1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Очевидно, что единственными 1гл. г Вввдиыии В спжцилльныи Функции возможными особыми точками являются особенности Г(1 — г), т. е. г = 1, 2, 3, ... Поскольку мы знаем, что функция ь(г) голоморфна при Вез 1, остается рассмотреть лишь точку г = 1 В силу теоремы о вычетах <о+> ве = — — 2я1. е ~ 1 Поэтому единственной особенностью ~(г) является простой полюс с вычетом, равным 1, в точке г = 1. 11.3. Мохено ли с помощью деформации контура вычислить интеграл (11.03) для любых значений гт Исключая значенпо г = О, особенностями подынтегрального выражения являеотся простые полюсы в точках г = ~2гп1, г = 1, 2, ...
Пусть Л' — большое положительное целое число;, рассмотрим интеграл д/, (11,04) е ~ — 1 Ян где Я вЂ” периметр прямоугольника с вершинами ~Ж-~-(2Т— — 1) п1 ') . Легко проверить, что (е ' — 1) ) 1 — е " '(ге= Яя). Поэтому если Ве г ( О, то (11.01) стремится к нулю при Л'-+ оо. Вычеты функции 1* '/(е ' — 1) в точках 1 = .+2гп/ равны — (~2гя/)* '. Применяя теорему о вычетах к (11.03), находим, что ~(г) = Г(1 — г)[~,(2гн1)' '+а~э ( — 2гп1)' — 1, е — е т.
е. ~(г) = Г(1 — г) 2'н* — ' соз(н(г — 1)/2) ь(1 — г). Аналитическое продолжение расширяет этот результат на все г, отличные от г = 1. Таким образом, хотя деформация пути и не приводит к фактическому представлению для ь(г), она дает важную формулу отражения. Эта формула получена Риманом; чаще она записывается в виде ~(1 — г) = 2' *н *соэ (яг/2)Г(г) ~(г). 11.4.
Интеграл '(11.03) можно вычислить в точке г = 1, поскольку в этом случае подынтегральное выражение является одноаиачной функцией г и ыожно применить теорему о вычетах. ') Подывтегральзое выраз<аиие разрывво при 1=-1т', дзнтл Рунесция 9 1О Аналогичные вычисления можно провести н для других целых значений э. Мы укажем следующие частные случаи (11.05) илн нх предельные значения: ь( — йт) = О, Ц(1 — 2т) = ( — 1)'"2™л '"(2т — 1))~(2т) (ко=1,2,3,...) ь(0) = — 1~2.
11.5. Последней формулой этого параграфа будет бесконечное произведение, полученное Эйлером. Предположим, что Вез ) 1 и эы артем из (11.01) соответствующий ряд для 2 'ь(г). Тогда ~(э)(1 — 2 — ') == — + —, + —, + —, + .... 1 1 1 Аналогично, ь(э)(1 — 2 — ')(1 — 3 — ') =- У где суммирование проводится по всем положительным целым чис- лам, исключая кратные чисел 2 н 3.
Пусть теперь ы. — а-е простое число, если считать от ец — — 2, Продолжая предыдущие рассуждения, мы видам, что ь(э)П (1 — о,, ') = 1+ ~ —, 5= — ! б где последняя сумма не содержит слагаемых, для которых г равняется 1 илп числам, кратным юц юм ..., ю„. Эта сумма но абсолютной величине ограничена выражением 1 а=..в„~-1 ~ * и поэтому стремится к нулю прп и -+.
со (так как еы — ~ оо), Следовательно, мы получаем искомую формулу ь(з)П (1 — ы, ')=-1 (Пег)1), Это соотношение для дзета-функции является одним из наиболее важных в теории простых чисел. Сравнивая бесконечные произведения П (1 — а — *) П (1 — (о — х) (Веэ)1), е=г мы замечаем, что сомножнтели второго образуют подмножества среди сомножителей первого. Поскольку первое произведение 66 Введение н спептгальные чэункпггн (гл. з абсолютно сходится, то же можно сказать и о втором.
