1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Следовательно, по = ( —,с(Ьа) с, ав ==-( —,, — —,с!два)~ —,с1Ьа) с' и ./т (т весЬ а) „,— ~!~ — с!~ ~) / / „(! + ( — г!Ь а — —, с1Ьва) — + ...~. (9.11) 12лт 1Иа!"'-' ' 8 24 ' ' т Вто разложение получено Дебасм (1909). Члены более высокого порядка даны, например, в Б. А. (1952); нх легче получить из теории дифференциальных уравнений, чем предыдущим методом. 9.5.
В рассуждениях у 9.4 можно было избежать рассмотрения конформного отображения, поскольку легко было догадаться, какой путь гюдходит. Однако, когда т или а комплексны, избежать конформного отображения невозможно; сравните следующее упражнение. УПРЛ7ННННИЯ 9.1. Построить отображение нолуполосы О ( 1шс с' 2л, Но с > О в пласт;ость переяеввой С вЂ” весЬ сс вЬ С вЂ” а+ 1Ь а, где и — фявсярованвое положвтельное число.'Показать, что разложение (911) справедливо прп )все с ( в л — б( ( л).
9.2. Псяользуя теореву бя, доказать, что /„(т) 2 с/!З /.Р(с/в)та) пря болыпях )т( в секторе (асят) ( л — б(( л). 99. Показать, что если и — фиксированное число из интервала (О, л/2) ° о т — большое полоясвсельвоо число, то схр ( — т все а сЬ с) сов алас = о 11, а ) ехр ~т(а — 1Ь а — 2 )) (1+ 0 ~ т )~. $ )з) Опенки ОстаточнОго членА 175 дается выраягением (а 0)гр' 0П вЂ” ~ ", (р ()) — р (аП О+А )=.р ~р(г) — р(а) / ~ а (р60 — р(а))) Ьх а Х в Н (10.06) где суммирование производится от з = 0 до г = и — 1.
В более общем случае мы предположим, что (з — произвольное действительное число, и-образ пути Р~ идет по лучу аги о = †() н ) аги (зе о) ! ч. я/2. Тогда снова можно использовать (10.03), где берется главное значение для каждой неполной гамма-фуикции.
Однако вместо (!0.05) мы имеем а) (Π— ~(~ —, (з(соз(0 — Р)- п,~. (1007) Здесь величина О определяется формулой (10.06) п в данном случае зависит от 6. Случаи, когда а. обращается в нуль или п.бесконечна, ыож)то рассмотрстгч видоизмеияя рассуждеппя, прпводениые в 2 9.1 — 9.3 главы 3 (см, также Д. С. Джоунс (1972)). 10.2. Предположим теперь, что точки а и () нельзя соединить коптурои, уразнегше которого имеет впд ага (р()) — р (а) ) = — 6. В этом случае мы будем двигаться от а вдоль пути типа (10.08), иова пе достигнем выбранной подходящим образом точки й '). От Й до точи~ () мы )тойдем з)юогам подходягцпм путем, лгн)тащим в Т и вдоль которого велпчияа 11е (е"р()) — е'р(а)) пололгительна.
Интеграл по (а, й) а их)ест то же самое асимптотическое разложение, что и интеграл по (а, Ъ) ч, а его остаток можно оценить использованным вьппе методом, Вклад от интеграла по ()г, ()) зв оценивается неравенством вида (6.18), где в качестве )) можио взять напболыиее число, для которого справедливо условие (6.17). Поскольку выражение (6.18) экспоненциально малб по сравнению с оценкой для '(е-*"'е„з(з) ), то выбор )с и пути от 7г до Ь не является существенным, Пример, иллюстрирующий изложенные методы длн получетгггя оценок остаточных членов, был дан Олвером (1970, 2 7).
10.3. Кривые, определяемые уравнен)чем (10.01) )тли, в более общем случае, уравнением (10.08), имеют интересную геометри- ') В 1 6.2 показано, что зто всегда возможно. Одвзко в данном контекста точка )г ие обязана удовлетворять условиям этого пункта. КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 176 ческую интерпретацию. Если точна а не является точкой перевала, то пз теории конформного отоораженпя следует, что в окрестности а уравнение (10.01) определяет регулярнуго дугу, проходящую чероз а (рпс. !0.1 (!)).
Если же а — точка перевала и р — 1 — ее порядок (з 7.2), то через а проходят )г регулярных дуг, на которых выполнено условие (10.01), и смежные дупг порссекаются под углом я)1ь. !'псупкп 10.! (2) гг '!0.1 (3) гглгггострггруют случаи )г = 2 и )ъ = 3 соответственно. Рассмотрим поверхность )е"г'г) над плоскостью, в которой по осям откладываготся действительная и мнимая части й В сп.гу Рпе.
103, г-пзаскостгс кривые ураевн зла )пг(р,(г';). Сгре.п апп указапы направления, в кагерих Ке(р(г)) воараегает. 1) р'(а) Ф гг; З) Иросгап в)зь р(г) в точке аг 3) Двойной нуль р(г) в тачке а. теоремы о маг:опиуме модуля на этой поверхности не может быть пиков илп ям. Если р'(а) =О, то касательная плоскость в точке а горизонталыга.
