1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ).Амплитуда затухающих колебанийA t A0e βt ;период затухающих колебанийT2π2π.ωω02 β 2С другими характеристиками свободных затухающих колебаний познакомимся воII семестре (РАЗДЕЛ 3.13.2).График решения (16.8) при φ = 0 показан на РИС. 16.7.x0TtРис. 16.7Демонстрация: Маятник с песком132Лекция 171.14.4. Вынужденные колебанияПружинный маятник – механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2, приналичии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периодической силойF F0 cosΩt ,Ω – циклическая частота вынуждающей силы. Сила F направлена горизонтально(РИС. 17.1).mkxOРис. 17.1Запишем II закон Ньютона для груза:ma Fт N F упр F сопр F .В проекции на ось xd2 xdx kx r F0 cosΩt ,2dtdtтак как Fупр x = –kx, Fсопр x = –rvx.
ПолучимmFd 2 x r dx k x 0 cosΩt .2dtm dt mmОбозначимkr ω02 , 2β иmmF0 f0 ;md2 xdx 2β ω02 x f0 cosΩt2dtdt(17.1)– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение – сумма общего решения однородного уравнения (16.7) и частного решения неоднородного уравнения (17.1)(ищем решение при слабом затухании – β < ω0)x t x1 t x2 t ;общее решениечастное решениеОДУНДУ βtx1 t A1e cos ωt φ ;133x2 t A2 cos Ωt φ0 .(17.2)Здесь ω ω02 β 2 ; A1 и φ – постоянные интегрирования; A2 и φ0 найдём подстановкой решения (17.2) в дифференциальное уравнение (17.1).Общее решение x1(t) быстро затухает.
В результате циклическая частота вынужденных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы.Производные функции x2(t)d2 xdx2 A2Ωsin Ωt φ0 , 2 A2Ω2 cos Ωt φ0 .dtdtПодставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (17.1):Ω2 A2 cos Ωt φ0 2βΩA2 sin Ωt φ0 ω02 A2 cos Ωt φ0 f0 cosΩt .(17.3)Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т.
ч. тогда, когдаcos (Ωt + φ0) = 0 либо sin (Ωt + φ0) = 0. Преобразуем правую часть уравнения (17.1):f0 cosΩt f0 cos Ωt φ0 φ0 f0 cos Ωt φ0 cos φ0 sin Ωt φ0 sin φ0 .Подставим это выражение в (17.3) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ0), а затем sin (Ωt + φ0):Ω2 A2 ω02 A2 f0 cos φ0 ,2βΩA2 f0 sin φ0 .(17.4)Разделив нижнее равенство на верхнее, получимtg φ0 2βΩ.ω02 Ω2Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ0.Найдём амплитуду A2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы(17.4):f cos φ0fff011,A2 0 2 2 0 2 2 0 222ω0 Ωω0 Ω 1 tg2 φ0 ω0 Ω222 24β 2Ω2ω0 Ω 4β Ω1222ω0 ΩA2 f0ω02 Ω22 4β 2Ω2.(17.5)Исследуем зависимость A2(Ω). Значения функции на границах области определенияfA2 0 02 , A2 0 .ω0Функция (17.5) должна иметь максимум.
Условие экстремума2 1222 2 2 2 ω0 Ω 2 Ω 8β Ω dA2 0 ⇒ f0 0,32dΩ ω2 Ω2 2 4β 2Ω2 01342β2Ω Ω ω02 Ω2 0 ⇒ Ω 2β2 ω02 Ω2 0 ;при Ω = 0 функция A2(Ω) имеет минимум, а приΩрез ω02 2β 2(17.6)– резонансной циклической частоте – максимум.
Имеет место резонанс – резкоевозрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклическойчастоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте.Графики зависимостей A2(Ω) – резонансные кривые – при разных коэффициентахзатухания изображены на РИС. 17.2.A2β=0β1β2 < β1ωΩрез ω ω00ΩРис. 17.2Из формулы (17.6) и РИС.
