1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ТОГО, ДОПУСтип, Чта ПРИ ! — ь-ГС СЛЕВа СУЩЕСТВУОт ПРЕДЕЛЬПОС Щ П.: иие д(г! — О); аналогично существует д(гс —,' 0) прп 1-ь-а сирен Если гс(ьс —. О) Ф о(с!+ 0), то с! и:— кЮ жлваетса точкой !саар!,ь;ь,ь и вс: скячкьь. Егли в(г! — - С) ==- г!(.! -с-('), по г)(г() Ф г((г( — 0) илп г!(г!) Оо с,- !явствует, то г( называется точи л) уверит!молю ралрььеп. 1!апргиськ ! и ! ! = 0 функция, определен! ььп ус .:- Внпхги г)(!) = 0 (((О), ь)(0) = 1/2, Ч(!) = 4 (!)0), Рис.
4.1. Нусочнея непрерывность в (е, Ь), имеет разрыв в видо скачка, а ье производная имеет устрапимый разрыв, Простым разрыволс называется либо разрыв в виде скачка, либо устрапииый раврыв. Далее, предположим, что, функция !)(!) непрерывна в конечном или бесконечном интервале (а, Ь), исклгочая конечное число простых разрывов. В этом случае мы говорим, что фу! кцпя !)(!) кусочно-пецрерывпа в (а, Ь). Если, кроме того, щсло а конечно, а д(а+ 0) существует.
то функция в(!) называется кусочно-пеирерывной в (а, Ь); сравните рис. 4.1. Лнасьогнчные определения ,можно дать для интервалов (а, Ь) н (а, Ь). лгтпхгх Гпмипе — лев!!та 4.2. Изтагая аспггггготпческуго теорию определеппых интегралов ггт осцпллпруюгцих функций, мы часто бу;гем пользоваться слслуггццей теоремой, пазьгваемой также леллой Романо —.Лебеггг. Те о р е ма 4.1. 1) Пусть фуггяг1ия д(!) ггггсо !по-неггрерывна в нол гонюголг ил!герзеле (а, Ь1. Тогда в ) е"'у(!) гП =- о(1) (г — е оо). (4. О1) а ') Пусть а ггоггегггго пли раочо — оо, Ь вЂ” нонечгго или ровно — 'оо, а фуггнбия у(!) — ненрерывгго в (о, Ь), чгел очоя, воззголсно, и чечнос чггсло !олен.
Тосдо формула (уг.01) танэие снроведлигнг нгч ггс.гьгггггг, чго ггггте..тго.! равггосяерно сгод л си в а, Ь и в уполягумгг иг игол яри все с оостаточно болг,и!из; я. ;(ва ггомспта в зтои утверждении з,юлужпвюот внпмаппя. Пггсжггг всего, резуггьтги 2) включает 1) в качестве чястпогосзучзя. Во-вгорых, есгтп интеграл (4.01) сходятся абсогпотпо, то оя г бязагсги оо сходится п равномерно; с другов стороны. легко пров! ргггь Глмгорпроваипем по частям, что, например, пптегргл г' гкг ~ '— , д! (О < б -- 1) (4.02) о о= — - !с< !г < 1, «... 1„= Ь Л(г,))<2.,' (П,<1<!.) Тогда г к г д(г,) ~ вгмЪ+ ~' ~ ечм(у(1) — Л(г ))д1.
к=-! ! к — ! г †! гг максимальное зпачеиио ! Л(!) 1 в (и, Ь1. ~ Л (!)— пров=1,2,...,и. ь гк е ™Л (!) д! =-, гг к — ! Обозначим через равпомсрпо сходится па ооопх пределах прп .т '- Х ( О) яо пе сходится абсо:погао па верхнем пределе. Чтоогг докажмь утверждение 1), заметим, что достаточгго установить згот розу гьтат, когда функция у(') вепрерывпа и (а, Ь1; обоопдогпгс гго кусочпо-пепрерывяьге функции производятся с ггггмгггггг,ггг разбггеноя оо, зстп ггггтсгрпрггггаггггя и затем суммирог;опоя. Есгггг функция Л(г) пепрорывпа в 1а, Ь), то она автомати',скп равномерво непрерывна в этом питервале.
