1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Далее, продпфференцпруем выраженно (9.01) по переменной г. Обозначая для краткости 6 = п0 — г ив О, мы получаем з'„(г) = — „] в1п 0 ип ОГО р о (гу„(г)) = — — — ) иог 0 сов йо(О + — ~ в!и О в]п Вс(0. о о Интегрирование последнего слагаемого по частям дает (гХ„(г))' = — — — " сов 6]10 + — " сов О сов Во(0. я и 'о о Следовательно, г(го„(г))' -(- (го — по) Х„(г) = — ) (г соь 0 — п) сов ОЫО = о [ — ив 6)яо =- 0„(9,07) Таким образом, функция ш = о„(г) удовлетворяет уравнению г'ш"+гш'+(гг — пг) ш=0. (9.08) Уравнение (9.98) называется уравнением Бесселя. Опо играет важную роль во многих физических задачах. 9.3.
Заменим теперь и произвольным действительным или комплексным числом т. Выкладки $9.3 не дают возможности вввдкнии в спвцилльнык втнкции (гл. г У,(г) =- (г/2)' г=О (9. 09) Очевидно, что это определение согласуется с (9.01), если т — нуль или положительное целое число.
11етрудно убедиться, что опо согласуется с предыдущим определением и в случае, когда ч — отрицательное целое число, поскольку тогда первые — ч членов ряда (9.00) тождественно равны нулю. С помощью формулы (1.03) и мажорируемостп ряда легко проверптгч что ряд в (9.09) сходится равномерно на любь>х компактных множествах в плоскостях переменных т п г. Поэтому функция (г/2) 'г',(г) — целая по г и т.
Так как (г/2)"=ехр(т1п (г/2)), то У,,(г) — целая функция т (исключая случай, когда г = О) и м>гоеознаг>ная функпия г (исключая случаи, когда т — нуль или целое число). Ее главная ветвь выделяется выбором главноп ветви (г/2)" в (9.09); остальные ветви связаны соотношением 1,.(ге'"") =е '."У„(г) (т — целое число). (О. (О) Ряд (9.09) удовлетворяет уравнению агм 4 Ым, > +~' ) й' г гй ( г ) (9 11) (сравните (Ч.08)); ото лагко проверить с помощью почленного дифференцирования. Кроме того, поскольку дифференциальное уравнение не меняется при замене т на — >г, существует также решение и = 1-,(г).
9л1. Контурный интеграл для Х.(г) можно найти, если подставыть в (9.09) для каждой гамма-функции ее представление через интеграл Ганкеля (1.12). Это дает >оь> (г) (г>2> чьг ( 1) (гг!4>' ~,1 . чг '=-а Меняя порядок интегрирования и суммирования — законность втой процедуры мохсно доказать, выбирая дуговой параметр в качестве переменной интегрирования и используя теорему 8.1,— мы получаем равенство (г/2] (' ( гг > аг /ч(г) = .
) ехр (Š— — )— 2я>,) ( Зг ) ч+> (9. 12) утверждать, что функция У„(г), определенная формулой (9.01), удовлетворяет дифференциальному уравнению Бесселя; действительно, з(п 6 обращается в нуль прн О=я лишь тогда, когда и— целое число плп нуль. Позтому мы определим У„(г) с помощью ряда ртнкгтия вксскля х,< ) е 91 Оно нааывается интегралом Шлгфли для г„(з) '(ср. '(7Л9))'.
Как и в (1.12), функция ь'+' принимает главное аначение,когдапуть интегрирования пересекает положительную действительную полуось, и всюду непрерывна. Ксан на время предположить, что з положительно, и сделать замену 1 = зЬ/2 в (9Л2), то мы получим представлонне (е-ь) г,(з) = —. ) ехр~ —.з(Ь вЂ” Ь вЂ” ')~ ~й 2я; .) (2 ~ Ье+1 (Отметим, что когда т — целое число, подынтегральное выра-- жение однозначно, и интеграл приводится к виду (9.03).) Положим теперь Ь = е'. Тогда ' ее (з) = —,„, ~ е" ' дт. (9.13) Это представление также получено Шлефли; контур изображен на рис. 9.1. С помощью аналитического продолжения этот результат обоб- Гвс.
