1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ).Амплитуда затухающих колебанийA t   A0e  βt ;период затухающих колебанийT2π2π.ωω02  β 2С другими характеристиками свободных затухающих колебаний познакомимся воII семестре (РАЗДЕЛ 3.13.2).График решения (16.8) при φ = 0 показан на РИС. 16.7.x0TtРис. 16.7Демонстрация: Маятник с песком132Лекция 171.14.4. Вынужденные колебанияПружинный маятник – механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2, приналичии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периодической силойF  F0 cosΩt ,Ω – циклическая частота вынуждающей силы. Сила F направлена горизонтально(РИС. 17.1).mkxOРис. 17.1Запишем II закон Ньютона для груза:ma  Fт  N  F упр  F сопр  F .В проекции на ось xd2 xdx kx  r  F0 cosΩt ,2dtdtтак как Fупр x = –kx, Fсопр x = –rvx.

ПолучимmFd 2 x r dx k x  0 cosΩt .2dtm dt mmОбозначимkr ω02 ,  2β иmmF0 f0 ;md2 xdx 2β  ω02 x  f0 cosΩt2dtdt(17.1)– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение – сумма общего решения однородного уравнения (16.7) и частного решения неоднородного уравнения (17.1)(ищем решение при слабом затухании – β < ω0)x t   x1 t   x2 t  ;общее решениечастное решениеОДУНДУ βtx1 t   A1e cos  ωt  φ  ;133x2 t   A2 cos  Ωt  φ0  .(17.2)Здесь ω  ω02  β 2 ; A1 и φ – постоянные интегрирования; A2 и φ0 найдём подстановкой решения (17.2) в дифференциальное уравнение (17.1).Общее решение x1(t) быстро затухает.

В результате циклическая частота вынужденных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы.Производные функции x2(t)d2 xdx2  A2Ωsin  Ωt  φ0  , 2   A2Ω2 cos  Ωt  φ0  .dtdtПодставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (17.1):Ω2 A2 cos  Ωt  φ0   2βΩA2 sin  Ωt  φ0   ω02 A2 cos  Ωt  φ0   f0 cosΩt .(17.3)Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т.

ч. тогда, когдаcos (Ωt + φ0) = 0 либо sin (Ωt + φ0) = 0. Преобразуем правую часть уравнения (17.1):f0 cosΩt  f0 cos  Ωt  φ0  φ0   f0 cos  Ωt  φ0  cos φ0  sin  Ωt  φ0  sin φ0  .Подставим это выражение в (17.3) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ0), а затем sin (Ωt + φ0):Ω2 A2  ω02 A2  f0 cos φ0 ,2βΩA2  f0 sin φ0 .(17.4)Разделив нижнее равенство на верхнее, получимtg φ0 2βΩ.ω02  Ω2Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ0.Найдём амплитуду A2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы(17.4):f cos φ0fff011,A2  0 2 2 0 2 2 0 222ω0  Ωω0  Ω 1  tg2 φ0 ω0  Ω222 24β 2Ω2ω0  Ω  4β Ω1222ω0  ΩA2 f0ω02  Ω22 4β 2Ω2.(17.5)Исследуем зависимость A2(Ω). Значения функции на границах области определенияfA2  0  02 , A2     0 .ω0Функция (17.5) должна иметь максимум.

Условие экстремума2 1222 2  2   2 ω0  Ω   2 Ω  8β Ω dA2 0 ⇒ f0 0,32dΩ ω2  Ω2 2  4β 2Ω2  01342β2Ω  Ω ω02  Ω2  0 ⇒ Ω 2β2  ω02  Ω2  0 ;при Ω = 0 функция A2(Ω) имеет минимум, а приΩрез  ω02  2β 2(17.6)– резонансной циклической частоте – максимум.

Имеет место резонанс – резкоевозрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклическойчастоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте.Графики зависимостей A2(Ω) – резонансные кривые – при разных коэффициентахзатухания изображены на РИС. 17.2.A2β=0β1β2 < β1ωΩрез ω ω00ΩРис. 17.2Из формулы (17.6) и РИС.

