1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 24
Текст из файла (страница 24)
13.2. Теорема 13.1. Предположим, в дополнение к условиям в 13.1, сто ) <р, первое ио соотношений (13,02) двалсдь> диффере>с(1ирреяо, а второе — дифференциррелсо '), Тогг7а с> >( 7(х) е'м"(з('> — 'Г( — ) — (х- оо). (13.04) (( >ь (р,)ыа г)тобы доказать эту формулу, возьмем новую переменную интегрирования о = р(С) — р(а), 13 силу условия 1) связь между С н и взаимно одиоаяачиа. Введем обозначонпя )>=Р((>) — Р(а) 7(о) =д(С))р'(С).
(13,03) Тогда 7(х) =е(во<о> ) е("'7(и)с)и. о Нак и в 4 7.3, пз условия 2) вытекает, что (>сыта> — ( 7(о) ',, (и-» -(- 0). Кроме того, в данном случае ото соотношение можно дифферен- цировать. Позтому где е,(х) = ~ е" о''и г(о, е,(х) =-- ) е ср(о)(со а о С>о(>ли» вЂ” гР ( ) = > (о) — Р> с>л с О, (13.07) в зависимости от того, лежит о внутри илп вне интервала (О, >)). Интеграл в правои части (13.06) можно вычислить с помощью леммы 12.1 и получить требуемое прибли>кение (13,04). Далее, лемма 12.2 показывает, что е>(х) = О (х ') '(х -+.
оо). ') Если р = 1, то оао лвторяроторуютгя яак р'(С) — ° Р я р" (с) о((с — а) '). Авологичзо, ф(с) = а((с — а) ') в случае Х = 1. ннтеггллы В дейстаптельноп онллстп сг,и. 3 Легко ЛРовеРптсь пспользУЯ сфоРмУлиРованные выше УсловиЯ, что функция ср(о), определенная формулами (13.07) и (13.05), удовлетворяет условиям леммы 12.3 при а = л/р. Поэтому Ез(Х) = О(Х ") (Х с- ОО).
1!оскольку Х/р(1, оценка 0(х ') для е!(х) может быть вклсо- чена в оценку о(х "'") для ез(х), и доказательство теоремы 13.1 завершено. 13.3. Т е о р е и а 13.2. Предположим, в дополссенив к условнлгс з 13.(, что Ъ)р и У'„,(с7(с))р'(!)) (оо, Тогда (С()'! "'СЮ .
(О(!5.пРСс>) ! Т()=-- — !! 1. — + ! ), с — + () (!308) с-,гч.о Р (!)) ы с г — е Р рд ! сх еде е(х) = о(х ') при х-~- оо, Существование обоик предезов в правой части (!3.08) ири г.= р вытекает из условий 2) и 4) 1 13.1. 1'авепстео (!3.03) дает следующий интеграл длн остаточного члена: "!'!"! Г е(х) =- — . ) есг'/' (о) с!и, сх о где р и !'(и) определены формулами (!3.03). Наложенные условии показывают, что интеграл сходится абсолютно и равномерно ио всей области интегрирования; поэтому из леммы Римана — '!ебега сразу следует псш1мый результат е(х) = х 'о(1), СлеДУет отметитсь что если ),)Р п Р(Ъ) = оо, то оба иРолела в (13.08) равны нул!о. В этом случае теорема дает лишь порядок величины 1(х), ио не аспмитотичесьую оценку (ср.
$ 6.3). 13.4. В качестве иллюстративного примера мы рассмотрим интеграл Эйри с отрицательным аргументом: А! ( — х) =-. — ) Соз ~ —, и:" — хс и )да! (х ) 0) . о Стационарные точки подыитегрального выражения удовлетвс!ря1от уравнению иге — х = О, откуда ю=х"' илп — х"'; первый корень лежит в области интегрирования. Подстановка и =хгз(1+!) дает Л!( — х) —.. — ) Сов(х Сз~ — —. + !'+ —, С )).' (13.09) — 1 Заменим в обозначениях з 13.1 х на хзсз и положим а=О, Ъ = оо, р(!) =- — —, + !з+ — !з, с)(!) =-: 1. З з ! з лсиьштотичвскля приводи мптодл 133 Тогда р(а) = — 213, Р = 1, р = 2 и (',) = )ь = 1.
