1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Предположим, что функция Й(в) действительна при действительном г п голоморфна в области, содержащей полосу ~1>п)~ (~, где р)и. Предположим также, что Ь(г) = О(> ') (Ве з ->-.+оз) '(6.09) равномерно относительно 1ш з в этой полосе, причем б)0. Тогда мы приходим к тому случаю неэффективности метода, о котором шла речь в предыдущем пункте. Это связано с тем, что функция х й(Г) (ее+аз) ' имеет равномерно относительно а порядок 0(з ' ') при Вез-ил-оо и поэтому все ее производныез) стремятся к нулю при з — и шоо; сравните упр.
4.7 из главы 1, ') См. 1 7Л, гл.  — Прим. ред. ') На этот пример унззал автору Л. Манснмон. з) Входящие з члены рвало>вен>ся.— Прим, ред. ГГНтггГРАЛЫ В ДнйСТВИТКЛЬНОй ОБЛАСти 1ГЛ, В 105 Применение теоремы о вычетах к полосе О «~ 1гп1 ~( р дает С 'хг ,, Й (1) Й1 = н(е )г ((а) + е (х), где г 1хг е (х) = ),з,— з Ь (1) гУ, .У причем Ы вЂ” линия с параметрическим уравнением 1 = (р+ г, — оо~т(оо. Очевидно, что 1 аэ~( '*((„""~,з~/=о(.-"*), так как интеграл конечен в силу условия (6.09).
Объединение этих результатов приводит к нвному представлению )(х) = пе "11е (гг((а))+0(е '") '(х — ь со), УПРАЖНЕ)П(Я 6.1. Пусть т — воловгитсльное целое число, Записав интеграл о а11 г в виде уд (тп) + ~ ~ — — (з(п(тг) од г1 1г .,~в г ( показатть что У(т) — и+ т ( —. 1) — з* (т -ь оз), а 2 т ~е.~ .-е где вз, — зкачеоке 2г-и' пропзводаои функции 1/зъ г в точке г = и. Иоказагь тожке, что более точное представление имеет вид 1(т) — ' — ' + — 7 ( 1) зг л ( — 1) 'кч з за ,арпа 1 =о яг 6.2. Показать, что есзи а и () — положительные постоянные и х положи тслько, то от = ' ехр(азрз ах)+ е(х), ге+а' 2 где (е(х) ( ~ ~пь() ехр( — Рх+ рз()т)((2р(бз — аз)), причем и — любое число, превосходящее а.
Далее, предположив, что () может зависеть от х, вынести формулу е(х) = 0(х ~е хпыо 1) метод лапласа э 7. Метод Лапласа 7.1. Рассмотрпм следующее обобщокпе пптеграла пз э 2: ь 1(х) = ) е ~~ ~г) (1) г)г', (7.01) — хаьа) ~ — агг — ажта~ г) Ч (а) е — арГа) (7,02) =тг)ае е г к)г' (а) и С другпм общим случаем мы встречаомск, если р()) имеет простой минимум во внутренней точке гь пптсрзала (а, Ъ) и р()ь) ФО. Тогда ь г (х) =.
~ ехр~ — х(р(1) + —,(1 — гь) р'(г ))~д(сь) гг) ='. а =. г) (гь) е "" " ~ ех р ~ — †" х (Š— !ь)' ра (гь)~ = () ) — аа)гв) ) зла(г ) (7.03) Следует отметнть, что прп построигнп этих пркблкягений предположенпе о том, что только окрестность шп'а играет вагкную роль, использовалось двангды: во-первых, при замене р(1) и г7(1) главными членами пх разложений по степеням 1 — 1о, и, во-вторых, прп замепе Ь ка со п в формуле (7.03) а па — со, где а, Ь, р(1) п г)(ь) ке зависят от положительпого параметра х.