17.2 видно, что Ωрез < ω < ω0. При β → 0 A2 → ∞ – амплитуда вынужденных колебаний в системе без затухания неограниченно возрастает.1.15. Механические волны1.15.1. Уравнение бегущей волныВолна – любое распространяющееся в пространстве возмущение, т. е. изменениекакой либо физической величины с течением времени.ξ0t1t2ABx1x2Рис. 17.3x135Пусть величина ξ зависит от времени и это возмущение распространяется со скоростью v – скоростью волны; ξ = ξ(x, t). Из точки A в точку B волна придёт черезвремя t2 – t1 (РИС.

17.3):x x ξ  x2 , t2   ξ  x1 ,t1  ⇒ ξ  x2 , t1  2 1   ξ  x1 , t1  .v Положим x1 = 0. Тогда в уравнении (17.7) x2 → x, t2 → t, t1  t (17.7)x:vxxξ 0, t   f t  , ξ  x , t   ξ  0, t    f  t   ;vvxξ  x ,t   f  t  v– уравнение бегущей волны; t (17.8)x– фаза волны.v1.15.2. Волновой фронтВолновой фронт (волновая поверхность) – геометрическое место точек, в которых в один и тот же момент времени колебания происходят в одинаковой фазе.Часто встречающиеся примеры – плоский и сферический волновой фронт - показаны на РИС. 17.4.Плоская волнаСферическая волнаволновая поверхность – плоскостьволновая поверхность – сфераРис. 17.4136Волныпродольныеколебания в направлениираспространения волныпоперечныеколебания в направленииперпендикулярном направлениюраспространения волныПРИМЕРЫЗвуковая волнаЭлектромагнитная волнаВолны на шнуреВолны на поверхности жидкостиДемонстрации: 1) Волны на поверхности жидкости2) Волны на поверхности жидкости3) Волновая машина со связями1.15.3.

Гармоническая волнаГармоническая (монохроматическая, синусоидальная) волна – процесс распространения гармонических колебаний в пространстве.Уравнение гармонических колебанийf t   A cos  ωt  φ0  .Уравнение бегущей волны xωxxξ  x , t   f  t    A cos  ωt  φ0   A cos ω  t    φ0  ,vvv  xξ  x , t   A cos ω  t    φ0 v (17.9)– уравнение плоской бегущей гармонической волны.Характеристики гармонической волныСкорость vНачальная фаза φ0Циклическая частота ω2πПериод T ωω 1Частота ν 2π TАмплитуда A – максимальное значение колеблющейся величиныДлина волны – расстояние, которое волна проходит за время одного полного колебания:137λ  vT 2π v v .ωνВолновое числоk2π ω 2πν , [k] = м–1.λ vvЗапишем уравнение (17.9) через волновое число:ξ  x , t   Acos  ωt  kx  φ0  .«Мгновенная фотография» гармонической волныξAξ(x, t)ξ(x, t + Δt)0x–AλРис.

17.5Демонстрация: Волновая машинаВ общем случае (при произвольной форме волнового фронта) уравнение бегущейгармонической волныξ  x , t   A cos ωt  kr  φ0 ,k – волновой вектор; k v .1.15.4. Волновое уравнениеПродифференцируем дважды уравнение плоской бегущей волны (17.8) по x, затемпо t:ξ12ξ 1  f , 2  2 f  ;xvxvξ2ξ f , 2  f  ;ttсравнивая вторые производные по x и t, получим дифференциальное уравнениевторого порядка в частных производных2ξ 1 2ξx 2 v2 t 2– волновое уравнение.Общее решение волнового уравнения(17.10)138xxξ  x , t   f1  t    f 2  t  vvпрямая волнаобратная волнаВид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.139II семестрЛекция 183.