Непосредственным следствием является то, что Ь(г) не итвеет нулей в полу- плоскости Ве г ) 1. Обьеденля этот результат с формулой отражения ('11.05), мы видим, что единственньыги нулями. функции ь(г) в полупласкостгь Ве г ( 0 являются точки — 2, — 4, — б, ...
В оставшейся полосе 0 ~( Ве г ~ 1 природа яулей полностью не выяснена. Знаменитое и все еще не доказанное предположение Римана загипочается в том, что все онп лежат на средней чинил Ве г = 1/2. Одним из множил результатов, зависящпл от этого предположения, является следующая формула для числа л(х) простыл чисел, не иревослодящил х: 11(х) — п(х) = 0(х"г1пх) '(х-+ со), где функция В(х) определена в 9 3.2. УПРАВ(НВНИИ 1!.1. Доказать, что при Ие г > 0 Ю 1 1 1 1 1 и (1 — 2г *) 5(г) = — — — + — — — + ...
= — ~ се 1г ч зг вг '' Г (г) 1 е 1-1 е 11.2. С помощью упр. 2.6 показать, что <ЕЕ1 Вг = — 0 е — 1 и поэтому йш (ь (г) — (г — 1) ) = у, 5'(О) = — — 1о (2л). г ! 2 11.3. С помощью упр. 2.4 доказать, что мч г 5(г) 1и ( Г (г)) = — у (г — 1) + „7 ( — 1)' †', (г — 1)г г=з (1г — 11( 1), Исторические сведение и дополнительные ссылки Материал етой главы является классическим. При изложении были существенно использованы книги Унгтекера и Ватсона (1927), Понсона (19351, Бейтмена и Эрдейн (1953а, в) и С. С. гр, (1964). 1 1.
1) История гамма-функции прекрасно изложена Дейвисом (1959). 2) Постоянная Эйлера вычислена с точностью 3566 десятичных знаков в работе Суини (1963). Вопрос о том, является зи ц алгебраическим или трансцендентным чисаом,— т. е. является лн ц решением некоторого степенного уравнения,— остается нерегпенным, исторические сиедения Я 3 — 5. Таблицы формул для определенных и неопределенных ннтсгралон, в которые входит интегральная показательнан фуннцня и интеграл неронтяостей, составлены Геллером и Нг (1969) и Нг и Геллером (1969). Дальнейшие свойства атнх функций, а также неполной гамма-функции мок~но нанти в кинге Люка (1962).
Я 6 — 7. Основным трудом по ортогональным полпномам якляется монография Беге (1962). При подготовке этих параграфов использовалась также монография Хохштадта (1961). Я 8 — 10. Эамечания относительно интеграла Эйри и функций Бесселе см. на стр. 356. 9 11. Хотя дзета-функция была кзвестна еще Эйлеру, ее наиболее ва>нные саойства были сбюртгулироааны Риманом (1859). Относительно дальнейших результатов см. Тптчмарш (1953).
ГЛАВА 3 ИНТЕГРАЛЫ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ э 1. Интегрврование по частям где п — произвольное неотрицательное целое чпсло н е„(х) .= (и — 1) (и — 2)... (а — п) ~ е — '(а — — 'й(. (1.02) Гслн п а — 1, то (" " ' ~ х" " ', и мы сразу получаем )е„(х) ((/(а — 1) (а — 2)...(а — и) ~)е "х" ' '.