9.Ь т-плосьость. щаетсн на область (агй з( ( л/2. 9.5. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя могкно вывести нли из определения в виде ряда, илн из интегралов Шлсфли. Второй способ более конструктивен. Из (9.13) получаем 2 3'/ — (3) + 2 гуес1(з) ъу (г) 1 1 ( с(т г — т) г'еве — еес(т = 2ти (2;) — ~ ( ~еье — „,) зон 9 откуда (9.14) г — (') + г е-и (г) = У ('). Хотя представление (9.13) справедливо лишь при (агдг) (н/2, в формуле (0.14) это ограничение устраняется аналитическим продолжением.
Аналогично, г „(з) = — ~ зн тг'е" е — тес/т, 1 2з1 Откуда У,, (з) — Х,+~ (з) = 2уь(з). (9Л5)е Е Ф. север ИГЛ. 2 ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Из (9.14) и (9.15) легко вывести следующие соотношения; .7т4г (г) = — Х, (2) — Х„(г), Хг г (г) = — Х„(з) + Х„(г). (().26) )) частности, Хе (г) == — Хг(з). УПРАВ(НВПИЯ 9.1. Используя производящую функцию, вывести разложения 1 = 1г(г) + 21г(г) + 21г(г) + 21г(г) + ..., соз г = 1„(г) — 21,(г) + 21,(г) — 21г(г) +..., г сог г = Х, (г) — 91 г (г) + 25 Х, (г) — 49 Х, (г) + ... 1 2 92. Доказать для целых зяачеяий порядка и теорему сложения И гймаяа Х„(гг + гг) = ~ Х (г,) Ха (гг). Вывести из нее формулу 1 = Хат (г) + 2 ~' Хз (г).
а=г 921 Показать, что Х 1,(г) =~ — ) согг, Х зж(г) Я ~ — +г)пг). 94. Показать, что т — 5 ~ — — „~( "Х,(г))==' 'Х,,(), ( — ~ ~( УХт()) =( — 1)'г " 'Х + (г). 9ХЬ Разлагая носппус под злаком интеграла в степеяпой ряд, доказать соотношение (г '2)" зт Х (г) = ' ) сог [гсоз О) юпь~йг10 (яе т) — 112), я'11Г (т+ 112) .Которое называется иггтегрилом Пуассона. Прямым вычислением проверить, что зтот интеграл удовлетворяет дифференциальному уравненшо Весселгь 9.6. Вывести иа предыдущего упражнения, что ) гю(т,~ Гпм1 /Х (г) / ~( т Р(У1 1) (т )~ — 112), а из (9.02) — неравенство (г))ч„Риге! (и=0, +1, +2,...). 9Л. Покааатгь что при Нет > — 1 г г Х„(Г) НГ = 2 ~~ Хе+За+г (г).
о г=о 9 гз] МОДИФИЦИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ ВЕССЕЛЯ/»(*) 89 Используя упр. 9.3 и обозиаченвн $4 2, вывести формулы 0 / нга) ~1 / лгат С(г) = ~~ Хга+Цг 2 )~ Ю(а) = т Хг»+г/г '( 2 »=0 » — — а 9ХЬ Из определения (9.09) зывесгл, чта селла, Ь и»+ 1/2 — положительные числа и Ь ( а, то Г (» + 1/2) (2Ь]" а х»(ы)г»а/= я~/г(, +ьг) т//г' Доказать также, что ограяиченке Ь С а может быть устранено, если еспользозать унр. 9.6 и аналнтнчесное продолжение. 5 $0. Модифицированиан функция Бесселя 1.(г) 10Л.
Модифицированная функция Бесселя 1,(г) при всех зяачениях» и г, исключая г = О, определяется рядом 1„(г) =(г/2)'~~)~~ (1,( + ((0.01) »=е + Это.выражение, как и '(9.09) — многозначная функция г, если о не равно нулю или целому числу. Ке главная ветвь выделяется выбором главного значения для (г/2)". Сравнивая (9.09) с (10.01), мы видим, что 1„(г) = с"™аг1„((г), (10.02) где ветвп обеих функцпй прпппмают главное значение пря асяс=О и всюду непрерывны. (Необходимо отметить, что разрезы для главных ветвей 1„(г) и 1,((г) не совпадают (ср.упр.
10.2),) В соответстюп| с этим соотношением Функцию 1,(г) иногда называют уьункцией Бесселя жнилшго аргумента. Болыпинство свойств 1,(г) выводится прямо из свойств 1,(г) с помощью (10.02). Например, лсодифи/(ированнов уравнение Бесселя ага~ 1 Фа / »з т — + — — — (1 + — /) го = 0 (10.03) В а г аз ~ аа ) имеет решения ш = 1„(г). Рекуррентпые соотношения для модифицированных функций имеют вид 1, г (г) — 1»л г (г) = — 1 (г), 1„г (г) + 1».(, (г) = 21„(г), ((0.04) 19/(г) =- — -1,(г) + 1»(г), 1» 1(г)= — 1»(г) + 1»(г).
