1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть /(х) =- ~ 1 ( ) ах (х) О). о а+ х Доказать,что /(х) = — 1пх — (1/2)Т+ о(1) (х,0) н — ехр (хв)/(х) — ппг )г ехр (ит) аза~ ехр(хт) ах х о Проверить справедливость равенства /(х) = пиес (х) — (1/2)ехр( — хт)Е1(хт), (Этн результаты получены Гудввком н Стейтоном (1948), а также в работе Рнтчн (1960), исправление к которой было дано Эрдейн (1950)). Вввдвпии В спипилльныз Финкции !гл. 3 з 5. Неполная гамма-функция 5.1. Все функции, введенные в 11 3 и 4, можно рассматривать нак частные случаи не!голной галька-у!унн!!ии 1 у(х, г) =- ~~ е '!" '!(1 (Веа~ 0) (5 01) нли дополнительной функции Г(а, г). определенной в следующем пункте.
Очевидно, что 5(а, г) — аналитическая функция г, единственной возможной особенностью которой является точка ветвления в начале координат. Главная ветвь выделяется при проведении разреза вдоль отрицательной действительной потуоси и при наложении условия, чтобы функция !" ' принимала глав* ное значение. Если Ие а > 1, то в силу равномерной сходил!ости можно разлол'ить е ' в ряд по возраста!опп!и степеням ! и проинтегрировать его почленно. В результате мы получим следующее разложоние, справедливое при всех значениях г: у(а, г) = г )' ( — 1)' .
=.а (5.02) 2(а, ге™м) =ег "'"((а, г) (а Ф О, — 1, — 2, ...). (э.05) 5.2. Дополнительная неполная геями-у!уян!!ия (или гл!унк!1ия Прима, как ее иногда.называют), задается формулой Г(а,г) = ~ е 'Х" 'с!г, (5.04) где на а не наложено никаких ограничений. Главная ветвь определяется так же, как для ((а, г). Объединяя эту формулу с (5.01), получим соотношение '((а, г)+Г(а, г) = Г(а). Это представление дает возможность аналитически продолн'ить "((а, г) по а в леву!о полуплоскость илп по г за пределы изменения аргумента, соответствующие главной ветви. Нетрудно задеть, что если г Ф О, то единственнымп особыми точками у(а, г) как функции а являются простые полюсы в а =- О, — 1, — 2, ...
Если же значение с! фиксировано, то ветвь функции ((а, г), которая получатся прн и!-кратном ооходе точки г = О, определяется соотношением ОРТОГОНАЛЬПЫК ПОЛИНОМЫ Из (5.03) и (5.05) вытекает равенство Г(а, ге' "') = в' ""*Г(а, г)+(1 — ез ""')Г(а);(5.06) (т = О, ~1, ь-2, ...), Аналитическое продолжение показывает, что этот результат спра- ведлив также н тогда, когда и равно нулю пли отрицательному целому чпслу, в предположении, что правая часть равенства за- гпеняотся ее предельным значением. У11РАЖПЯППЯ 5.1.
В обозваченпях 11 3 и 4 показать, что Е (в) = в" 'Г(1 — л, з), ег1 в = и ызт(112. вз), ег1о в = я ызГ(1/2, вз). 52. Показать, что фуакцпк т(а, в)/(з" Г(а)) — целая по а и по в и может быть разложена в ркд Л 1 Г(а+ в+ 1) о 3. Показать, что д ( Г(а, О) ( 1)в — а — в1 З о 3 6. Ортогональные полиномы ь 2) ~ и'(х)(х!вНхч, оо, и == 0,1, 2, .;. а (Условие 2)' подразумевает, в частности, что ю(х) интегрируема на данном интервале.) Семейство действительных полнномов гр„(х) порядка, точно равного п, и = О, 1, 2, ..., называется ортогональным на (а, Ь) с весовой функь(ией из(х), если ь ~ из(х) <рв(х) (р,(х) с(х = 0 (з~п).
а (6.01) Теорема 6.1. 1) Если коэузфиуиент при х" в полиномв «р„(х) задан для каждого п, то семейство ортогональных полиномов существует и единственно. 5 аь Олвеп 61. Пусть (а, Ь) — данный конечный пли бесконечный интер вал, а ю(х) — функция х, определенная в интервале (а, Ь) и ебладазощая следующими свойствами: 1) узункиия ю(х) положительна и непрерывна, исключая, вогмозкно, конечное число точек; ьгл ввкдкнпк в спкцилльпыв фгнкппн 2) Каждый полипом ьр„(х) ортогоналвн ко всем полиномам мгныигго порядка.
Пусть а„„(ФО) обозначает заданный коэффициент прп т. в ьр„(х). Предположим, что для некоторого значения и полпномы ьрь(х), ьрь (х), ..., ьр„-ь (х) определены таким образом, что окп удовлетворяют условшо (6.01),— это предположение, очевидно, справедливо прп п=1. Поскольку каждый колином <р.(т) имеет стенеяь, точно равную в, льобой полипом ьр„(х) степени и с главным членом а. „х" может быть представлен в виде ьр„(х) = а„„х" + Ь„„кр, ь (х) + + Ь ьг 2(х) +, + Ь грь(х) где коэффициенты Ь„, пе зависят от х.
