1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Так как /з! ( 1, мажорантная оценка показывает, что ряд (9 08) э — "В * сходится равномерно в любом компактном 1-интервале, содерх:ащомся в (О, 1). Используя условия (9.06) и вспоминая теорему 8.1 из главы 2, мы видим, что в (9.07) можно поменять порядок интегрирования и дифференцирования '). Это приводит и искомому результату 1 Г(а, Ь;с; г)= .. )1 (1 — 1) (1 — 51) "ГИ. (90 ) о Равенство (9.09) (полученное Эйлером), было установлено в предположении, что (г! ( 1.
По интеграл в правой части как функции з сходится равномерно в любой компактной области, не содержащей точек интервала [1, оо). Следовательно, прн Вес) » Ве Ь ~ 0 интеграл (9.09) 'дает главное значение Г(а, Ь; с; з) вс1оду, исключая точки разреза 1 ~ з ( со. Все степенные функции в подынтегральном выражении имеют славные значения. С помощью дальнейшего аналитического нродолжспия легко убсдитьсн, что точщ1 разреза мохгно включить в область справедливости представления (9.09), если Веа ( 1, но не в других случанх. 9.б.
Чему равна сумма геометрического ряда в особой точке г = 17 Из главы 4, у 5 имеем Г (в + з) Г(Ь+ з) Г (с —,'-*) з11 Поэтому сумма Г(а, Ь; с; 1) существует, осли Ве(с — а — Ь) ) О. Предположим на время, что Ве с ) Ве Ь ь 0 и Ве а =. О. Полагая з- 1 внутри единичного прута, мы найдем, что правая ') Можно видоизменить доказательство, налагая условие Ке Ь ) 1 и Ке (с — Ь) э 1. Тогда.ряд (0.08) сходится равномерно в [О, Ц и яоэтоиу может быть проинтегрировав иочлеиио. Обобщение конечного результата ва Ке с э Ке Ь > О достигается аналитическим продолжением по Ь и с. ГипеРГеометРическля Функция $ 21 часть равеиства (9.09) стремится к 1 ( ь — 1(1 )с — а — ь — 1! о т. е.
Г(с — а — Ь)/(Г(с — а)Г(с — Ь)). По теореме Абеля о пепрерывности степенного ряда' ) зто выражецпе разпо сумме ряда при 2=1: Г (а, Ь; с; '1) =- (9.10) Апалптпческое продолясонпе по а, с и Ь снова показывает, что равенство (9.10) справедливо, когда Ве(с — а — Ь) » О, без каких- либо других ограничений. Зта важная формула получена Гауссом и чаще записывается в виде Г 'с! Г (с — а — Ь) р(а "'')= Г(, а)Г(с Ь) (9 11) с дополнительным условием с Ф О, — 1, — 2, 'УПРА)КНЕ101Я 9Л. Показать, что прп (г( ( 1 1п(1+ г) = гр(1, 1; 2; — г), 1п((1 + г)/(1 — г)) = 2«Г(1/2, 1; 3/2; гг), агез1п г = гР (1/2, 1/2; 3/2; г'), агс!» г = гР(1/2, 1; 3/2; — г').
9.2. Показать, что прп )/г( ( 1 эллинги«еские интегралы 1 1 к(ьг) = д е [аз) = П вЂ” 'с ) вс =1 1 Ь з!/2 о о можно записать как К (/а) = --лр(ж, —; 1; Ьг) Б(са) = —, яр — —. 1 Ьг) 9.3. Показать, что ( — ') д !и д ~ Р (а, Ь; с; г) — (а)л(Ь)ак[а-с-н, Ьжн,сп л, г/, () '- и и— — (г +и !Р (а, Ь1 с; г))= (а)„гс 1Р (а + з, Ь; с; г). дг ~ ') Г. М. сригтевгольц, Курс диффсреицпальиого и иитегральиого исчисления, т. 2, М» «Наука», 1970, пп. 437, 456. 206 уРлинення С РегуляРнымн ОсОБымн тО«н(лми (Рл ь 9.4 ').