Очевидно, что при 1-и оо отношение д(!)/р'(1) стремится к нулю и его вариация сладится. "!'аким образом, условия 1) и 4) 2 !3.1 выполнены. !)спользуя теорему !3.1, мы получаем Етр (бтзтср (()) 1)! — „, Л112ЕО01Х2!1 Едр( — =. (Х212). 1 с Меняя знак перед ! и снова используя теорему 13.1, мшкпо убедиться, что то же самое приближение справедливо для шпеграла в иределаи от — 1 до О. Отделяя действительиыо части и подставляя в (!3.09), мы ирииодим к искомому результату: ! 2 А1( — х) = лпсх — и" соз(=, хна — — 'л 1)+ о(х — "') (х — ъ оо).
Более сложяые задачи могут потребовать предварительных преобразований типа тет, которые были указаны для нето;!а Лапласа в конце 2 7.5. УПРЛ)к!(ЕНИЯ 133. 1!оказать, что и '2 / гв(и (хсов() и! = х ~ — — сов х -,'— О (х ) (х-э '- со). 132. Ортииаии Лигсрв и 11сбера ги1редсл1иотси соответствеиио форчтлаии 4 (х) — ) сов(тΠ— хе1ОО) ЫО, Е (х] = — ) Ыи(чв —.ге(ОО)40. 1 ' „1 Г „х О О Довесить, что если чиачсиис ч действительно и фиисироввио, в х вслино и нОтОжи1слънО, то 4.(с) -';1Е (х) 2 -(лх) 2еър)111 — тл+ и — хф .112 — 1т ('/ 1 т ' т (ч — 1)лх (с+1)лх ( х 1 2 х(х) + гЕ „(х) 2 ' (лхгбиа) ехр)( ~ха сова — хе(и и-, '— ~ 122 .
— 1!2 л1 ((т ! < 1, и =.- агс сов т), ах(х) -2 - 23 '"л 1Г( 1 ) — 1'2, Е (.) Π— МЗ„- 1р( 1 ~ (ьз ннтвгрллы в дзнствнтвльноп овллстк шл. 3 !33 (хб-)-!Е ( ) 23/зб з/зл з1'( ! ) х !'зехр ~)л ~ ! — Я. !3.3. Псиользуя рааепстао (Зг!3) из главы 2, доказать, что в обозначеппях уир. 7.2 н 13.2 Х,(х) = У,(х) + и-' зпт(тл)Л,.(х). !3.4. Попазаттч что прп болыпих позолоттельных х (! — а! ) е х ~! Я Ъ вЂ” (Пх) е!т.
т !3.3. Показать, что прп больших пололсительных х т ехр (на 0п ! — х),' ж (л с) - ехр х — !е + л!). , !)з 4 14*. Аснмптотпческне раздол!ения на основе метода стационарной фазы 14.1. ))редполож!гы, что р(!) возрастает в интервале (а, Ь), а в окрестности точки ! = а функции р(!) н д(!) можно разложить в ряды по возрастающим степеням разностн ! — а. В $4 7 и 8 мы виделн, что асимптотическое разложенио интеграла е хян)р (!) г)! а (14.01) разложения функцзш )(и) по возраста!ощип степеням и п формального почлепного интогрпроватшв в интервале (О, оо). Аналогнчная процедура имеот место н дтя осцилляторного пнтеграла е!хгя')о (Е) г)!.
Однако здесь возникают, по сравнению с (14.01), два главных ') Заменой переменных р(с) — р(а) = е.— Прах. ред. прп больших значениях х может быть построено с помощью преобразования ') к виду мю — дяч! е — хлы) ~ е хт) (о) гЬ, о 137 истощгчвскпк свндкиия усложнения. Бо-перва!к, пряыоо интегрирование членов разложения функции 7(и) в интервале (О, оо) допустимо только длн нескольких ш рвыл членов. ()то связано с тем, что интеграл Е" с!7 '!СИ раедидптея Ирп С ) !.) 11О-ВТОРЫХ, ВЕРХппй Ирс- .~ ь™' )п.л 0 дает вклад в окоичатгльпоо асимптотическое разложение, !согда р(0) конечно, пгзависпмо от того, является С = 5 стационарной точкой или нет.
