1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Как обсуждалось РАНЕЕ, возможны два обратимых процесса – квазистатический адиабатный и изотермический процессы. Поэтому точки 1 и 2 на диаграмме РИС. 11.2А мы соединимизотермой и адиабатой через промежуточное состояние 3:1-3 – изотермический процесс,3-2 – адиабатный процесс.На РИС.

11.2Б изображены графики тех же процессов в координатах (T, S).Рассчитаем изменение энтропии:032 2 δQ δQδQ.ΔS12   TTT131обрат 1В изотермическом процессе 1-3 δQ = δA = pdV, а pV = p1V1 ⇒ p 3pdV p1V1 dV p1V1 V3ΔS12  ln .T1T1 1 VT1V11p1V1;V3(11.1)94p1T2213030VSабРис. 11.2Найдём V3 из уравнений адиабатного и изотермического процессов: p1V1  p3V3 ,γγ p2V2  p3V3 .Разделим нижнее уравнение на верхнее:V3γ 1 p p2 V⇒ V3   2 p1 V1 p1 γ21γ 1γγ 121γ 11V.VВыразим показатель адиабаты γ через число степеней свободы i молекулы:γ i  2 i  i  2 ;i 2i 22 γ1  ,⇒ γ 1 iii γ 1i 22ii 2 p 2 V 2V3   2  2 i . p1  V 21Подставим это выражение в формулу (11.1):i 2ip1V1  p2  2 V2 2  p1V1  i p2 i  2 V2 ΔS12 ln  ln  . ln i  p1 T1T2p2V1 11V12 Так как из уравнения Менделеева-Клапейронаp1V1 νR ,T1pV  pV pV ΔS12  ν  CV ln 2  C p ln 2   1 1  CV ln 2  C p ln 2  .p1V1  T1 p1V1 2.6.7.

III начало термодинамикиIII начало термодинамики (тепловой закон Нернста): при стремлении к нулютермодинамической температуры энтропия термодинамической системы стремится к нулю.Другая формулировка: абсолютный нуль недостижим.Из закона Нернста следует, что для любой термодинамической системы95 dU CV  0. dT T 02.7. Классические распределения частиц идеального газа2.7.1. Функция распределенияПусть имеется термодинамическая система из N частиц; ξ – величина, характеризующая частицу.

Вероятность того, что величина ξ будет иметь значение ξi,NPi  i ,Nгде Ni – количество частиц, для которых ξ = ξi.Условие нормировки:P  1i(так как то, что величина ξ примет какое-нибудь значение, есть достоверное событие).Среднее значение величины ξ:ξ  N ξ   PξNi ii i.Если величина ξ изменяется непрерывно, то вероятность того, что ξ = (ξ, ξ + dξ)dP  ξ   f  ξ  dξ ,где f(ξ) – функция распределения вероятности (плотность вероятности).ПРИМЕРРаспределение ГауссаРаспределение Гаусса – это функция видаf  ξ   Ae α  ξ ξ 0 2f(ξ),где ξ0 – постоянная, α – положительнаяпостоянная; коэффициент A находитсяиз условия нормировки (см.

НИЖЕ).График распределения Гаусса показанна РИС. 11.3.По такому закону распределяются результаты серии большого числа случайных измерений32.Демонстрация: Доска Гальтона0ξ0ξРис. 11.3Свойства функции распределения331. Определённость и непрерывность во всей области определения ξ(a, b)Результаты серии небольшого числа случайных измерений (N ≲ 10) подчиняются распределению Стьюдента (см.