(1.03) Таким обрааом, для фиксированного а н болыпнх значеппй х имеем Г(а, х) е ха ~ ~~ (а — 1) (а — з) . „. (а — г) .=-е е' (1.04) 1.1. Простой н часто эффектпвный способ вывода аснмптотнческпх разложенпй интегралов, содержащих параметр, состопт в интегрпрованвп по частям. Каждое яптегрнрованпе дает новый член разложенпя, а остаточный член получается явно в ваде пнтеграла, который можно оценить. Рэссмотрпм неполную гамма-фуньцэю с действптельнымп аргументамп а н х, причем х положителен. Разложение в сходящийся ряд (5.02), приведенное в главе 2, удобно длн вычисления '((и, х) прп малых илп не слкшком больших эначеннях х; однако прн больших х пропсходпт взаимное сокращеппе членов разложения. Поэтому мы будем искать асимптотпческое разложение; прн этом более удобно работать с дополннтельной функцией Г(и, х).
Иптегрпрованпе по частям в определснпп (5.04) главы 2 дает Г(а, х) = е "х" '+(а — 1)Г(а — 1, х), Повторное применсппо этого результата прнводит к формуле (" — ()(а — ')(а — "+() 1 ) ( ) (10П ИНТЕГРИРОВАНИН ПО ЧАСТЯМ 91 Кроме того, п-й остаточный член ограничен по абсолютной величине (в+1)-м членом ряда и имеет тот же знак, если л)а — 1. В качестве частного случая отметим форьтулу Г(я, х) =' е *х' ' (сс ( 1, х ) О), которая нам понадобится в дальнейгшемь 1.2.
Если п(и — 1, то остаточный член е (х) не ограничен по абсолютной величине первым отбрасываемым членом ряда. В этом легко убедиться, воспользовавпшсь тождеством (х) (и 1) (ст 2) (сс л) е — «ха — и — ! + + (сс — 1)(~х — 2)...(и — л — 1) ~ е !(а — а-з!)1 которое получается из (1.02) интегрированием по частям; оба слагаемых в правой части положительны при на. и — 1.
Однако, продолжая процесс разложения, мы увидим, что первые (и) — >!+1 отбрасываемых членов ряда неотрицательны и величина е„(х) ограничена пх суммог. УПРЛЖНЕН!!Я 1Л. Показать. что разложение (1.04) равномерно относительно а а компактном пнтерэале, 1.2. „[оказать, что е«Р ( — х'! жт, 1 .
3,, (2« ег1сх ., ~г ( — 1)' ' ''' ( ' ! (х-ь с«). (2«з)" Показать также, что при х вн (О, ое) остаточный член не превосходит по абсолютной величине первого отбрасываемого члена ряда и имеет тот н;е знак. 1.3. Показать, что при х «О и а = О, 1, 2, ... (и — ! С! (х! + ! Б! (х) = — '+ — « —, + О„(х) в >, 2 !т ! (вх)' где (О, (х) ) в 2. 1.4. С помещало упр. 4.3 из главы 2 показать, что асимптотическое разложение интегралов Френеля можно эапнсать в виде С)( — ) )!+!е(( — ) ) — ' — !Г «» ' ''' ( ) (х-в св). «=э Показать также, что если х ) О и а)~ 1, то и-я гранячнаи постоянная этого разложеяия не преаосходит удвоенного абсолютного аначения коэ~р.
влидиента при (о + 1)-м члене. пнтвггллы в дкиствитвльнои овллсти )гл. з э 2. Интегралы Лапласа 1 (х) = ~ е ~~у (1) е)е, о (2.01) где функция д(1) не зависит от положительного параметра х. Мы предположим, что д(1) бесконечно дифференцируеиа в [О, со) и для каждого е д" (Г) =0(ее) (О "1(со), (2,02) где а — действительная постоянная, яе зависящая от е. Интеграл (2.01) сходится при х) о. Повторное интегрирование по частям дает 1(х) ,, ) ... +, + е„(х), (2.03) (о) ч' (о) д'"-" со) Хо где я — произвольное неотрицательное целое число и е„(х) = — ~е "'рсо)(1) с(Г. (2.04) При укаэанных условиях е„(х) = — „1 е ~ 0 (ео') Ж = о - — '„о)( -'*-"Ъ)-о(„' ) Поэтому Х(х) ~~,+ (х-о сс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