Исследование этих вопросов мо~кнг1 найти в работах 5)рдейг! "((()62, 9 о.()),:(айписса (!97!) и Олвера (О74); две последние содержат методы оценки остаточных *иенон. Существуют и другие методы, например, те, которые бу,!ут изложены в главах 4 п 7; с пх ком!яцын вычисление высших членов и оценки остатков могут оказаться более иростьпш.
Исторические сведения и дополнительные ссылки ! 3. Уаймсн и Уонг (!969) отмепши, что результат Ватсона мо;кпо рассматривать как частный случай теоремы Париса (!906). В настоящем видо ои сформулирован Дбчем (!955, стр. 45). ! 4. 1) Неправильное представление,— возможно, происходящее от того значения, которое придается в настоящее время лебсгозской теории интегрированияя,— заключается в том, что лемма Римана — 7!еоега применима литиь к абсолютно слоССящимся интегралам.
Однако рааномсрноя сходимости вполпс достаточно. 2) ОбобиСение леммы 1гвмана — Лсбога бгало дано Блайстсйпом, Ха1гдслсманом и 5(ыо (!072). ! 6. 1!нтсресно отметить, что в приложении и работе, опубликованной за много лет ло оиределснвя Пуаги;аре аспьигготичсского разложения, Стоке (!857) указал, что числснпыо результатьк иолу и нные из асимптотпчеш ого ра;щошения интеграла Эйри, значительно улу ипа1отся, если учитывать эксионеииально малые члены. 11 7 — 9. Вслед за Лапласом результаты в теории приблшкенпя Лапласа были получены Буркларлтом (!9!4], Полна и Сеге ((956), Уиддером (1941, глава 7) и Эрдейи (!902, ! 2.1).
В лзнной книге Я 7 — 9 основаны на последней указанном работе и стазко Ол к ра (!968], Обоощсния метода .1зиласа рассмотрены в глазе 4. 9.'2-. 93. 7рстпй иуть ирсололсния тру!Ности — использование мзжорапзы вида ) ва (!) ! () аз ) гщ' ' вми елп (Р„г' "). Этот вопрос обсуждался Олвером (1068) в случае р = 2 и Д. С. Д'коунсом (1972) для р ) 2.
! 11 — 14. Метод стапионарной фазы берет свое начало в принципе интерференции волн. Он был использован Стоксом (1850) при исследовании интеграла Эйри (1 134) п сформулирован в более общем виде Кальвином (!887). Дальнейшие результаты в этой теории ирвнадле;кат Пуанкаре (1904), Ватсону (1918в), ваи дер Корпуту (1934, 1936), ')рдейи (1955), Д. С. Джоунсу (1966) н Цирулису (Н)69). Дьедонве (1968, стр. 135] доказал теорему 13.! в случае р(Ь) ( со, но приведенная в ! !3.2 формулировва является не- пнтктрллы В дкйстнптглыгон Онтдстп !Рп, з сколько более общей.
чем иредыду!цио резулшаты, насаюшиесн первого приближения. В последнее время раооты ио дифракции и другие задачи потребовали обобщеяия метода нз кратные интегралы. Этя вопросы выходят за рамки настоящей книп!; обзоры и сс!алки мо!кио яайти у Война (1965), '1ако (1965), средор!ока (В)05), де Кока (!971), Влайстейна и Ханделсмана (1915).
С момента своего рож!!ения метод стационарной фазы, большо чем л!обой другой результат в !сории агимптотичегких разложений. был окутая некоторой таинственностью. Ло некоторой степени зто отношение иродолвлет оставаться. Метод часто рассматривается как слабый, подходящий лишь для вычислении первого члена асимптотического разложения; его тибо азбегюот. либо рассматрива!от как частный случай мотод». основанного на теории дли комплексией переменной (и иоетоиу тробуют, лобы функции р(!) и д(г) были аналитическими). Эта точна зрении иеооосиоааина В основиьп чертах истод стационарной фазы сходен с методом 9!аилаоа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
