1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В оби/ем сл!ссае легче подставить (5.03) и (5.04) прялсо в первоначальное дифференсрссальное уравнение и приравнять ноас/!фас/иенты, Поскольку второе решение определено с точностью до произвольного постоянного множителя, в случае сс)0 значение сэ может быть выбрано произвольно. В этолс случае ср„ определяется автоматически. 5.3. Если коэффициенты в дифференциальном уравнении являются функцссяь/и параметра и, а разность показателей особой точки равна целому числу или ссушо для критического значения ив параметра и, то другой способ построения ряда для второго решения при и = из состоит в определении предельного значения отношения (сог(и, з) — сос(и, 5))/(и — ив) ° (5.05) Здесь исс(и, з) и исг(и, г) — решения, полученные методом 9 4, которые пикейно неаависпмы при и Ф из и совпадают при и = = ив.
Для действительных переменных переход к пределу мояшо обосновать следуюгциъс образом, Положим ср(и, х) = сог(и, х) — сос(и, х). При условиях теоремы 2.1 величина рдср(и, х)/ди) „., существует и равна предельному значению выражения (5.05) при и = им Диффересщирование первоначального дифференциального уравнения (2.01) по и дает двф д/ дф дсф дд дф — + — —, + / —, + — ср + д — = О. (5.06) дидхл ди дх дидх ди ди Если выполнены условия теоремы 2.1, то все частные производные, имеющиеся в атом уравнении,— непрерывные функции обеих переменных.
1!оскольку это верно и для дги/дхз, то диср длф д"ф д'ср дид х дхди ' дидхл дхиди ' Пусть и-иив. По предположению, функции ср(и, х) и дср(и,х)/дх ') Это имеет место в ситуации, упомянутой в заклсочвтельеом предложении 1 4.2. 9 61 БОЛЬШИВ ЗНАЧЕНПЯ НЕЗЛВИСНМО1Л ПЕРЕМЕННОЯ 193 обращаютоя в нуль. Поэтому (5.06) превращается в (2.01), где из = [дфзди)„.— . Этим наше утверждение доказано. На комплексные значения з решения в виде рядов, полученные для действительной переменной, обобщаются с помощью аналитического продолжения. Этот метод лрпнадлежит ЛРробеннусу (1873). В случае примопимости он дает самый простой способ вычисления ряда для второго решения. Примеры будут приведены позднее в этой главе и в главе 7.
УПРАЖПКППГ 51. Показать, по внутри еяпппчпого круга ураввевпе г( — 1)й+ 6- (24 — 1) й+ и = 0 имеет везавпспмые решеяпя 4 ~~ ег„-', (~Чз а,в' ~ 1пз — ', 4 Ъ, (зу(24+ 1) — ф(г+ 1)) а,з', 4=.1 где ф — вогарпфмпческая производная гамма-функцзк к а, = 1'3' ... (24 — 1)41'(2'44 ... (24)4) [Упттекер п Ватсов, 1963). $ 6. Большие значения независимой переменной 6.1. Чтобы рассгютреть решения в окрестности бесконечно удаленной точки, мы сделаем преобразование з = 11'1. Уравнение (4.01) примет впд Л вез й'ге . +р(1) у(1)и О, (6.01) р(1) 1 14 1 )1)' ~() ~ (1)' Особая точна уравнения (4.01) при з = со классифицируется согласно виду особой точки уравнения (6.01) при 1 = О.
Таким образом, бесконечно удаленная точка является обыкновенной для (4.01), если р(1) и д(1) аналитичньг при 1 = О, т, е. если 2з — зз)(з) и згд(з) аполитичны в бесконечно удаленпой точке. В этом случае все аналитические решения могут бытьразложены в ряды вида '~З вЂ” 4 агз которые сходятся при достаточно больших л. Далее, бесконечно удаленная точка является резулярной особой точкой для (4.01), сс.ги 1 17(1 ') и 1 зу(1 ') аналитичны при 13* 196 уРАВнения с Регулярными Осонымгт точкАми (гл. г 1 = О, т.
е. если 1(г) и д(г) разлагаьзтся в ряды вида 1 " )„ 1 " г, 1(г) = - ,~ †"., у (г) =- — . г=о ' а=а когда значение ! г( велико. В атом случае существует по крайней мере одно решение вида 1 У а, () =- —, 2 з --о Число а здесь также называется показателем решения или особой точки. Оно удовлетворяет уравненшо сс(а+1) — Да+до = 0 (ср. (4.03) и (4.04)). Наконец, если хотя бьг одна из функиий г)'(г) и г'у(г) сингулярна в бесконечно удаленной то иге, то г = оо является иррегулярной особой точкой дифференциального уравнв>шя, Ранг равен т+1, где т — такое наименьшее неотрицательное целое число, что функции г "'1(г) и г ~"я(г) аналитичны па бесконечности.