Это озпачает, .'ггг для кзждогг пгложптсльггого чясла е найдется конечное чпс.ю гоггг н „'го.гсг'ггл г„для которых пнткггллы В денствптелъион опчлстн 1гл, з 1ОО Поскольку (т) О) для любых действительных чисел с! и 3, пы имеем ! ~е' о(1)г(1!<= —,'-„~ (1 — 1. !). = — '+ —.' =е, гз! Оп е 2(!с, е з ~ — В(ь «) а в —.- ! если л 4(гп(е. Докажем утверждштне 2).
Пусть т1!, г(г, ..., т(, — впутрешпю точки интервала (и, 6), расположенные в порядке возрастания, н которых функция д(1) разрывна нлп бесконечна. 11рн этих условиях существуют такие коне*!ные точки а,и Зо что а = ае < бе < сг! < а! < (3! < е3г «... е(,„< !х, < Б-.. < Ь и каждый нз интегралов а" +! а, ~ е'" д(1)!(1, ~ е' !)(1)!((, ) е" д(1)е(1 а Га с~ (з =-- О, 1,..., ги — 1) ограничен по абсолготпой вешгчине числом е при всех х, ббльшпх некоторого Х. Для завершения доказательства следует к каждому из интервалов [а., р,), л = О, 1, ..., лг, ърпменпть результат 1), УП1'Л)КПК1П!К 4Л. Пусть функцпп д(!) непрерывно в (О, е ), д'(О абсолютно нвтегрпруенв в том же пнтервз.ю и е(!) стремвтсп к пуз!о прн ! — ~- еь.
Доквзет!з что лвтегрвл ~ е'"'д(О Ж рввпомерпо сходптсп для всех достзточпо бель- шпх л. в 5. Игтегралы Фурье 5.1. Вторым типом интегралов, к которым может быть непосредственно применен метод интегрирования по частям, являются интегралы Фурье с копечнымп пределами 1(х) = ~ е!"'д(1)с(1, (5.01) где и, 6 и (((1) пе завйсят от положительного параметра ж % 51 пнтегРллы ФуРье 1О1 Коли функция о(Г) непрерывна, а а/'(/) — абсолютно интегрируема в [а, Ь), то 1 (х) =- — (с/а"//(а) — с15ат/ (Ь)) + е, (х), (51.02) где Р, /х) == — ~ с'" д' (/) г/г. а (5.02) Последний интеграл сходится абсолютно и равномерно, и позгому в силу теоремы 4,1 з1(х) =о(х ') прп х — «со.
Далее, если все производные 5/(Г) непрерывны в [а, Ь), то после и-кратного интегрирования по частям получаем 1/; 1а+1 Г (х) — ч [ ) (с1аад(а) (а) с15аЧ/а1 (Ь)) + з (х) (5 041) а=О где / 15О1' Е„(Х) .—.= [ — [ ) С«в1дМ (/) Л. (5,05) В ЭТОМ СЛУЧаЕ З (Х) =О(Х а) СНОВа В СИЛУ ЛЕММЫ РИ51апа — ЛЕ- бега. Следовательно, выражение (5.04) является асимптотпческпм разлоткопяеат Х(х) при больших х '). 5.2. Полученные результаты легко обобщаются па бескопсчну1о сбласть интегрирования.
Предположим, что все пронзводпыо о(/) непрерывны в [а, оо) и каждый из интегралов ~ с'"11/о1(/)/И (г =-0,1, ...) а т(х) —" у /о>(а)[ — ') (х-1- оо). а=а 1) Сравните унр. 7Л нз главк б равномерно сходится при всех достаточно больших т. Пол,агля Ь- со в (5.02) и (5.03), мы видим, что функция е'а'д(Ь) должна стремиться к постоянному предельному значению, а так как х принимает более чем одно значение, то д(Ь)-« 0 нри Ь -« со. Прпмепепие теоремы 4.1 приводит теперь к формуле Оаа /11 7 (х) = — ' д (а) + о ~ — ) (х -«оо). Проведенные рассуждения моягно последовательно повторить для и = 1, 2, ...
в (5.04) и (5.05). При этом мы получим 402 инткггялы В леяствительнои овллсти )гл. а 5.3. В конечной области интегрирования можно дать простую оценку для остаточного члена (5.05): ( а, (х) (((Ь вЂ” и) ()ал — ", !)„= — шах ( р!а! (Г) (. !а,ы Однако зта оценка часто бывает слишком завышенной и луппе использовать оценку (е.(=)( ~ --у'.,.( "-н). Оценка такого вида применима и в случае, когда область интег- рирования бесконечна.
