1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 28
Текст из файла (страница 28)
5.3. Следуя Трикоми и Эрдейп (195>1), мы можем обоб>цито предь>дущис рассуждения и получить полезный результат, известныи под названием леммы Ватсона для интегралов по пе>ле. Рассмотрим интеграл >оз-> 1(г) =--,—, ~ е">) (О 1П, (5.07) где путь интегрирования проходит по нижнему и верхнему берегам действительной оси слова от точки — гг и по окружности (8(= д. Предположим, что >7(1) — голоморфная функция, не обя-ательно однозначная, в ооласти 0:)~) ( >(', где д') >1, и что она непрерывна на пути интегрирования. Тогда рассуждениями, аналогичными проведенным в хх 3.1-и 3.2, мы можем доказать, что у интеграла (5.07) существует абсцисса сходимости.
Справсдлила следующая теорема. Т е о р е и а 5 1. Примем условия, сЯорл>улировонпые вылив в этом пункте и предположил>, кроме того, что )~ Л~-Ь~ — в>>з (5. 08) =:о при Ю -+. 0 в секторе ( агд Х( ~ и, где р — положительная постоянная, а "т. — произвольная действительная или комплекс>и>а 157 отногпвнпв двъх глыыл-ьтнкппп постоянная. Тогда (5.09) при з — ~- со в сегпоре /а|да/ "= (л/2) — 6((л/2).
В этой формулировке все;Огобные степени ирплнмагот главные значения. 1(ак и в лемме Ватсона, предполагается, что абсцисса сходимостп вгпеграла (5.07) конечна плп равна — со„ в противном случае формула (5.09) тернет смысл. Чтобы доказать теорему, положим Подставляя сумму в (5.07), интегрируя почлснно н пспользуя интеграл Гапкеля по незло для гамма-функции (глава 2, (1.12) ), мы получаем первые и членов в формуле (5.09). Далее.
из разлогкения (5.08) вытекает, что ср„(1) имеет порядок 0(Р" ' """) ири 1 — +-О. Если п таково, что и+Ве).— положительное число, то можно преобразовать интеграл по петле для во~у„(г) в китс- грал по двум берегам отрпцательпоп действительной полуоси и получить — ( оп<а„(г) г/1 =. ~ е "(/„(т) г/т, где ф, (т) =. (<р„(тв ' ) — ~р„(те"')) —,, Доказательство заворшается применением теоремы 3.2 к (5.10) и использованном формулы отражения дгиг гамма-функцип. Читатель, вероятно, ооратил внимание на существенное отличие теоремы 5.1 от теоремы 3.2, которое зак:почается в том, что параметр Х более не обязан принадлежать правой полуплоскости. Следует, кроме того, отметить, что если область, в которой функция а(1) голоморфна и имеет разложение (5.08), содернсит сектор а~<агд( — 1) пк где а~(0 и аг)0, п если д(1) ость 0(в"и) при 1-+-оо в этом секторе, то с помощью теоремы 3.3 разложение (5.09) для /(з) (или для его аналитического продоллсения) распространяется на сектор — ггз — (л/2) + 6 - ага з ~ — а1+ +(л/2) — 6, где 6 ) О.
контугнык пптсггллы 1б>3 >гл 5 6. Метод Лапласа дли контурных интегралов 6.1. Рассмотрим интеграл ч ! (з) == ( е 'ли>д (1) д1, ч (РвО!) Предположения; (1) Функции р(1) и д(1) пе зависят от з, однозначнь> и голозиорфны в ооласти Т. (Р() Контур йч не зависит от з, а приннлшет конечное значение, Ь вЂ” конечное или бесконечное значение, и (а, Ь),„е=Т '). (111) Ь' окреегности точки.
а функции р(1) и д(1) л>агут Г>ьпь разложены в сходящиеся ряды вида р(1) = р(а) -'; ~ р,(1 — а) !", у(1) =.— х~з дч(1 — а)'+>' =о >=-О где рс~ 0, р — действительное положительное число, Кс),) 0 Если р или Х вЂ” не целые числа,— зто мозкет быть ли>иь в случае, когда а — граничная точна Т вЂ” ветви функций (! — а)" и (1 — а)' определяются соотношениями (1 — а) л (1 — а ~ 'е'"", (1 — а) ' (1 — а ! "еоч при 1-+.а вдоль й., и по непрерывности всюду на л.. ') Таким образом, ляГ>о точка в, либо Ь, либо обе эти точки могут быть концамн Т. в котором иу>п интегрировании й> является контуром в комплоксной плоскости, р(1) и д(1) — аналитические функции 1, а з— действительный илн комплексный параметр.
По аналогнп с теорией, развитой для интегралов с действительными переменными в главе 3, $7, мы можем ожидать, что ири большом )з) основной вклад в !'(з) определяется окрестностью точки 1= 1ч, в которой величина Кс(зр(1)) достигает минимума. Мы увидим, что предположенио спРанедлнво, когда 1з совпадает с концом дч, но вообще говоря, неверно, если 1ч лежит внутри й>. В последнем случае необходимо деформировать путь интегрирования, прежде чем вычислять асимптотическое разложение. И атом параграфе мы рассмотрим первьш случай.