УПРА)КПВВИП 6.1. Каков вид особенности в бесвоиечно удаленной точке дла уравнения (з'+ 1]вы" = и'+ ы, и" +(гйп з) ы'+ (сов з) и = О, и Г вы ) — ~(гч+ 2г') — + (за+ 1) и = О? Вычислить иоиазате:ш изи ранг. 6.2. Построить независиыые решении в виде радов дли уравнении (1 — г') ы" — 2зы'+ 12ы = О, справедливые вне едвничного круга. 5 7. Численно удовлетворительные решения 7.1.
В 2 1А мы видели, что вс дван ды непрерывно дифферен- цируемые решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка можно записать в виде линейной ком- бинации фундаментальной пары решений. Однако в приложенняг фундаментальная пара решений может не определять все другие решения адекватным образом. Рассмотрим, например, уравненно ~гй( гг „, Оно имеет общее решение нт = Ае*+Ве *, (7.01) где А и  — произвольные ттостоянные.
Другое представление численно удовлетВОР((тельные Ре!Пения (97 $71 дается формулой (7.02) и = А сй г+ Вз(г г. Еслп у пас имеются таблицы функций е* и е * с некоторым чкслом значащих цифр, то мы мон(ем вычпслвть выражение (7.01) почтя с одинаковой точностью для всех значений А и В. Такая точность, однако, мо:кот не напучиться, если вместо указанных таблиц мы используем аналогичные таблпцы для с17 г я ей г.
Если числа А п — В равны иля очень близки друг к другу, то имеет место сильное взаимное сокрагценне между членамп правой части (7.02) при больппгх поло'шпельных значениях Кег. Аналогичное явление происходят н в случае, когда А и В равны, а значення Ке г прпппмоют больпгпе по модулю отрпцательные значения.
По эгон причппе функции е' и е * пазываготся численно удовлетворительной') парой регпеяий в окрестности бесконечно удаленной точки. Пара ой г и з!ге не является численно удовлетворительной в этой области, несмотря на то, что эти функции линейно незавпснмы. 7.2. В предыдугдем примере бесконечно удалоннзя точка была иррегулярной особой точкой днффереппнального уравнения. Аналогичные рассуждения применимы и к регулярным особым точкам. Действительно, легко и(деть, что в окрестности регулярной особой точки одним из злелгеггтов шсленно удовлетворительной ггары решенггй до.гжно быть решегше, построенное методалш 99 4 — 6, исходя из показагеля с паодолыией действительной чистою, или, в случае равных показателей, не содержащее в своев разлолкении логарифмического члена.
Это решение, которое определено с точностью до пронзвольного постоянного множнтеля, называется подчиненным в особон точке. Любое регпение, которое линейно независимо с подчиненным, называется долгиггнруюи(им в особой, точке, носко.гьку его отношение к подчиненному решению стремится к бесконечкостн, когда аргумент приблнжается к особой точке. Различие между годчиценностью н домннантностью важно также при описании решений дифференциальных уравнений. Если а н р — показатели в коночной особой точке го я Кесо ) ) Ке (1, то лспо, что условие иг (г — го) (г -+ го) ;(7.03) определает решение однозначно.
С другой стороны, существует бесконечное число решений, удовлетворнющих условию и (г — го) (г -т го), '1 Дзс 1(. П. 5(ггллор (1950). 198 уРАвненггя с РегуляРными Осовыыи тОчкАми ггл. 5 так как добавление произвольного кратного подчиненного решения не изменяет общего асимптотнческого поведения. Аналогично, если а = р, то условие (7.03) снова определнет нг единственным образом, в отличие от условия (з -г- зз) 5 8. Гипергеометрическое уравнение 8.1.
Дифференциальное уравггонпе в (1 — з) — „, + (с — (а + Ь+ 1) з) — — абгл = О, (8.01) в котором а, Ь и с — действительные или комплексные параметры, называется зиггерзеометрическизг ураанениезг. Его особыми точками нвляются О, 1 н ОО; легко видеть, что каждая из них регулярна и соответствующие пары показателей имеют вид ,(О, 1 — с), (О, с — а — Ь) и (а, Ь) соответственно.
(3 — зз)" 1и (з — зз) сравните (5.03). Один из случаев, исключенных пз предыдущего рассмотрения, имеет место, когда а М р, но Веа = Ней. Ни решение в виде ряда, построенное исходя пз а, ни построенное исходя пз 8, но доминирует над другим, и два решения образуют численно удовлетворительную пару решений в окрестности точки зз. Аналогичное рассмотрение можно провести и тогда, когда особая точка находится на бесконечности.
7.3. Подчиненность и доминантность связаны с рассматриваемой особой точкой, Решение, подчиненное в одной особой точке, может оказаться домнннругощпм в других; в действительности так обычно и бывает. В ооластн, содержащей две регулярные особые точки з, н зг, численно удовлетворительная пара решений состоит из решения, подчиненного в зг и доминируюгцего в зк и решения, подчиненного в зг и доминирующего в зг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