ВВОДНУЮ ГЛАВУ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА ).33 В «живой» лекции эти свойства можно записать математическими значками.32962.3.4.Дифференцируемость во всей области определенияИнтегрируемость во всей области определенияУсловие нормировки (нормируемость):b f  ξ dξ  1 .aЗная функцию распределения, можно найти среднее значение любого параметра,зависящего от ξ.Среднее значение ξbξ   ξf  ξ dξ .aСреднее значение квадрата ξbξ 2   ξ 2 f  ξ dξ .aСреднее значение функции φ(ξ)bφ   φ  ξ  f  ξ dξ .aНаиболее вероятное значение ξdf  ξ dξ 0 ⇒ ξвер.Дополнительное заданиеНайти по РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ГАУССА (a → –∞, b → ∞): нормировочный множитель A, ξ ,ξ 2 , ξвер.97Лекция 122.7.2. Распределение молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла)Молекулы идеального газа движутся хаотически, но в этом хаосе есть закономерности. Рассмотрим идеальный газ из N частиц.Теперь случайная величина ξ – это модульскорости v молекул идеального газа.vzdvНайдём функцию распределения f(v).Рассмотрим подпространство фазовогопространства – пространство скоростей(vx, vy, vz).

Плотность изобразительных тоvчек в этом пространстве будет равна Nf(v).Количество точек в сферическом слое раvyдиуса v толщиной dv (РИС. 12.1)OdN  Nf  v  4π v2d v .Вероятность попадания изобразительныхточек в этот слойdNdP  f  v  4π v2d v ;NvxРис. 12.1плотность вероятностиdP f  v  4π v2dvТак как все направления равноправны,F  v f  v   φ1  vx  φ2  v y  φ3  vz  ,(12.1)функции φ1, φ2, φ3 одинаковы: φ1 = φ2 = φ3 = φ. Прологарифмируем выражение(12.1):ln f  v   ln φ  vx   ln φ  v y   ln φ  vz  .Продифференцируем это выражение по vx:1 df  v  v1 dφ  vx ;f  v  d v vx φ  vx  d vxv vxv2x  v2y  v2zvx2vx2 v2x  v2y  v2zvx;vφvxvf v11f v x φvx ⇒.f  v  v φ  vx v f  v  vx φ  vx Аналогично, продифференцировав (12.2) по vy, vz, получимφv yφvzf vf v,.v f  v  v y φ  v y  v f  v  vz φ  vz (12.2)98Получается, чтоf vf v const .

Положим α . Тогдаv f  vv f  vdφ  vx 1 α .vx φ  vx  d vxРешим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:dφ  vx φ  vx 2αv xα v2 α vx d vx ⇒ ln φ  vx    x  const ⇒ φ  vx   Ae 2 .2Аналогичноφ  v y   Aeα v2y2, φ  vz   Aeα v2z2.По формуле (12.1)f  v  A e3α 2 2 2v x  v y  vz2Ae3α v22.(12.3)Выразим коэффициент A из условия нормировки: φ  v  dvxx φ  v dvyy φ  v dvzz1 ⇒ A eα v2x2d vx  1 .Определённый интеграл в последнем выражении поддаётся вычислению в элеαментарных функциях; в результате получим A .

Подставим этот коэффици2πент в выражение для f(v) (12.3):32αv α 2  2.f  v   e 2π Найдём α. С одной стороны,m0 v2x21 3kT  kT ⇒ v2x 3 2m0(ср. РАЗДЕЛ 2.3.2), здесь m0 – масса молекулы. С другой стороны,v2x  v φ  v  dv2xxx.Отсюда можно получитьαm0.kTИтак,2m0  m20kTvxφ  vx  e,2πkTаналогичные выражения для φ(vy), φ(vz);9932mv m 2  0f  v    0  e 2kT ; 2πkT 3(12.4)2mv 0 m 2F  v    0  4π v2e 2kT 2πkT – функция распределения Максвелла. График этой функции представлен наРИС. 12.2.F(v)T1T2 > T10vРис. 12.2Физический смысл площади под этой кривой на участке (v1, v2) – доля молекул соскоростями от v1 до v2vΔN 2 F  v dv .N v1При нагревании доля молекул с большими скоростями возрастает, а доля молекулс малыми скоростями убывает.Наивероятнейшая скорость молекулы идеального газа – скорость, соответствующая максимуму функции распределения F(v).