Проверить, что (с — а)Р(а — 1, Ь: с; «) + (2а — с + (Ь вЂ” а) з)Р(а, Ь; с; г) + + а(з — 1)Р(а+ 1, Ь; с; ') = О, (з — !)Р(а, Ь; с — 1; «) + (с — 1 — (2с — а — д — 1)«)Р(а, Ь; с; «) + + (с — а) (с — 6)«Р(а, Ь; с+ 1; «) = О, 9.5'). Допуст>ы>, что з — любая то иш комплексной плоскости, не принадлежащая интервалу [1, сс), и напишем (1+, С-(-, 1 —, С вЂ” > 16 — 1(1 1) — ь-> (! а Путь иитсгрпроэанпя начннастся в произвольной точке а пз интервала (О, 1), обходит интервал (а, Ц один раз в положительном направлении, возвращается в а, затем обходит [О, а) один раз в потонсительном направлении, возвращаетсп э а и т. д. Точка 1Д находится вне всех петель.
Предположим ташке, что сонно>кители в подынтегральиом выражении непрерывны на пути интегрирования >г принимают в иачальнон точке главные значения. Докажите результат Похгапмера, который установил, что главная ветвь Р(а, 6; с; «) определяется формулой Р(а, Ь; »; «) = — » — "'Г(! — 6) Г(1+ Ь вЂ” с) (/(4п«)> если ни Ь, пи с — Ь не равны положительному целому числу. Можно лп этот результат перенести иа другие ветви р(а, Ь; с; з)? 9.6 '). Пусть а, Ь и «фиксированы и «(и [1, »с).
Применяя к (0.09) методы главы 4, 11 Э и 5.2, показать, что ъ~ (6) с Р(аь»з)ч« ..=ис Г (» — Ь)»» . э прн с — сс в секторе )асяс[ < (л!2) — б(< л>2), где д» = — 1, а следующие коэффицншжы определяются разложением »'(»т — 1)6 1(1 — г ->- «е ') ' = ~~ т»ч ь , —.-о Показать также, что при Ве «< 1>2 область справедчпвосхи разложении можно расширить до [агй с[ < и — б(< и).
9.7. Пусть а, 6, с и - фиксированы и ««и ( — сс, 1), Показать, что а) — — Ь вЂ” ХЧ (с — 6) Ч Р(а+Л, Ь+)О с+Л; с) Г (6 ' Л) Л» — 6.1-« ».= э ') Эти два тождества принадлежат к пятнадцати липсйныи соотношениям Гаусса, связывающим Р(а, Ь' с; з) с двуми»ксэ»кь«ми гипергеометркческимн функциями, т. с. с такими, которые получа>отея иа Р(а, Ь; »; «) прибавлением ш1 к одному из параметров.
') Ср. главу 2, упр. 1.6. «) В упр. 9.6 и 9.7 все функции приннма>от главныс значения. Дальнейшие результаты этого хипа мо>кно найти у Ватсона (1918с) и Люка (1969а глава УП). !!а схр. 299 работы Ватсона содержптсн ошибка: !оя(1 — а — ') следует заменить на — !оя(1 — а '). Это отразится на областях справедливости раэло>кения.
ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ % ]е] 207 при Л вЂ” ~ сс н секторе )агд Л) ( (л/2) — б(( л]2), где дс = 1, а следующие коэффициенты определяются разложением зг ( 1 с т)с ь !( 1 ] т)с — с тт с-]-с ь ! з ! с с=о Применяя теорему 6.1 нз главы 4, показать также, что этот результат можно обобщить на комплексные значения г, если ]]е г «( 1, г Ф 1 п агЕЛ = О. в 10. Другие решения гипергеометрического уравнения 10 1. В 2 0.4 мы выполи ]ппегральнуто формулу длн Г(а, Ь; с; г)', которая позволила осуществить аналитическое продолжение втой функции в г-илоскост]ь разрезанную вдоль интервала [1, оо), при некоторых ограничениях на параметры. В этом параграфе мы построим дальнейшее аналитические продолжения, выраптая Г(а, Ь; с; г) через друтпе решения гппергеометрического уравнения я (1 — г) — + (с — (а + Ь + 1) г) — — аЬ]о = О.
(10.01) Сначала мы рассмотрим полное решение этого уравнения в окрестности начала координат. Решение Г(а, Ь; с; г) соответствует показателю 0 при условии с Ф О, — 1, — 2, ... Метод з 4 показывает, что решение, соответствующее другому показателю в точке г = О, имеет вид г' 'г"(1)-а — с, 1+Ь вЂ” с; 2 — с; г) при условии с Ф 2, 3, 4, Иногда более удобно рассматривать в качестве второго решения функцию б(а, Ь; с; г) = г' 'Г(1+а — с, 1-)-Ь вЂ” с; 2 — с; г), поскольку она существует при всех с.