((О 05) Дальнейпгие свойства 1,(г), 1,(г) и других решений дифферен-. циальных уравнений (9.11) и (10.03) изложены в главе 7.. 6а (гл. г Ввклкник В спкггнлльктлк Функции УПРАЖНГНИЯ 10ль Доказать, что нри целом и 1 (з)=1 „(з) = и ! ~ с'со'Есоз(па) оО. о 10,2. Доказать, что для главных ветвей справедливы равенства 1„(з) = е тнцзУ Пз) ( — и ч зги з ~ я(2) 1„(з) =з"иизУ, (и) (я(2ч,згдз~(я). 10.3, Доказать, что Г1 вар~а ° (ь+! ')~= ~ 1 (з)ьч (А~о).
и-.=— 104 Показать, что преобразование 2 — — 2зчз(2 и И' = * ытш приводит уравнопие (8.05) и виду з з Вь р ~ ' (г'-з Показать так>ко, что 1!з з) =- 2 зп-( „,(=) — „,(е)), А (- =- 6 "-(У !гз(е)+~из(".)), АГ (з) — -- — (У.,~з (ь) — 1 гз (с)), А!' ( — ) = — (У ~„. (ь) — У „(~)), 1 где вге функции имегот при агд х = 0 глазныс значения н связаны по непрерывности. 10.5.
С помощью упр. 04 доказать, что 1,(г)=~~ — У,!.,(з), Ут(з)=~~( — 1)' — 1гч,(з), ч! а=о г.з где вотан (Ьункци(г принимают главные значения при агд з = О. 10.6. Поиазать, что решениями дифференциального уравнения х"шы! — 2хзш'" — (1+ 2тг) (хзш" — хш') + (т' — етт -)- хг) в~ = 0 являются фукзчин Кюгьвзза Ьег,х, Ьепх, Ьсг,х п Ье! х, определенные равенством ьсг х -)- ! ье! х =- У (хгхзпгн) = с тяпз1 (хсхя гь). К 11. Диета-фунггция г'г.$. у(зета-фугскния '(Риз!а!!а) определнется рядом Ь(л) =- ~— (гг Л)1) 8=! з прн Ве з ) 1 и с помощью аналитического продолзкения в дру- % лт! данта-Футятсция гих точках. Рнд сходится абсолютно п равномерно в;побой компактной ооласти полуплоскости Вез 1, н поэтому ь(г) голо морфна в этой полуплоскостп. Пнтегральное представление для ь(г) можно найти, если подставить в (11.01) интеграл Эйлера для гамма-функции, взятый в виде 1 1 — е — еЧ' — тдг (Вег с О).
р (е) „ о Если Ве г > 1, то мы хюжем в силу теоремы 8.1 поменять порядок суммирования п интегрировании. Тогда „Р вЂ” с ~(г) == —. ~ с гтг (Пег ~ 1) (10.02) о 11.2. Аналитическое продолжение ь(г) в область Ве г ~ 1 можно осуществить, построив интеграл типа Гаккеля с контуром в виде петли. Рассмотрим функцттто сожт Р я' (г) =- отт, е ' — 1 где контур пе охватывает ни одну из точетс ~2яя, ~4ят', ... Применяя теорему 1.1 и выбирая в этой теореме в качестве 1 дуговой параметр пути интегрирования, мы немедленно убеждаемся, что функция 1(г) — целан.
Предположтям временно, следуя ! 1.7, что Во г ) 1, и дефоръяттруем путь интегрирования до совпадения с отрпяательной действительной полуосью; тогда с У (г) =- 2т зтп (яг) ! Л = 2т зтп (яг) Г (г) т (г) е ' — 1 о '(ср. '(11.02) ) . Использование формулы отражения для гаммафунтсцтттт приводит к равонству со-и (11.03) Это тл есть искомая формула. Как и в интеграле Ганкеля, ветвь Г ' принимает главное аначение, когда контур пересекает положительную действительную полуось, и доопределена всюду по непрерывности. Если Ве г - 1, формула '(11.03) осуществляет требуемое аналитическое продолжение Ь(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