Значеппя а и Ь могут быль бескопсчпымп. Возппггповепие изло>келного ниже эффективного метода аппрокспмацпп 1(х) связано с именем Лапласа (1820). Максимальное значение (ппк) множптеля е '""' достигается в точке 1 = гь, в которой р(Х) ямеот минимум. Еслгг х велнко, то этот пш; очопь острый, и графпк подынтегралького выражения подсказывает, что преобладающая часть вклада в пптеграл определяотся окрестпостью точкп 1ь. Поэтому мы заменяем р(1) п г7(г) главнымл члскамп их разло)копай в ряды по возрастающпм степеням разпостп 1 — )а, а затем, в зависпмостп от условшц расширяем пределы иктегрпрованкя до — со плп +со.
Получагощпйся интеграл вы шслнется явно п дает искомоо прпблпжение. Предположпм, например, что Ге=а, р'(а) -«О и г)(а) Ф О. Тогда указапная процедура выглядпт следующим обрааолп 1 гт) . ~ — х~ Рга) +гг — а)Р'гп)) а )ОЗ интвгтллы в дкиствиткльнои овллсти сгл, з 7.2. Предыдущие рассуждения являются зврнстичсскими. Сформулпровав точные условия на р(1) и с)(1), мы докажем, что приблпя ение Лапласа является асимптотическпм для данного интеграла при х — ~ ос.
Без потери общности можно предположить, что значоипе а конечно, а минимум функции р(1) достигается в точке 1 = а: в других случаях область интегрирования гзожно разбить на части точками минимума и максимума функции р(1) и, если зто необходимо, изменить знак 1. Предположим, что пределы и н Ь не зависят от х, значение а конечно, а Ь()а) — конечно или бесконечно. Функции р(1) и д(1) не зависят от х, причем р(1) дейсттггсльаз, а с)(1) — действительна плн коъсплекснозяачна. 1срозсе того: 1) р(1) )р(а) зри 1 ~ (а, Ь) и для каждого с ~ (а, Ь) точная нижняя грань разности р(1) — р(а) в (с, Ь) пололгительна '); 2) р'(1) и д(1) непрерывны в окрестности точки а, исключая, возможно, еазсу точку а; 3) при 1 — ~ а справа р(1) — р(а) Р(1 — а)", д(1) С)(1 — а)' ', и первое из этих соотношений допускает ди1рферези)ироваяие.
Здесь Р, р и Х вЂ” положительные постоянные (целгае или нет), а с,) чь 0 — действительная или колсплекспая постоянная; 4) интеграл 7(х):= ~ е "зс~~д(1)Ж а (7.04) абсолютно сходится во всей области интегрирования при всех достаточно больших х. Теорема 7.1 '), При ссрормулированных условиях 1 ) 1 — зт(а) 1 (х) — Г ) — ) —, (х — ~- оо). и )с Н ) (р )ь1~ (7.05) Переходим и доказательству.
7.3. Условия 2) и 3) показывают, что можно найти такое чксло й, достаточно близкое к а, что в интервале (а, й) функция р'(С) непрерывна и положительна, а у(1) — непрерывна. Поскольку р(1) возрастает в (а, й), мы можем взять ') Другими словамв, р(1) достигает мивимумз лишь в а.
з) Эрдейи (1962, $24). и = р(1) — р(а) в качестве новой переменной интегрирования в атом интервале. МЕТОД ЛАПЛАСА я и 109 Тогда и(') п 1(о) — непрерывные функции и вма) ~ — «рн) ( ) й ~ — вр ° ( ) (7. 06) где (7.07) х =- Р (й) — Р (а), / (77) = гР (И) — „ Очевидно, что значоппе х конечно и положительно, а функция 7(и) непрерывна при с ~ (О, х). Посколыу и Р(1 — а)Р прп 1-р.а, мы ггмеем')' 1 — а (и!Р) "" (и — э +О) гк следовательно, 0 дз~р7 У (о) - '" ' ., „ (и -э. + 0). (7.08) Пспользуя ото соотпошение, мы переписываем интеграл (7.06)' в виде где в ррыоо — 7 е,(и) —.— - ~ е "' о ' йо, ез(г) = ~с '" (7(и) — ) йш Х а 7гг' ' Первый член в правой части (7.00) вюгкпо вычислить с по вгощьго интеграла Эйлера; он сразу дает искомое прпблпгкепие (7.05).
