1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е" (о) э~+1 (2.05) Менее жесткие условия, достаточные для справедливости этого результата, приведены ниже в унр. 3.3. 2.2. Если максимальное значение функции ~доо(1) ~ достигается в точке г = О, то (2.04) сразу приводит к неравенству )е„(х) ~ ( ) )со(0) )х " ' (2.061, при х) О.
Эта ситуация имеет место„например, когда д(1) 2.1. Один из общих таков интегралов, к которому применим метод интегрирования по частям, имеет вид ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА вполне монотонная фупк<(><я ') в [О, оо), т. е. если ( — 1)'д">(1) ~ 0 (1- О, г = О, 1, 2, ...). Неравенство (2.06) л>он<но рассматривать как частный случай призпака Лейбпи<(а. Этот простой признак утверждает, что если последовательные остатки, соответствующие разло>кению в ряд, имеют противоположные знаки, то каждый остаток численномень>пе первого отбрасываемого члена ряда и имеет тот же знак. В настоящем случае мы имеем е» (г) — е.» > (г) = 9'"' (0) к-"-'. Очевидно, что если с (к) и е„„<(х) имеют противоположные з~аки, то применимо неравенство (2.06), и е (и) имеет тот же самый знак, что и д<">(0).
Этот признак имеет более широкую, чем асимптотические разложения, область применимости; его можно использовать, например, для конечно-разностных разложений, возникающих в чнслепном анализе '). Необходимо подчеркнуть, что указанный признак следует применять к последовательным остпгказ<, а не к членам ряда. Коли просто известно, что <(<»>(0) и <(«"+>(0) имеют противоположные знаки, то соотношение ,«о (о> о<в+<> (о> показывает, что неравенство (2.06) справедливо для всех г ) Х„, когда Х„ достаточно велико.
Однако фактическое значение Х„ из этих рассуждений получить нельзя. 2.3. Ксли функции )д<">(1) ) не мажорируются велпчпнами [д<">(0) ), то мы можем рассмотреть очевидное обобщение )е„(х)/ -С»к " ' (г э 0), (2.07) где С„= впр [о<">(1)). <о, > Однако очень часто величины С бесконечны или же настолько велики по сравнению с (д<»>(0) ), что зта оценка чрезмерно превосходит действительную ошибку. В этом случае предпочтительнее рассматривать мажоранту вида (9<к> (1) [» (9<в> (О) (сов (О к '1( » ) (2 06) ') Кокоторые общие свовствв этих фуикцвй волучевы Увддером (1941, глава 4), а также ввв лер Корвутом и Франклином (1951). См. также ниже увр. 2.1 — 2.3.
в) Стеффевсои (1927, $4). ИНТЕГРАЛЫ В ДЕЕСТВИТЕЛЬНОИ ОБЛАСТИ (ГЛ. 3 в которой величияы а„не зависят от й Подстановка этой мажоранты в (2.04) приводит к неравенству ( е„(х) ) ~( ),<"> (о) ) (х) <пах (и„, О)), (2.09) х (х — аа) Принятое ранее условие х ) О не является здесь необходимым, поскольку повторные интегрирования формулы (2.08) показывают, что при а(и и большом ( производные <7<" (() имеют порядок 0(е"'), 0((" ') или 0(р' ' '), когда значения а соответственно положительны, равны пуз<о или отрицательны.
В любом случае формула (2.03) справедлива при х ) шае(а, 0). Наилучшее значение о„определяется, очевидно, равенством ( 1 ~ д«о (О <О, ] ' Е<а' (О) При условен (2.02) это значение конечно, если <)<"'(0) -.~ О. В противном случае следует рассмотреть не равный нулю член ряда с ббльшпм номером. В отличие от (2.07), отношение правой части (2.09) к фактическому значению ~з„(х) ~ стремится к единице при х-+ оа. Необходпт<ость вычислять производные <7(() является недостатком. Метод, изложенный в 4 9, устраняет эту необходимость. 2.4. В качестве иллюстрации оценки остатка, указанной в предыдущем пункте, рассмотрим снова разложение неполноп гамма- функции. Если полол<нть (=х(1+т) и <7(т)=(1+т) ', то формула (1.02) принимает вид с"х "е„(х) =х "' ~ е "'д~"'(т)<(т (х)0) (2.11) о (ср.