Вычислим её:dF  v dv 0 ⇒ 2vверe2m0 vвер2kT2v2верv  vверvвер mv m0 2vвер   20kTверe0,2kT2kT2RT.m0μСредняя скорость молекулы идеального газа:v   vF  v  d v , v 08kT8RT.πm0πμСредняя квадратичная скорость молекулы идеального газа:100v   v2 F  v  d v 203kT,m03kT3RT.m0μvкв Видно, что vвер  v  vкв (РИС. 12.3).F(v)0vквvверvРис. 12.32.7.3. Распределение молекул идеального газа по энергиямКинетическая энергия молекулыεm0 v22ε2 dεdε⇒ v, dv .m02m0 2 ε2m0 εВыразим функцию распределения Максвелла F(v) через ε:33m 2ε0ε2ε  2kT m0  m0  2 8π  2kT m0  2.F  v  εe 4π m e 2πkT  2πkT  m00Число молекул с энергиями от ε до ε + dε, соответствующими скоростям от v доv + dvdNε  NF  v  d v Nm03 2 23 πeεεkTdε12 1223 2 π 3 2  kT  m0 2 m0 ε32Но dNε = NF(ε)dε, поэтомуF ε 2π  kT График этой функции показан на РИС. 12.4.32εeεkT.2Nπ  kT 32εeεkTdε .101Дополнительное заданиеДоказать, что наиболее вероятное значение кинетической энергии молекулы3kTkTεвер , среднее значение энергии ε .22F(ε)0vεверvРис.

12.42.7.4. Барометрическая формулаРассмотрим столб идеального газа (молярная масса равна µ) в однородном гравитационном поле (ускорение свободного падения g ) при постоянной температуреT (изотермическая атмосфера). Найдём зависимость давления и концентрациигаза от высоты.Выделим тонкий слой толщиной dh на высоте hTdh(РИС.

12.5). Давление этого слояpdp   ρgdh ,hp00Рис. 12.5ρ – плотность газа, знак «–» означает, что давлениеуменьшается с ростом высоты.Из уравнения Менделеева -Клапейронаpμgpμρdh .⇒ dp  RTRTРазделим переменные:dpμgdh ⇒pRTphdpμgpμghp p   RT 0 dh ⇒ ln p0   RT ,0p0 – давление столба газа на нулевом уровне,p  p0eμghRT– барометрическая формула.

Можно записать эту формулу в видеρ  ρ0eμghRT,где ρ0 – плотность газа на нулевом уровне, и, учитывая, что p = nkT,102n  n0eμghRT,n0 – концентрация газа на нулевом уровне.Эти формулы можно также представить через массу молекулы m0:p  p0em0 ghkT, ρ  ρ0em0 ghkT, n  n0em0 ghkTили через потенциальную энергию молекулы εп = m0gh (см. РАЗДЕЛ 1.8.4):p  p0eεпkT, ρ  ρ0eεпkT, n  n0eεпkT.Графики зависимости концентрации газа от высоты при двух разных температурах и одинаковом давлении на нулевом уровне показаны на РИС. 12.6.nn01n02T1T2>OhРис.

12.6Демонстрация: Распределение молекул в поле тяжести2.7.5. Распределение Максвелла-БольцманаРаспределение Больцмана:n  n0eεпkT,здесь εп – потенциальная энергия молекулы, n0 – концентрация газа на нулевомуровне потенциальной энергии. Эту формулу мы вывели в ПРЕДЫДУЩЕМ РАЗДЕЛЕдля однородного гравитационного поля, но можно показать, что распределениеБольцмана справедливо для любого потенциального поля.Между распределениями Максвелла в форме (12.4) и Больцмана есть большоеm v2 εсходство, так как 0  к , εк – кинетическая энергия молекулы.2kTРаспределение Максвелла:3ε m 2  кdNεк  N  0  e kT d vx d v yd vz . 2πkT Распределение Больцмана:103dNεп  n0eεпkTdxdydz .Закон Максвелла-Больцмана:3ε ε m0  2  кkT пdN  d vx d v y d vz dxdydz n0e 2πkT – число частиц в элементе объёма фазового пространства (dx, dy, dz, dvx, dvy, dvz).104Лекция 132.8.

Характеристики

Список файлов лекций