17.2 видно, что Ωрез < ω < ω0. При β → 0 A2 → ∞ – амплитуда вынужденных колебаний в системе без затухания неограниченно возрастает.1.15. Механические волны1.15.1. Уравнение бегущей волныВолна – любое распространяющееся в пространстве возмущение, т. е. изменениекакой либо физической величины с течением времени.ξ0t1t2ABx1x2Рис. 17.3x135Пусть величина ξ зависит от времени и это возмущение распространяется со скоростью v – скоростью волны; ξ = ξ(x, t). Из точки A в точку B волна придёт черезвремя t2 – t1 (РИС.
17.3):x x ξ x2 , t2 ξ x1 ,t1 ⇒ ξ x2 , t1 2 1 ξ x1 , t1 .v Положим x1 = 0. Тогда в уравнении (17.7) x2 → x, t2 → t, t1 t (17.7)x:vxxξ 0, t f t , ξ x , t ξ 0, t f t ;vvxξ x ,t f t v– уравнение бегущей волны; t (17.8)x– фаза волны.v1.15.2. Волновой фронтВолновой фронт (волновая поверхность) – геометрическое место точек, в которых в один и тот же момент времени колебания происходят в одинаковой фазе.Часто встречающиеся примеры – плоский и сферический волновой фронт - показаны на РИС. 17.4.Плоская волнаСферическая волнаволновая поверхность – плоскостьволновая поверхность – сфераРис. 17.4136Волныпродольныеколебания в направлениираспространения волныпоперечныеколебания в направленииперпендикулярном направлениюраспространения волныПРИМЕРЫЗвуковая волнаЭлектромагнитная волнаВолны на шнуреВолны на поверхности жидкостиДемонстрации: 1) Волны на поверхности жидкости2) Волны на поверхности жидкости3) Волновая машина со связями1.15.3.
Гармоническая волнаГармоническая (монохроматическая, синусоидальная) волна – процесс распространения гармонических колебаний в пространстве.Уравнение гармонических колебанийf t A cos ωt φ0 .Уравнение бегущей волны xωxxξ x , t f t A cos ωt φ0 A cos ω t φ0 ,vvv xξ x , t A cos ω t φ0 v (17.9)– уравнение плоской бегущей гармонической волны.Характеристики гармонической волныСкорость vНачальная фаза φ0Циклическая частота ω2πПериод T ωω 1Частота ν 2π TАмплитуда A – максимальное значение колеблющейся величиныДлина волны – расстояние, которое волна проходит за время одного полного колебания:137λ vT 2π v v .ωνВолновое числоk2π ω 2πν , [k] = м–1.λ vvЗапишем уравнение (17.9) через волновое число:ξ x , t Acos ωt kx φ0 .«Мгновенная фотография» гармонической волныξAξ(x, t)ξ(x, t + Δt)0x–AλРис.
17.5Демонстрация: Волновая машинаВ общем случае (при произвольной форме волнового фронта) уравнение бегущейгармонической волныξ x , t A cos ωt kr φ0 ,k – волновой вектор; k v .1.15.4. Волновое уравнениеПродифференцируем дважды уравнение плоской бегущей волны (17.8) по x, затемпо t:ξ12ξ 1 f , 2 2 f ;xvxvξ2ξ f , 2 f ;ttсравнивая вторые производные по x и t, получим дифференциальное уравнениевторого порядка в частных производных2ξ 1 2ξx 2 v2 t 2– волновое уравнение.Общее решение волнового уравнения(17.10)138xxξ x , t f1 t f 2 t vvпрямая волнаобратная волнаВид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.139II семестрЛекция 183.
