1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (805623), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

ОказываF1  q0 E .ется, что F2  v , F2  B .Демонстрации «Силовые линии электрического поля» и «Силовые линии магнитного поля» рекомендуется показывать последовательно одну за другой.43142Таблица 18.1 (продолжение)⊙q0 +αq0 +⊗F2 ~ sin α ,F2  q0  vB Общий случай:F q0 , v  q0 E  q0  vB – формула Лоренца, F – сила Лоренца ( F1  0 и F2  0 ).3.1.4. Силовые характеристики электромагнитного поляДля того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле как единый объект,нужно ввести два вектора – E и B .Основные характеристики электромагнитного поляНапряжённость электрического поляИндукция магнитного поля,143Вспомогательные характеристики электромагнитного поляЭлектрическое смещениеНапряжённость магнитного поля(в вакууме)(в вакууме)– магнитная постоянная– электрическая постояннаяЭлектрическая и магнитная постоянные не имеют физического смысла, они –константы СИ.

Физический смысл имеет величина1м1 3,00  108 c2 , c сε0 μ0ε0 μ0– скорость электромагнитных волн в вакууме.Вспомогательные силовые характеристики нужны для описания электромагнитного поля в веществе (см. 3.3.3 и 3.11.2).3.1.5. Принцип суперпозиции полейЭтот принцип следует из опыта.напряжённость электрического поляПринцип суперпозиции полей: , создаваеиндукция магнитного полязаряженных частицмогосистемой,равнасуммедвижущихся заряженных частиц  токовнапряжённостейзарядовполей, создаваемых каждым из этих в отдельности.индукцийтоковзарядовДля дискретного распределения токовE   Ei ,B   Bi .зарядовДля непрерывного распределения токовE  dE ,B   dB.1443.1.6.

Уравнения МаксвеллаУравнения Максвелла постулируются. Они – обобщение опытных фактов - законов электродинамики. Мы рассмотрим каждый из этих законов в дальнейшем.Уравнения Максвелла в интегральн ой форме 44I.B Edl   t dSLII.III.IV.SD  Hdl    j  t  dS DdS   ρdVLSSV BdS  0Sdq– объёмная плотность заряда;dVIdIdqj  nn – плотность тока (см. РИС.

18.1).dSdtdSРис. 18.1Имеются в виду свободные заряды – заряды,нарушающие электронейтральность вещества, имакротоки – упорядоченное движение заряженных частиц на расстояния, многобольшие межмолекулярных расстояний.В уравнениях I, II L – произвольная замкнутая кривая, S – произвольная поверхность, ограниченная этой кривой.В уравнениях III, IV S – произвольная замкнутая поверхность, V – объём, ограниченный этой поверхностью.Здесь ρ 3.1.7. Материальные уравненияМатериальные уравнения – уравнения, связывающие основные и вспомогательные характеристики электромагнитного поля: E и D , B и H .

Их вид зависитот природы вещества, в котором существует электромагнитное поле.Вещество состоит из молекул, в которых заряженные частицы (связанные заряды)движутся друг относительно друга (микротоки) и создают собственное электромагнитное поле, которое накладывается на поле свободных зарядов и макротоков.Для изотропных диэлектриков, несегнетоэлектриков45D  ε0εE ,где ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества. В вакууме ε = 1.Для изотропных магнетиков, неферромагнетиковHB,μ0 μБолее подробно об уравнениях Максвелла – в ПАРАГРАФЕ 3.12. Элементы векторного анализа,использующиеся в уравнениях Максвелла, рассмотрим в течение семестра.45 Сведения о сегнетоэлектриках см., например, в книге [4].44145где µ – относительная магнитная проницаемость вещества.

В вакууме µ = 1.3.2. Постоянное электрическое поле в вакууме3.2.1. Электростатическое поле в вакуумеВ этом случае B  0 ,FE0 ⇒ E  1 .q0tУравнения Максвелла:I. Edl  0LIII.QS   ρdV  QS 0 S EdS  εS146Лекция 193.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпозицииЗакон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядовF 12 q1q2 r 124πε0 r123(см.

РИС. 19.1; на этом рисунке заряды q1 и q2 одного знака).q1⊕q2Рис. 19.1qРис. 19.2Напряжённость электрического поля точечного зарядаEq r.4πε0 r 3Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на РИС. 19.2.Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или зарядыдругой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинтегрировать) напряжённости полей этих зарядов.ПРИМЕРЫz1) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого кольцаПо тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0(РИС. 19.3). Найти E  z  (z – ось кольца).Находим напряжённость электрического поля в точке A наоси кольца (OA = z). Разобьём кольцо на точечные заряды dq(на РИС.

19.3 показаны два малых заряда dq и dq′, равные помодулю и расположенные диаметрально противоположно).По принципу суперпозиции полейE   dE ,AθQdq′RdE – напряжённость электрического поля малого заряда dq.OВекторы напряжённости электрического поля каждого изdqэтих зарядов одинаковы по модулю (если одинаковы по модулю все заряды dq) и направлены так, что концы этих векРис. 19.3торов образуют конус с вершиной в точке A (на РИС. 19.3штриховой линией показано основание этого конуса).