(2.04)). Из (2.10) имеем О„= зпр ) (и — и — 1) )е((+ т)) (2,12) ты<0. ) Если а — п — 1 ( О, то непосредственно видно, что эта верхняя грань достигается при т=аа и равна нулю. Это приводит к тому же результату, какой был получен в 4 1.1. В случае <т — и — 1 0 выражение в скобках полоясительно. Поскольку пределы функций )п(1+ т) и т равны в точке т = = О, а вторая функция убывает быстрее первой, максимальное значение достигается при т-~0. Следовательно, О„= а — и — 1, и из формул (2.09) и (2.11) вытекает оценка (а — а) х — "х" леммА ВАтсонА 1 31 Кроме того, как следует из (2.11), остаток е„(х) при этих условиях положителен. Оценка (2.13) несколько слабее по сравнению с 3 1,2, но имеет более удобный вид.
В частном случае прил=О Г(а,х)( " (а)1, х~а — 1) (2.14) '(ср. (1.05)). УПРЛЖНЯППЯ 23. Показать, что сумма и произведение двух нполне монотонных функций являются вполне монотонными функппямя. 2.2. показатСь что если е(с) > О, а д'(с) — вполне монотоннаЯ фУнкцнЯ, то 1!д(с) — также нполне монотонная функция. 2.3. Пусть функция д(С) неотрицательна и непрерывна при С > О и каждый иа ее холоягоо ~ С'О(С) ог, о =О, 1,2, ..., конечен. Показать, что функе ции С(х), определенная равенством (2.00, вполне ионотонна в 10, со).
24. Доказать, что — хзж чЬч о 1з ° 3' ° 5з ... 12х — 1)з е о от . ( — !) лов Зз-1-! .=о 2.5. Докааатгь что (х-ь <о). сСС „ Н, 'тут з ! 4 7 ... (Зз — 2) +)в )Сгз л с (Зх) Показать также, что для всех положительных х остаточяый член мояыпе первого отбрасываемого члена и имеет тот же знак. 2.0.
Показатсь что ехр ( — хс+ (1+ с)ССС) ог =- '(1 ).-6 (х)), о где О (6(х) =' (2(х — о)) ' (х > о)1 (1+ с) Пз — 1 — !и (1+ с) (7 = зпр 2 СО, ) и Оцепить численное аначенве о, вычислив последнее выражение прн С = О, 2, 4, б, 8, 10, 15, 20, 25, со. Ф 3.
Лемма Ватсона (3.01) 3.1. Разложение (2.05) может быть получено прямой подстановкой ряда )т(аклорена д(С) = д(0)+СО'(О)+!в~ + ИНТЕГРАЛЬГ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ггл. з ь' а Сг ег — исса (Г,0) —.е вде й и р — положительные постоянные. Товда (3.02) Э ~в "д(С)г)с ~' Г( — ) „".гг (х-+.Оо) (3.03) э г=э при. условигс, что этот иптезрал сходится при всех достаточно больисих х. Мы можем сказать, что разложение (3.02) индугуирует разложение (3.03). Сформулированные условия позволяют функции д(С) иметь конечное число разрывов и точек, в которых она может обращаться в бесконечность где угодно в области интегрирования, включая точку г = О.
Сходимость интеграла при с = 0 для всех х гарантируется условием (3:02). Эту теорему нельзя доказать прямым применением метода интегрирования по частям. Вместо этого мы поступим следующим образом. Определим для каждого неотрицательного целого числа п функциго и — 1 ,р„(г) = д(с) — ~ ..с' х-а!!э (1~0). (3.0") я=.э Умножая обе части равенства на е "' и интегрируя с помощью интеграла Эйлера, мы получаем и — ! ) в * д(О = ~~~ Г( — ) ' + ') и *' гр (г)ссг. (3.05) для функции д(г) в (2.01) и почленным интегрированием.