Электродинамика3.1. Электромагнитное поле3.1.1. ПолеПоле – любая изменяющаяся в пространстве физическая величина.Полескалярноетемпературное поле T(x, y, z)изображается изолиниямивекторноегравитационное полеизображается силовыми линиямиСиловые линии изображают так, чтобы их густота была пропорциональна модулю векторного поля.3.1.2. Электрический заряд. Закон сохранения электрического зарядаЭлектрический заряд – квантовое число, характеризующее частицу как источник электромагнитного взаимодействия (см. 0.3 и 7.4.2).В классической физике электрический заряд – скалярная алгебраическая величина – характеристика электрически заряженного тела, т. е. тела, на которое действует электромагнитное поле (см.
3.1.3);[q] = Кл.Также электрическим зарядом часто называют саму заряженную частицу (тело).Элементарный заряд – минимальный (по модулю) электрический заряд частиц,наблюдаемых в свободном состоянии42;e = 1,60·10–19 Кл.Электрически изолированная система – система тел, для которой сумма электрических зарядов частиц, появившихся в этой системе, равна нулю.Закон сохранения электрического заряда: суммарный электрический зарядлюбой электрически изолированной системы не изменяется в любых процессах,происходящих в этой системе:q const .iЛинейная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на единичный участок протяжённого заряженного тела:42Кварки, электрический заряд которых по модулю равенстоянии не наблюдаются.12e и e (см. 7.5.1), в свободном со33140τdqКл; τ .dlмПоверхностная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся наединичный участок поверхности заряженного тела:σdqКл; σ 2 .dlмОбъёмная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на участок заряженного тела единичного объёма:ρdqКл; ρ 3 .dVмЭлектрический заряд тела выражается через плотности заряда следующим образом:q τdl σdS ρdV ,lSVздесь l, S, V – соответственно длина, площадь поверхности и объём заряженноготела.Электрический ток – упорядоченное движение электрически заряженных частиц.3.1.3.
Электромагнитное полеЭлектромагнитное поле – физический объект – действует на электрически заряженные частицы.Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле в какой-либо точкепространства, мысленно вносим в эту точку пробный заряд.Пробный заряд – это материальная точка, имеющая положительный электрический заряд, настолько малый, чтобы не искажать электромагнитное поле, т. е. неизменять расположение заряженных тел, создающих это поле.На частицу с зарядом q0 (пробным зарядом), движущуюся со скоростью v , электромагнитное поле действует с силойF F1 q0 , поле F2 q0 , v, поле .Здесь F1 – составляющая силы, которая не зависит от скорости пробного заряда, аF2 зависит в т.
ч. от скорости пробного заряда.Попробуем ввести характеристики, которые определяли бы поле и не зависели быот свойств заряженного тела, помещённого в это поле. Для этого рассмотрим двеситуации, в одной из которых F2 0 , в другой F1 0 (ТАБЛ. 18.1).141Таблица 18.1F1 0F2 0Все заряды неподвижны:F2 0 , F F1 q0 , поле .Создадим такие условия, при которыхполе действует только на движущийсязаряд:F1 0 , F F2 q0 , v, поле .Из опыта:1) F2 ~ q0;2) F2 ~ v;Рассмотрим отношение F1 q0 . Оно опре- 3) F2 зависит от направления v и изменяется от 0 до v;деляется только величиной поля и яв4) F2 ~ полю.ляется одной из характеристик поля:Отношение максимальной силы, с которой поле действует на пробный заряд, квеличине этого заряда и модулю егоскорости – характеристика только поля:EF1q0BF2max,q0 vB – индукция магнитного поля (магнитная компонента электромагнитного– напряжённость электрического поля).поля (электрическая компонента элекНаправление B совпадает с ориентацитромагнитного поля).ей магнитной стрелки, помещённой вданную точку поля:F1 0F2 0SДемонстрации: 1) СултаныДемонстрации:2) Силовые линииэлектрического поля43N1) Опыт Эрстеда2) Силовые линиимагнитного поляОбратная задача: найти F2 .Сила, с которой электромагнитное поледействует на неподвижный пробный Зная B , можно найти силу, с которойзарядэлектромагнитное поле действует надвижущийся пробный заряд.