Удобно ввести следующие обозначения. 11усть 1! н 1з — две любые точки контура д>. '1асть >т, лежащу>о между 1! и 1м Г>ул! и обозначать чсрез (1„1,) ., если концы исключаются, н через (1„, 1,),„если онн включаются. Аналогично оирсдсля>отся симво.чы (1>, 1г) и (1>, 1з). Мы будем также использовать обозначенво >о = угол наклона,У в точке а =!ии(атй(! — а)) (1 — >-а вдоз>ь й>). (0.02) во~ ггетод лапласа для ггдггтуРных пнтеГРллов убу (1гг) Паралгетр х изменяется вдоль луча или в секторе, заданном неравенстеачи Ог ( О ( Ог и (з! > Я, где 0 = — агу з, Ог — Ог ( н и Я > О. Интеграл 1(г) сходится абсолютно и равномерно гго з е точке Ь.
(Ч) Величина ((е (е'"р(г) — е'"р(а)) гголожггте льна при г~(а, Ь),„и гнгрпничена от нуля раенолгерно по 0 при 1-г. Ь вдоль У'. Замечание. Пи ы, нн 0 нс обязаны принадлежать главной области ( — н, я), однако когда выбор области сделан, нужно сто придерживаться во всех выкладках.
6.2. В рассун деппях следует быть очщп осторонгньнг прн выборе вотвсй встречающихся многозна пгых фуггкцигг. Имея это в виду, мы условимся о следующем: значеггие ого — = ага ро не является обязательно главным, но удовлетворяет условию )ого+О+1гго(~ 12; (6.03) зто значение будет июгользоеаться для определегшя всех дробных степеней ро. Например, символ р о обозначает ныражение схргг(1п~ ро!+ ггоо) /1г). Тай как егор(г) — е'"р(а) — е"ро(г — а)' при г- а вдоль Ьо (услонис . (1!1)) и разность е'р(т) — ег"р(а) имеет неогрпцательнуго действительную часть (условие (Ъ)), то всегда можно однозначно выбрать юо указаиньгм образом. Кроме того, поскольку О загс:почепа а интервале длины меньшей, чем н, значение гоо, удовлетворяющее (6.03), нс зависит от О. Бнеггелг поные переменные, Р п т, равенствами = р(г) — р( ) (6.04) Значения агу Р и агу гг определяются условиями ага о, 1гагяиг — г-ггго+ (мо (г-г-а вдоль бв) (6.05) и по непрерывности всгоду.
Здесь снова имеется в виду, что эти значении агя и и агу ю используготся для определения всех дробных степеней Р и иь Поскольку и и иг не могут обращатьсн в нуль на(а, Ь) „ (условне ( г')), то ветви задаготся на .У однозначно; кроме того, агя Р =. гггггя и в лгооой точке й. Из (6.03), (6.05) и условия (Ъ') следует, что !О+ агни((н~2 (1~(а, Ь), ). (6.06) В соответстнии с этим Р меняется на простом рпманоном листе, когда г изменяется па У. Для малых значений )г — а'( условие (И1) н формула бинома дают го =- ро "(г — а) ((1 Ь вЂ” ' (г — а) + ...
~. Рро контугпын пнтеггллы т((0 (гл. 4 | — а =- ь с,и" == и~и с,и'и, * я=.. | коэффициенты с. ко|'орого вырви|а|отея через р,; сравните с формулой (8,05) главы 3. Пусть л — конечная точка, отличная от а и принадлежащая замыкани|о (а, Ь)у', выберем се тая, чтобы она не зависела от г и чтобы круг (и|! = (р(й) — р(а) (пи содержался в %. Тогда интервал (а, А) можно деформировать таким образом, что его и-образ станет прямолинейным отрезком.
Переход к переменной и дает (() о(( — е и~ ~ е Г'(и) й (6.07) гдо л| о О) х =- р (й) — р (а), ) (и) =- д (() †„, = |, (,), (6 08) а путь интегрирования в правой части (6.07) является прямолинейным отрезком. При малых (п~ функция Дп) разлагается в сходящпйси ряд вида и( ) ~~ оч-х — ипи о.—.= о в котором коэффициенты а, связаны с р, н д. точно так же, как в главе 3, 3 8.1; например ао = Чо~(880 ийт 6.3. Как и в случае действительной переменной, мы определим функции 1„(и), и = О, 1, 2, ..., соотношениями 1 (0) = а„и у(п) = Х а. и+' или+и'"+' ини)'„(и) (и~=О).
(6.10) =-о Тогда 7„(и) имеет порядок 0(1) при и — и-О. Интеграл в правой ') См., иапрвиер, Левинсон и Редхеффор ((970, стр. 30|) илв Копсов ((935, 1 6.22). Таким образом, ю — однозначная голоморфная фу.нкция 2 в окрестности точка а, и производная Ню/и( не равна нулю в а. Применение теоремы об обратной функции') показывает, что для всех достаточно малых значений положительного числа р круг ) | — а) ( р конформно отображается на область %, содержащую точку ю = О.
Ероме того, если ю ~%, то функцию | — а можно разложвть в сходящийся ряд тм МЕТОД ЛАПЛАСА ДЛЯ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1Е1 части (6.07) можно переписать в виде и и — 1 ) е '7(о)!1Р = ~' Г( — ), '„— е„,(з)+з„,з(з), 3 и=-О (6 11) гдо п — ! .,==Х (='я),.:;у., ,—.з (6.12) — Ф-! !Р а)IЯ( ( ) ! о Поскольку(О+агбар(~ —, (ср. (6.06)), ветвь то+"" в (6.11) и (6.12) имеет впд схр((а+ 1) (1о)а( -~ !О)/1!), а каждая неполная гамма-функция в (6.12) принимает главное значение. Применение формулы (2.02) показывает, что е„1(г) = О(е "/г) ()з)-и со), (6.14) равномерно относительно О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