УПРЛЖНННПЯ 5Л. Исиользуя (5.04) нри и = 3, доказать, что ~ с!хза!а! = + е (х), где ) е (х) ) ( Ь+ — ' 1/ — ~ —. х 25 а 5 ха о 5.2. Доказать, что ес.зи х > О, а а — любое неотрицательное число, то ! ! а — ! и о !=о а! ~ (2 — „„. 9 6. Примеры; случаи, когда метод неэффективен 6.1. Следует соблюдать особую осторожность прн оценке остатков разложений, полученных в предыдущем пункте. Это можно продемонстрировать на следующем призтере '). Рассмотрим интеграл (6.01) в котором т — большое положительное целое число. Применение реаультатов 2 51 при д(4) = +,, дает (таь!) ( Г (нз) ( — 1)"' ~'„( — 1)' о ~ч, (зп -ь оо), (6,02) в=о ') Олвер (4964а).
пгпмвгы поскольку с7со'+гг (0) = О. Первые три нечетные производные функции 4г(С) имеют внд 9' (С) = — 'о'(С) =-— 2с 24 (со — с) (Р— '; 1)" (со + 1)' ' фасо (Π—... 240 (Зс' — 10с* чс Зс) (сг 1)~ откуда могкно получить зпачопия с7'(Я) = — 0,05318, д'о'(л) = — 0,04791, сосо'(н) = — О 08985 верные с точностью до пяти десятичных знаков. Поэтому при т = 10 первые три члена разлонгения (6.2) дагот вклад — 0,0005318 + 0,0000048 — 0,0000001 = — 0,0005271. '(6.03) Но этот вггегпне правдоподобный ответ совершенно неверен, поскольку прямое численное интегрирование интеграла (6.01) показывает, что с точностью до семи десятичных знаков У(10) = — 0,0004558.
Это расхождение целиком обусловлено тем, что мы препебреглн остаточным членом. Если обрезать (6.02) па элементе с номером о = и — 1, то остаток имеет вид егп(гл) = — „) сов (глС)с7(2~с (С) с)С = 1)о (' оп ) о ~ зги(пгс) д(2 +гг(С)с/С, ( — 1)ч+г р ск-г-с о Поэтому ! ег,(сл) ~ ~ у'о (асо"г)/лг~"+г Д<сг (С) — 21(бсг 10(о + 1)/(Со ) 1) о (6.05)' Пргг я=2 ) зс(10) ) (0,00045. Стационарными точками этой функции являются нули г)сог(С).
В рассматриваемом интервале лежат нули С =О, 1/) 3, )с 3; вычисления дают СС(гг (О) = — 24,00, д(41 (1/)с 3) =- — 10,12, с7<41()сЗ) = 0,38, д(4>(л) = 0,06. Следовательно, У'о „(сСоо) =44,94 и оценка (6.05)' принимает вяд 105 в в) ПРПМКРЫ может существенно улучшить численный результат, даже если этими малыми членами можно пренебречь е смысле Пуанкаре '), 6.3.
Последние два пункта да>от пример частичной неэффек- тивности метода интегрирования по частям прп выводе удовлет- ворительного асимптотпческого разложения интеграла Фурье. Полная неэффективность может быть продемонстрирована на сле- дующем примере '). Положим з 1 (т) =- ~ соя(тз) д (1) др, и где а и Ь вЂ” целью кратные я, а все нечетные производные д(>) обращаютсн в нуль в точках а и Ь. Такой впд (с соответствующими пределамп) имеет интеграл (6.06).
Применение метода $ 5 дает О, О, 0 е (и>) — + — -г + ° (т — ь ие) ы >из >я> Этот результат справедлив, но бесполезен для численных и большинства аналитических целей. Аналогичный результат получается, если заменить в интеграле соз(тс) на Мп(т)) п предположить, что в точках а и Ь обращасотся в нуль четные производныо функции д(1). Как и в з 6.2, прп этих условиях для получения удовлетворительного приближения для 1(т) мо>ссет оказаться необходимым обращение к моголу контурного интегрирования. 6 йз. Б качество примера рассмотрим интеграл где и — положительная постоянная, а л — большой положительный параметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