Если, кроъге того, р" (а) Ф О, то поворхность в окрестноспг а пъгеет впд седла. Поэтому такие точки п названы сеьи ловыли топками илп точвалги перевала. Деформация пути таг;пм образом, чтобы он проходил через точку порезала, эквпвалептиа пересечепщо горной цепи через перевал. Поверхпостьь на которой функция 1пг (р(ь) ) постоянна, состоит из путей иаибыстрейшего сггуска. В этом можно убелиться следующим образом. Обозначим дсйствптсльпуго и мгшмую части функция р(1) и через рк (т) п рг(г): р(г) = рк (т)+грг(г), (10.09) и пусть г = г(т) — уравнение произвольного пути в г-плоскостгг, проходящего через а; т — дуговой параметр. Если рк(т) === = — р а(М (т) ) и р г(т) = =рг(т(т) ), то При заданном ! максимум или минимум этого вырагненпя определяется максимумом или минимумом функции рк(т).
Диффе- ренцирование равенства (10,09) дает р'(С) Е(т) = ри(т) + !рт(т). ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 177 Поскольку (1'(г) ( = 1, отсюда следует, что (р (т))з ( рг (1) )з (р (т))з Следовательно, ~ре(т)~ дастпгает макспмума, когда р,(т) = О. Если последнее равенство выполняется всюду на путп, то функция рг(1) постоянна. Другими словамп, справедливо равенство (10.01) . Следует еще раз подчеркнуть, что деформацпя первоначального пути до совпадения с путяаш, на которых функция 1ш (р(1)) постоянна, не является существенным шагом прн псследованпн аспмптотпкп пнтегралов вада (6.01). Как мы впделн, достаточно, чтобы мпнпмальпое аначенпе Ве (е'"р(1) ) достигалось илп на концевой точке путы, плп в точке перевала.
Пути наибыстрейшего спуска имеют важное значение потому, что онп помогают найти максимальные области справедливостп разложений в комплексной плоскости (ср. 3 0.3) н построить явное выражение для оценок остаточных членов ($5 10.1 и 10.2). Исторические сведения н дополнительные ссылки 1 2. Оценку остаточного члена для асямптотичесього разложения непаляой гамма-функцпп можно также вьзвестп в качестве частного случая яз реву:и татов, полученных Олвером (1965Ь) для функций Удттекера (ср. главу 7, упр.
10.2 н равенство (11.03)). 1 81. В взлагкеннп этого пункта мы следуем Беге (1962, 1 8.71) я Копсояу (1966, 1 37). 1 10.3 Одним пз основанпй для пспользаваппя путей напбыстрейшего спуска является вазможность облегчать прпмсненпе леммы Ватсона; см,, например, обсужденпе этого вопроса у Урселла (1970). Зтот подход был намечен в работе Рпмана (1863), опублпковзннои после его смертп, п получпл дальнейшее развятпе в псследоваппях Дебая по теорпп бесселевых функций ьольпюго порядка (1 9.4).
В связи с трудностыа точного построения путем наибыстрейшего спуска многне авторы часто в прпложениях рассматрпва.ш несколько иные пути. Зтн впдоязменения иногда называются методам пере- нала нлн седловай тачкп (че Брейн, 1961; Капсан, 1966). Теорема 6,1, которая взята пз работ Уаймена (1964) и Олвера (1970), ооъединяет и абоащает разлпчные подходы. Важно отметить, что вообще не обязательно использовать спусвагощпеся путя. Метод стацконарной фазы (глава 3) фактически нспользует пути, вдоль которых постоянна функцпя ) еж о (.
ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ; ГИПГьРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ФУНКЦИИ ЛГРКАНДРА з 1. Теоремы существования для линейных дифференциальных уравнений: действительные переменные 1Л. В главе 2 быто показано, что некоторые пз введенных там спсппальных функций удовлетворяют дпффереяцпальному уравнению вида сРи Лы — + ~ (х) — + д (х) и = О.
вх. г ах (1.01) Другие важные специальные функции будут определены поздиео как рспгения уравнений того же типа. На данном этапе мы изучим вопросы существования и свойства решений уравнения (1.01) в общем случае. 'чотя многие пз последующих рассуждений непосредственно переносятся па оощпе одпоро;пи |е дифференциальные уравнения произвольного порядка >г вида Л"ы а ь — ь+(ь ~(к), —,'- ... +1,(.)и =-О, лх а,г" ради простоты п имея в виду специальные фущ:цип, мы ограни- чимся болыпей частью случаем и = 2.
Легко прозерптгь что в случае и = 1 общее решепце дае~ся формулой ш = ехр ( — 1 (р(а) дх). (1.02) 1.2. Теорема 1.1, Пусть 4рнкйии /(х) и д(х) непрерывны в конечном или бесконе гном интервале (а, Ь). Тогда дифференциальное уравнение (1.01) имеет бесконечное число решений, дважды диффервнцирувмых в (а, Ь). Если значения ш и ~'" заданы в некоторой точке, то решение единственно. Эта теорема — хорошо известный результат теории дифференциальных уравнений. Однако мы приведем полное доказательство, поскольку аналогичные рассуждения будут использоваться в более сложных задачах.
теОРемы существОВАния $0 Пусть ло и а1 — произвольно заданные в точке х = хэ значе- йш ния щ и — соответственно. Построим последовательность функ- ах ций Ь,(х), з=0, 1, 2,..., определенные соотношениями Ьс(х) =0 и Ь„(х) = — ~(х)Ь,,(х) — д(х)Ь,,(х), Ь,(х )=-а, Ь,(х,) = и1 (1.03) при а~~1. Такнм образом, например, (1.04) Ь1 (х) =- аы Ьд(х) =- а1(х — хх) + оэ. Доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что прн з — 1- оо предел последовательности существует, дважды дифференцируем н удовлетворяет уравнени1о (1.01). Интегрирование уравнений (1.03) по х дает х Ь,(х) = — У (У(г) Ь,, (,) + д(Е) Ь,,(1)) 10+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