Далее, пусть дано произвольное пологаптельное число е; сделаем х достаточно маленьким (выбирая Й достаточно близко к а), чтобы сравните '(7.08). Теперь, используя снова интеграл Эйлера, мы выводим норавепство (7.10) ') См. теорему 5.1 вз главы 1. ннтегРАлы В деяствительноп Овл >сти В-третьях, имеем (7.1 1) е, (х) = — Г ~ —, кх/> = О ( — > =хм ~р ~= (,./ при больших х, где Г(Х/», кх) — неполная гамма-функцпя; сравните (1.04).
Наконец, пусть Х вЂ” значенпо параметра х, пря котором интеграл 7(х) абсолютно сходится; положлм >> —.: ш1( р (1) — р (а)). (7.12) ром В силу условия 1) значение» полож>пелько. Полагая х Х„ имеем хр(1) — хр(а) = (х — Х) (р(1) — р(а))+Х(р(1) — р(а) ) ) =в (х — Х) >>+Хр(1) — Хр(а«1 и, следовательно, ! «мо> 1 — ~м» ° ° а>1 ~ — ы — х>чо-хом> Р— хм», ь й (7.1'«>' Доказательство теоремы 7.1 будет завершено, если мы сделаем х настолько большпм, что правые части вырал«еннй (7.11) к (713) станут меньше ех "'"; это всегда возможно, так кая м н» вЂ” положительны. 7.4.
В качестве примера рассмотрим иодифпцяроваяяу>о функцию Бесселя целого порядка 7 (х) = — ~ ехсо«>соя(п1)г/1> о сравните упр. 10.1 из главы 2. В обозначениях $7.2 р(1) = — сов 1, >7(1) =и 'соз (п1). Очевидно, что р(1) возрастает прп 0(1 . л и условкя 1) и 2) удовлетворены.
Условие 4) не используется. Ври 1-«-0 р(1) — — — 1+ — „, 1о+ 0(1'), >7(1) ==- л '+ 0(1е). Следовательно, р(а) = — 1, Р=1/2, 0=2, 1>=-.п ' и >.=1. Позтому теорема 7.1 дает 7„(х) (2ях)»ее" (х — ~ оо, и фиксировано) . Следующие члены етого прпблпжепяя прпведепы ниже в упр, 8.5 (при п = О) и в е 8.2 главы 7 (для произвольного и). МЕТОД ЛАПЛАСА 7.5. Более сложньш пример ') дается интегралом ~ ы — гг — г)гаг,у а Прежде всего отметим, что очевидный выбор р(1) = — 1 бесплоден, поскольку — 2 не имеет минимумов в области интегрирования.
Поэтому мы )гассмотрггм максимальное аначение (пик)' всего подьштегральяого выражения. Оно находится пз уравнения з — 1 — )и г+ — =-О. При болынпх х подходящий корень этого уравнения имеет вид е"' г=$. Для применимости изложенной выше теории необходимо, чтобы положоиие максимума функции, стоящей в показателе экспо ненты, не зависело от х. Поэтому мы возьмем т = Г/$ в качостве новой переменной шпогрнроваипн ($ = е" '), так что 1( ) ьва ~ — "гггг а (7.14) р'(т) = т()п т — 1), гг(т) = т. Единственный минимум функции р(т) находится в точка .г = 1. Разложение но степеням т — 1 имеет вид Р (т) = — 1 + †., (т — 1)2 — †, (т — 1)' + ..., д (т) =- 1 + (т — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