Когда с не равно целому числу или нул]о, предельные выражения для Г, ь! и их производных даются формулами Г(а,Ь;с;г) ]., д $(а,Ь;с;г) Г 1 д аь г! с д — с б(а, Ь; с; г), — С (а, Ь; с; г) Г(2 — с)' дг ' * ' Г]1 — с)' Поэтому вронскиан функций Г(а, Ь; с; з) и ь](а, Ь; с; г) имеет вид У (Г (с) — зп! лс г — с(1 г)с — а — з — ! '(ср. '(1.10)). Аналитическое продолжение непосредственно распространяет это тождество на все значения с. Из этого результа- 208 увгзпвипя с Р!ггулягнымп осовыып тоггкАмп !Гл у О пг =Р О О а г 1 — с с — а-.ь Ь (10,02) Преобрааовапио га = (1 — г) аИ' уггеныпает поьазателп в точке г = 1 на р и на столько же увеличивает показатели на бесконечности.
Если положить р = с — а — Ь, го новое уравнение снопа имеет нулевой показатель в точке г = 1: О 1 сс ))г=-Р О а+Ь вЂ” с с — Ь г (1 — с О с — а Если Ве с 1, подчиненное решение последнего уравнения в начале координат имеет внд И'= Г(с — а, с — Ь; с; г). Его отношеппо к соответствующему подчиненному рсшоншо уравнения (10.02) пропорционально (1 — г)'+' ', а коэффициент пропорциональности можно вычислить, положив г = О.
Тогда Г(а, Ь; с; г) = (1 — г)'-"-'Г(с — а, с — Ь; с; г). (10,03) В этом равенстве главные ветви соответствуют друг другу; едпкственный необходимый разрез проходит вдоль интервала [1, со). Кроме того, ограничение Вес ~ 1 можно снять с помощью аналитического продолжения.
10.3. Рассмотрим теперь преобразования ю =- (1 — г) 'И', 1 == —. г г — 1 Первое из яих изменяет показатели в 1 и со; в частности, оно обращает один из показателей в точке оо в нуль. Второе преобразование переставляет особенности в 1 и со. Поэтому новое урав- та п теоремы 1.2 следует, что Г и С линейно независимы, псклюгая случаи, когда с равно целому числу илп пуп!о. В зтпх пскгпочительных случаях можно методом Фробенпуса (т 5.3) построить независимое решение в виде ряда, в которое входит логарифм; см. ниже упр.
10.3. По термпнолопш 8 7 функции Г(а, Ь; с; г) п С(а, Ь; с; г) являются подчпненпымп в точке г = О, когда с — целое число или нуль. Если Ве с -> 1, то Г(а, Ь; с; г) — подчиненное, а С(а, Ь; с; г) — доминирующее решение; они ггеняются ролямп прп Ве с ( 1; пи о;!но пз них пе;!омпнпрует над другим прп Вес = 1. 10.2. В обозначениях Римана гппергеометрическое уравпенпо (10.01) имеет впд 209 дгугллв Рк1пеггия з ~о! некие имеет вид О И'= — Р О а О ! — с с — ьб — а~ (10.04) Подчиненное решение уравнении (!0.02) в з = 0 снова доля,но отличаться лишь ллножнтелелл от подчиненного решения (!0.04) в т = О.
Следовательно, мы получаем Г(а, Ь; с; з) = (1 — з)-"Г(а, с — Ь; с; з/(з — 1)), (10.05) причем снова без каких-шьбо ограппчшшй на парамотры. Аналогпчнгалл обрааом илп используя (10.03) можно вывески соотполпепие Г(а, Ь; с; з) = (1 — г) 'Г(Ь, с — а; с; з/(г — !)).
(10.06) Г(а, Ь; 1+а+Ь вЂ” с; ! — з) (10.07) '(1 — г)". " 'Г(с — а, с — Ь; 1+с — а — Ь; 1 — з), "(10,08) Они независимы, исключая случай, когда а+Ь вЂ” с — целое число нлп нуль. Так как главная ветвь Г(а, Ь; с; з) определяется с помощью разроза вдоль деиствительиой оси от з=1 до с=+ос, то главные ветви функций Г в (10.07) и (10.08) выделяются разрезом от з=О до з= — ос> Если, кроме того, предположить, что (1 — з)' ' в имеет главное значение, то необходим также разрез от 1 до +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