Проекции этих векторов на147плоскость кольца компенсируются, поэтому суммарный вектор E направленвдоль оси z:E  E z (при z > 0).Вычислим Ez. Напряжённость поля точечного зарядаdE dE dq r;4πε0 r 3dqdq, dE z cos θ ,24πε0r 24πε0rугол θ показан на РИС. 19.3.

Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:r  R2  z 2 ,zz.cos θ  2rR  z2Подставим эти формулы в выражение для dEz:dq  zdE z 4πε0 R2  z 232.В этом выражении все величины – постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:QEz  04πε0dq  zR z22324πε0QzR z2232.Предельные случаиа) z = 0 ⇒ E = 0.б) z → ∞ ⇒ E = 0.QzQв) z >> R ⇒ E z – поле точечного заряда.34πε0 z4πε0 z 22) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержняТонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый подлине стержня.

Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейсяна перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b(точка C на РИС. 19.4).Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённостьполя точечного зарядаdE dq r,4πε0 r 3по принципу суперпозиции полейE   dE .148AOdqα0·αdαxdαdlrdαBРис. 19.4Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпендикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения зарядапроекции dE на направление стержня компенсируют друг друга.

ПоэтомуE  Ex .Найдём Ex:dE x  dE cos α dq  cos α,4πε0r 2угол α показан на РИС. 19.4. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нёмприсутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг сдругом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.Расстояние от элемента dq до точки Cbr.cos αВыразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dl,dq  τdl ,τ – линейная плотность заряда стержня.

Так как стержень заряжен равномерно,Qτ .lВыразим длину элементарного отрезка dl через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:rdαbdαdl .cos α cos2 α149Подставим выражения для r и dl в выражение для dEx:dE x Q bdα  cos2 α  cos αQcos αdα .224πε0lcos α  b4πε0lbПроинтегрируем по α:α0α0Q sin α0QQEx  cos αdα sin α4πε0lb4πε0lb2πε0lb α0α0(стержень виден из точки C под углом 2α0).

Из РИС. 19.4ll;sin α0 22l2l4b2 b24EQl2πε0lb l  4b22Q2πε0b l 2  4b2.Предельные случаиQQа) b >> l ⇒ E – поле точечного заряда.2πε0b  2b 4πε0b2Qτ– поле длинной нити. Эту формулу мы получим дру2πε0bl 2πε0bгим способом ПОЗЖЕ.б) b << l ⇒ E 3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённостиэлектрического поляЭлементарный потокdΦ  EdS ,α·SdS направлен по внешней46 нормали к малому участку dS;dΦ  EdS cos α(см. РИС. 19.5).Полный поток вектора E сквозь поверхность SРис.

19.5Φ   EdS .SТеорема Остроградского-Гаусса для E : поток вектора напряжённости электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраическойсумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0: EdS Sqε0S.Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, приэтом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.46150Доказательство47 (вывод из закона Кулона)Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС.

19.6А). По закону Кулона напряжённостьэлектрического поля точечного зарядаEq r.4πε0 r 3Sαq⊕dΩаαdΩq⊕бРис. 19.6Элементарный потокdΦ  EdS q cos αdS .4πε0r 2Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dSdSdS cos αdΩ  2 rr2(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарны й поток через телесный угол:qdΩ.dΦ 4πε0Проинтегрируем по полному телесному углу:Φ   EdS S4πqdΩ 4πε00q  4π q .4πε0 ε0Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случайпроизвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:E   Ei ,Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобыпродемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:в данном случае – III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.47151 EdS     E  dS    E dS iSSiSq   qiε0ε0S, ч.

т. д.Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы ОстроградскогоГаусса для E . Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутуюповерхность так, чтобы легко было вычислить поток E . Прежде чем решать задачу с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление E методом суперпозиций.Случаи использования теоремы Остроградского-ГауссаСферическая(центральная)симметрияраспределениязарядаЦилиндрическая(осевая)симметрияраспределениязаряда(протяжённость областипространства, содержащейзаряд, вдоль оси симметрии много больше её поперечных размеров)Плоскаясимметрияраспределениязаряда(размеры области пространства, содержащей заряд, в плоскости симметрии много больше поперечного размера этой области)ПРИМЕРЫ1) Электрическое поле равномерно заряженной сферыСфера радиуса R равномерно заряжена зарядом Q (РИС.

19.7). Найти зависимостьIнапряжённости электрического поля от рас48QSIIIISI стояния r от центра сферы Er(r) .Заряд распределён сферически симметрично. В каждой точке пространства напряжёнO Rность электрического поля E направленаrрадиально.BБудем выбирать поверхности интегрироваrния в виде сфер радиуса r,где r – расстояниеот центра сферы до точки, где измеряетсяAнапряжённость поля.Разобьём пространство на две области – внесферы и внутри сферы. Вид зависимостиEr(r) в этих областях должен быть различным.Рис. 19.7Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление – величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля.

Характеристики

Список файлов лекций