставлена самой себенезатухающиевынужденныепри периодическом внешнемвоздействиизатухающиеW↓1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные колебания)Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (трения нет) в горизонтальномнаправлении.
Груз – материальная точка масkсы m – колеблется на пружине жёсткостью k(РИС. 16.1), после того как его вывели из поOложения равновесия (точка O) и предоставили систему самой себе.Запишем II закон Ньютона для груза:Рис. 16.1mxma Fт N F упр .Спроецируем это уравнение на ось x. Так как Fупр x = –kx,max kx .По определению, ax d2x. Получим дифференциальное уравнениеdt 2md2 xd2 x kkx0 x 0.⇒dt 2dt 2 mОбозначимk ω02 ;mМатериал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра. Материаллекций 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитан во II семестре перед темой «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ » или параллельно материалу этой темы.39126d2x ω02 x 0dt 2(16.1)– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Егообщее решение40x t A cos ω0t φ (16.2)содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяютсяиз начальных условий.Пусть при t = 0 x = x0, vx = 0 (груз оттянули на x0 и отпустили без начальной скорости). Первая производная функции (16.2) – проекция скорости груза на ось xdx vx t Aω0 sin ω0t φ .(16.3)dtПодставим начальные условия в функции (16.2) и (16.3) и найдём константы A иφ:x 0 A cos φ,x0 A cos φ , φ 0,⇒⇒0 Aω0 sin φ vx 0 Aω0 sin φ A x0 .Частное решение дифференциального уравнения (16.1) при данных начальныхусловияхx t x0 cos ω0t ;проекции скорости и ускорения на ось xvx t x0ω0 cos ω0t , ax t x0ω02 cos ω0t .Графики функций x(t), vx(t), ax(t) представлены на РИС.
16.2. Решение (16.2) – гармоническая функция.В общем решении (16.2):A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величиныот равновесного значения;ω0 – циклическая частота;выражение в скобках (аргумент косинуса) – фаза колебаний;φ – начальная фаза.Введём другие характеристики гармонических колебаний:период T – время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание;частота ν – число полных колебаний в единичный промежуток времени;Tω0 ω0 12π ;, ν2π Tω0рад 1 с , ν Гц .сСтудентам предлагается проверить самостоятельно, является ли формула (16.2) общим решением дифференциального уравнения (16.1).40127xx00t–x0аvxx0 ω 00t–x0ω0бax0tвРис. 16.2Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы)mv2 kx 22π const22ω0(студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно).W Wк Wп 128Демонстрация: Пружинные маятникиПРИМЕРЫ1.
Математический маятникМатематический маятник – материальная точка,подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно⊙родном гравитационном поле.zНайдём период колебаний математического маятникамассы m на нити длиной l (РИС. 16.3). Запишем II законlНьютона:φma Fт T .mСпроецируем это уравнение на оси естественной системы координат:man T Fт cos φ ,Рис. 16.3maτ Fт sin φ .(16.4)Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. Выразим тангенциальноеускорение маятника через угловое ускорение:(16.5)aτ εz l ,а по определениюd 2φ.dt 2Подставим (16.5) и (16.6), а также Fт = mg в уравнение (16.4):εz md 2φl mg sin φ ,dt 2d 2φ g sin φ 0 .dt 2 lПри малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет видd 2φ ω02φ 0 ,2dt– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, гдеω0 g.lПериод колебаний математического маятника T T 2πзависит только от его длины.lg2π,ω0(16.6)1292.
Физический маятник⊙z⊗⊗dφCФизический маятник – твёрдое тело, которое можетвращаться вокруг неподвижной оси, проходящей черезточки этого тела, не являющиеся его центром масс, в однородном гравитационном поле.Пусть масса маятника равна m, его момент инерции относительно оси маятника равен I, расстояние между центром масс маятника и его осью z равно d (РИС. 16.4).Найдём период колебаний маятника.Запишем основное уравнение динамики вращательногодвижения:Iε M Fт M NРис. 16.4( N – сила реакции оси маятника). Спроецируем это уравнение на ось маятника:Id 2φ mgd sin φ .dt 2При малых углах φ sin φ ≈ φ иd 2φ mgdφ 0.dt 2IОбозначивω0 mgd,Iполучим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе2πриод колебаний T ,ω0T 2πI.mgdПриведённая длина физического маятника – длина математического маятника спериодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний данного физического маятника.Демонстрация: Математический и физический маятникиИз приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механические колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблющейся величины.1.14.3.
Свободные затухающие колебанияРассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2), введя силу сопротивления в видеF сопр r v – сила вязкого трения, r – положительная константа. Колебательнаясистема изображена на РИС. 16.5.Запишем II закон Ньютона для груза:ma Fт N F упр F сопр .В проекции на ось x130d2xdxm 2 kx r ,dtdtkd 2 x r dx k x 0.dt 2 m dt mОбозначим ω0 mxOkиmРис. 16.5r 2β ,mβ – коэффициент затухания;d2 xdx 2β ω02 x 02dtdt(16.7)– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения41 зависит от величины коэффициента затухания.1. Сильное затухание (β ≥ ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.7)x t A1eββ2 ω02 t A2eββ2 ω02 t– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальныхусловий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс.
Примерный график апериодического процесса показан на РИС. 16.6.xx00tРис. 16.62. Слабое затухание (β < ω0)Общее решение дифференциального уравнения (16.7)Можно провести решение дифференциального уравнения (16.7) через характеристическоеуравнение.41131x t A0e βt cos ωt φ ,(16.8)гдеω ω02 β 2– циклическая частота затухающих колебаний.Величины A0 и φ в решении (16.8) – это постоянные, определяемые из начальныхусловий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см.