Электродинамика3.1. Электромагнитное поле3.1.1. ПолеПоле – любая изменяющаяся в пространстве физическая величина.Полескалярноетемпературное поле T(x, y, z)изображается изолиниямивекторноегравитационное полеизображается силовыми линиямиСиловые линии изображают так, чтобы их густота была пропорциональна модулю векторного поля.3.1.2. Электрический заряд. Закон сохранения электрического зарядаЭлектрический заряд – квантовое число, характеризующее частицу как источник электромагнитного взаимодействия (см. 0.3 и 7.4.2).В классической физике электрический заряд – скалярная алгебраическая величина – характеристика электрически заряженного тела, т. е. тела, на которое действует электромагнитное поле (см.

3.1.3);[q] = Кл.Также электрическим зарядом часто называют саму заряженную частицу (тело).Элементарный заряд – минимальный (по модулю) электрический заряд частиц,наблюдаемых в свободном состоянии42;e = 1,60·10–19 Кл.Электрически изолированная система – система тел, для которой сумма электрических зарядов частиц, появившихся в этой системе, равна нулю.Закон сохранения электрического заряда: суммарный электрический зарядлюбой электрически изолированной системы не изменяется в любых процессах,происходящих в этой системе:q  const .iЛинейная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на единичный участок протяжённого заряженного тела:42Кварки, электрический заряд которых по модулю равенстоянии не наблюдаются.12e и e (см. 7.5.1), в свободном со33140τdqКл; τ  .dlмПоверхностная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся наединичный участок поверхности заряженного тела:σdqКл; σ   2 .dlмОбъёмная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на участок заряженного тела единичного объёма:ρdqКл;  ρ  3 .dVмЭлектрический заряд тела выражается через плотности заряда следующим образом:q   τdl   σdS   ρdV ,lSVздесь l, S, V – соответственно длина, площадь поверхности и объём заряженноготела.Электрический ток – упорядоченное движение электрически заряженных частиц.3.1.3.

Электромагнитное полеЭлектромагнитное поле – физический объект – действует на электрически заряженные частицы.Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле в какой-либо точкепространства, мысленно вносим в эту точку пробный заряд.Пробный заряд – это материальная точка, имеющая положительный электрический заряд, настолько малый, чтобы не искажать электромагнитное поле, т. е. неизменять расположение заряженных тел, создающих это поле.На частицу с зарядом q0 (пробным зарядом), движущуюся со скоростью v , электромагнитное поле действует с силойF  F1  q0 , поле   F2 q0 , v, поле .Здесь F1 – составляющая силы, которая не зависит от скорости пробного заряда, аF2 зависит в т.

ч. от скорости пробного заряда.Попробуем ввести характеристики, которые определяли бы поле и не зависели быот свойств заряженного тела, помещённого в это поле. Для этого рассмотрим двеситуации, в одной из которых F2  0 , в другой F1  0 (ТАБЛ. 18.1).141Таблица 18.1F1  0F2  0Все заряды неподвижны:F2  0 , F  F1  q0 , поле .Создадим такие условия, при которыхполе действует только на движущийсязаряд:F1  0 , F  F2 q0 , v, поле .Из опыта:1) F2 ~ q0;2) F2 ~ v;Рассмотрим отношение F1 q0 . Оно опре- 3) F2 зависит от направления v и изменяется от 0 до v;деляется только величиной поля и яв4) F2 ~ полю.ляется одной из характеристик поля:Отношение максимальной силы, с которой поле действует на пробный заряд, квеличине этого заряда и модулю егоскорости – характеристика только поля:EF1q0BF2max,q0 vB – индукция магнитного поля (магнитная компонента электромагнитного– напряжённость электрического поля).поля (электрическая компонента элекНаправление B совпадает с ориентацитромагнитного поля).ей магнитной стрелки, помещённой вданную точку поля:F1  0F2  0SДемонстрации: 1) СултаныДемонстрации:2) Силовые линииэлектрического поля43N1) Опыт Эрстеда2) Силовые линиимагнитного поляОбратная задача: найти F2 .Сила, с которой электромагнитное поледействует на неподвижный пробный Зная B , можно найти силу, с которойзарядэлектромагнитное поле действует надвижущийся пробный заряд.

Характеристики

Список файлов лекций