Исяользованпе условия (6.01) нрн г = О, 1, ..., и.— 1 нрннолнт к соотношенньо ь ь аь ь ) ьв(х) х"ьр, (х) да+ Ь„ь ~ и (х) (ьр, (х)) дх — -- О. а Я ь Поскольку интеграл ) ьв(х)(ьрь(х))'дх не может обращаться з а нуль, это соотношение определяет конечное значение Ь„ . и притом единственным образом. Отсюда в силу индукции вытекает первая часть теоремы.
Вторая часть легко доказывается, есмь заметить, что любой полипом степени п — 1 или меньше может быть представлен в анде:ньнейпой комбинации ьрь(х), ьр~(х)... „ьр„-ь(х). 6.2. Фиксирование значения коэффициента а„ „ называется нормировкой. Один нз методов нормировки заключается е том, что а., полагают равным единице, другой иногда используемый неявный способ нормировки основан на равенство ь 1 и (х) ьр„(х) ьг, (х) г1.г = 6„,„ (6.02) где 6„,.
— символ Кронеквра, определенный формулами 6„,=0 (пчьг), 6„„=1. Семейство полиномов, удовлетворяющих условию (6.02), инзы вается ортонормальньик. 6.3. Теорема 6.2, Каждое семейство оргогвка.ььных полиномов удовлетворяет трехчленному ргкуррентному соотногиениьо вида ~рп ы (х) — '(А„х+В„) аь„(х) +С„ьр„~ (х) = О, (6.03) гдв А„, В„и С„нв вависят от х. ортогонллъпыи полиномы ь1тобы доказать это утверждение, мы сначала выберем А„так, чтобы разность ср„+с(х) — А.хср.(х) не содержала члена с х"+'.
Далее, полагаем ср„ис(х) — А„хср, (х) == ~' с„ бср, (х). б=о Поэффициенты с„. можно найгти, если умножить обе части этого равенства на со(х)ср,(х) и проинтегрировать его в пределах от а до Ь. В силу (6.01) мы получим си, ) ис(х)(ср,(х))здх = — Ап ~ ис(х) хсрб(х) ср„(х) с(х, о о Так как:лр.(х) — полянам порядка г+1, а ср (х) ортогонален ко всем полпномам степени, меньшей и, то все с, обращасотсн в нуль, исключая, возможно, с„„с и с„„.
Этим теорема доказана, причем В„=с„и С,= — с„„с, 6А. Теорема 6.3, Нули калсдого элемента семейства ортогональных полиномов действительны, разли сньс и лежат в (а, Ь). Пусть хс, хг, „х, 0 =-т =.и — различные точки из (а, Ь), в которых полипом ср„(х) имеет нуль почетной кратности. Тогда в (аи Ь) колином ср„(х) (х — х,) (х — хг) ... (х — х„) имеет нули чотной кратности. Если т<п, то пз свойства ортого- нальностп вытекает равенство ~ со(х)ср„(х)(х — х,)(х — х,) ...(х — х )с(х =- О, а которое противоречит тому, что подынтегральное выражение не меняет знака в (а, Ь). Поэтому т=п. 1(роме того, поскольку полное число нулей равно и, каждан из точек х, должна быть простым нулем. Этссм завершается доказательство. УП РЛ ЖНИ НИЯ 6Л.
Показать, 'сто в теореме 6Л лля нормировки о„, нукско умножить каждый кз пояивомоз цб (х) вз кеиулезусо постоянную. Показать также, что ортоксрмаяькое семекство единственно с точностью Ло знаков. 62 (процеео ортоиормолиеоции Гримо — Шмидта). Пусть (1 (хЦ, и с О, 1, 2, ... — любое семейство поливанов, причем степень 1 (х) равна 5о 1ГЛ. 2 ВВедение В специллытыВ Функции точно в. Определим носледовзтельно для п = О, 1, 2 полипомы — 1(Ь т.(з-'.(>-~() пьпьх~~~з ь *=-е п ~ ь ) — Пз Ф (х)=. ~ш(т) (ф (1))тат тр (т). Доказать, что семейство ть(х), тр~(х), ... ортонормззьно. 6,2. Применить теорему 6.2 для донзззтельствз у)ермузм Крвстеуту)езз— Дерсу (х — у)1 ' р (х) р (у) =- '"'* (ч„„ь(.) тп(у) — Ф„(х) р„„(ур, =о и' -',1, где ап и — нозффпциент прн х в тр (х) и Ь = ~ ш(х](тр )тбх.
и 6ИВ 11 усть а н Ь вЂ” конечны, (тр, (х)) — ортонормзльнос семейство, Кх)— иепрерывнзя функция. Показать, что интеграл ь и )2 и (х) ~у (х) — ~~ а Ф, (х) т(х а т=е ь минимизируется при а = ) ш (х) т' (х) тр (х) ех. и В 7. Классические ортогональные полиномы 7 1. В етом пункте мы рассмотрим специальные семейства ортогональных цолиномов, которые играют важную роль в прикладной математике н численном анализе.