Конечно, это не является доказательством; разложение (3.01) может даже не быть справедливым во всем интервале интегрирования. Во этот формальный метод наводит на мысль об одном естественном обобщении: нельзя ли получить аналогичный асимптотический результат почленным интегрированием и в случае, когда разложение д(с) около точки ~ = 0 производится по нецелым стеленям с? Утвердительный ответ был дан Ватсоном (1918а), Он обнаружил, что несущественно, явля!отса или нет показатели степени в разложении д(с) целыми пли вообще равпоотстоящими, а также сходятся лп опи пли являются просто аспмптотнческпмп.
Общий результат достаточно хорошо описывается следующей теоремой, которая, вероятно, является утверждением, наиболее часто используемым при выводе асимптотпческвх разложений. 3 2. Теорема 3.1, Пусть д(С) — фггнеггия !!озолс!стел! ной переменной 1 и а з1 лкммл влтсонА 11нтеграл в правой части существует для всех достаточно больших х, так как это утверждение верно для интеграла в левой части (по условию). При г — ~0 имеем ср„(г)=0(С'"+' """). Это означает, что существуют такпс положительные числа й„и Х„, для которых (1) ( с"' г 1(»+л-»)/» (О - Г с- ь ) Поэтому К и ) <»-~-гл»' о а' Ф„(Е) = ~ е ™ср„(о) сЕа, так что функция чэ„(Е) непрерывна и ограничена в (Уы, со) Обозначим через ?„точную верлнюю грань /Ф„(й) / в этой области.
Коли х ~ Х. то после интегрирования по частям мы на. ходим а» а» Позтому ~ е "ср»(1) ОГ ((х — Х) Е„) е '* 'М= Л е ' ". (3.08) ь» $ ь» Объединяя формулы '(3.06)' и (3.08)', мы видим, что интеграл в правой части (3.05) имеет порядок О(х '"+"~») при х-э.со, п теорема доказана. Оценки остаточного члена для разложения (3.03)' будут даны позднее в атой главе (з 9). т Ф. 0»»»р Чтобы оцепить вклад чение Х переменной днтся, и папишем от интервала (к, со), выберем такое знах, для которого иптсграл~ с х <»»(Огй сло- е » =.
(х — Х) ) е ~» ~'Ф»(1) Л. (3.07) ь» и'л. -" ИИТВГРЯЛЫ В ДВИСТВИТВЛЬНОП ОП:!АСТИ УП РА)1(НЕН1!Я 3.!. Доказать, что ~ 2х ~ -~ — Г,~- ' ' — - Ы ! и Ь)СЗ жл ,. Ьс . 3З . Ььт )2е 1)З ь! (8.т)' 3.2. П обозначениях упр. 3.5 из главы 2 по!и!зять, сто Б (х) е '' ~Ч е х ' (ь -ь- оз), е= ! где гь =-!)2, еь = 1(8, сз = — 1)32, еь =- — 1с!28 )Л)рп, 1!Т5 ).
33. Пусть интеграл (201) скосился прп вгь х достаточно оо.пжп т х. ьюкяззть, что достаточным усяовпем того, жоаы !ьезложсвье (4!)5) Сыл ь вспмптотпческим рвзкоженпем до к-го члене, янляьчся к! прь рььюп с ь О! "ь(!) в окрестности точки с = О. 34. Предположим, что я!!) удовлетворяет усжьвпяь! т, орсььы 3.), по име. ет простой волюс во ввутреяпой !очке иктерввгж (О. ое) Довязать, по формула (О!)) вривеьиоы прп условии, по для иаь! грел! рзсспвтрпвветсн главное зпвчеппо в смььсле Ножи, 4 4. Лемма Римана — Лебсга 4Л. Пре)и!одопп!и, что в окресткостп коко;; Ой точки П искл!!- Чая ВОЗИ!)и!но, Сапу ТОЧКУ Г(, ф)'Пнцяя г)(!) Ионро!ЬЫВ!ь,Ь, !ьрОЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