Мы будем снова обоаначать рассматриваемый интервал через ;,'(а, Ь), весовую функцию — через ит(х), а старший член полинома ьр„(х) — через а„„х". Полиномьл Лежандра Р„'(х). Для зтих полинолшв интервал конечен, а весовая фуннция имеет простейший вид: а = — 1, Ь = 1, ю(х) = 1, ап п пп —. (7.01) (2п)1 п,п кллссичкскив овтотонлльнын полииомы где а и () — действительные постоянные, удовлетворяющие условиям а) — 1, Р) — 1. Таким образом, Р (х) =- Р'„е'е) (х). (7.03) Полиномы ~7агерра 7п (х).
Для них интервал бесконечен: <а) а = О, Ь = оо, й(х) =- е хха, а„„=- ( — 1)п7п! (7 01) где а — постоянная, причем а) — 1. Иногда 7„(х) называют <а) обобщенным полиномом Лагерра, оставляя название полипом Лагерра и обозначение 7„(х) для Еп (х). <о) Полиномы Эрмита П„(х). Для этих полиномов интервал бесконечен, а весовая функция убывает на обоих концах: а = — оо, Ь =- оо, и)(х) = е — *', а„п =- 2п. (7.05) 7.2.
Явное выражение для перечисленных полиномов дают формулы Родрига: ( !)п Нп Р„ ( ) = ' " †' ((1 — х')п), 2пи! Нхп (7.06) Р<а,))) (х) ( 1)п < ) ! х ((1 — х)п+а (1 ! х)п-Н)) 2" и! ах (7.07) 7 ~, (х)=- — — (е-"х"+а), и! (7.08) ,)п Н„(х) = ( — 1)п е" — (е-**). Нхп (7. 09) То, что ка)идее из этих выражений является полиномом, следует из теоремы Лейбница. Чтобы доказать, например, формулу (7.07), обозначим через <р„(х) правую часть и через ю(х) — любой многочлен.
В 1) ~) „,"', >о, <а <а — 1) (а — 2) ... (а — и+ 1! Полиномы Якоби Р<а'„З'(х). Они явл)потея обобщением полиномов Лежандра: а = — 1, Ь =-1, и)(х) =-(1 — х)а(1+х)З, апп= — (" ! "+()) ) (7. 02) 70 ВВЕДЕНИЕ В СПЕПИАЛЪНЫЕ ФУНКЦИИ и'л 3 результате повторного интегрирования по частям мы получаем ) (1 — х)" (1 + х)З !рп (х) 1а (х) а)х = — 1 1 =- — ~ (1 — Х)п-Ьа (1 + Х)п+З Ю!и) (Х) а1Х. 1 2пл! — ! Интеграл в правой части обращается в нуль, если степень ы(х) меньше, чем п. Поэтому 1р„(х) удовлетворяет условию ортогональ(а,з) ности для полиномов Якоби. Разлагая Р„''~~(х) по убывающим степеням х, легко заметить, что коэффициент при х" в (7.07) имеет вяд ~2л+ а+ ))) =- а 2п+а+з+1 ! а~+а (1 о)пз а !Ь— =а,„ о 2а ЬЗЧ' Г !и+ а+ 1) Г (и+ ()+ 1) 2л -т.
а + )) + 1 и ! Г [л + а + )) + 1) (7.11) [ср, (7.02) и (1.10)). В частности, 1 ,) (Р.(х))*(х =-, ! (7.12) Поэтому в силу '(7.02) и теоремы 6.1 формула (7.07) доказана. Формула (7.06) является частным случаем (7.07), а формулы (7,08) и (7.09) можно проверить аналогичным образом. Можно также использовать формулы (7.07) и (7.08) как определения функций Р'„"'а)(х) и А'„'(х) для значений а и р, при которых соотношения ортогопальности неприменимы пз-за раскодимости интегралов. Другой способ нормировки классических полнномов заключается в том, что указыва!от значения постоянных й„== ) 1а(х)(!с„(х))!!(х, (7.10) и знаки а„„, Выбираи в предыдущем доказательстве ы (х) = = Р„' (х), мы находим, что в случае полиномов Якоби гьз) й.
-„. ~(1 .)'-(1,.)"".— ! КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОЕ1ЬЛЬНЫЕ ПОЛИЫОМЫ У 7! Аналогичным образом Ь„= Г(п+>2+1) »и! (для полиномов Лагерра), й„= и "72" я! (для полпномов Эрмнта). Из классических полпномов ортогональное множество обраш> зуа>т только полпномы 7„(х). 7.3. В оставшейся ча<тп этого параграфа мы ограничим наше вппмаппе полпномамп Лежандра. Соответствующие результаты для другие полпномов сформулированы в качестве упражнений в конце параграфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
