1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 40
Текст из файла (страница 40)
З Путь интегрирования для обоих интегралов представляет собой односвязную замкнутую петлю, которая начинается в бесконечности на пололсителыгой действительной полуоси, обходит точки 8= 1 и 1= г один раз в пололсзтельнозг направлении и возвращается в начальную точку, не пересекая интервала ( — со, — 11 и не оз имея самопересечений. Ветви числителя и знаменателя непрерывны на '+1 пути интегрирования и принимают славные значения в окрестности начальной точки. Ветвь функг)ии ,(гз — 1)ыг определяется как в 3 12.2.
рпс, 131. Бплсскссть. Есн- Путь интегрирования изображен тУР длл Р„, з(г). па рис. 13.1'). Заметим, прежде всего, что достаточно доказать илп (13.01) или '(13.02); каждое пз нпк вытекает из другого в силу тождества Р" „ 1(г) = Рг, " (г). Дифференциальноо уравнение, которому функции го =- (гз — 1) и~з Рг, "(г), пззеет вид В м вв (г' — 1) д,, -,'- 2 (р + 1) г —, — (ч — р) (ч + (с + 1) и = О. (13.03) удовлетворяет (гз 1)ч з (г) = — ~ ~,, г((г — 1)(»+ ) + 2) + + 2 ((г + 1) г (1 — г) — (ч — р) (1 — г)з) й( = (" — "„з((, )-у+2)((з — Ц вЂ” 2( —;-1)1(1 — г))йг=.
,(г — г)' ""' (12 — 1)УЧ 1 (г г)т-~. з-~-2 ') Если ч — неотрицательное целое число, то празуго часть (13.01) следует заменить ее предельным значением (см. упр. 13.4). Аналогично для (13.02), когда ч — отрицательное целое число. Подставим вместо ю его выражение в виде контурного интеграла 1 (г) =- ), а'1. (гз — 1)т (13.04) г)т-На Ы Мы имеем (г' — 1)Р'(г)+ 2(р+ 1)гР(г)— — (ч — (г) (с+ (с+ 1)1(г) =(т + (с+ 1) т(г), где 223 элнкцип лкжлндгл 1 ы) Таким образом, 1(г) удовлетворяет уравнению (13.03), когда выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет одно и то же значение на обоих концах пути У. Это условие выполняется для интеграла по петле в правой части (13.01), поскольку этот интеграл сходится в крайних точках пути, когда Ве)г ) Веч, а выражение в квадратных скобках там равно нулю.
В соответствии с этим правая часть выражения (13.01) является решением присоединенного уравнения Лежандра. Далее, аспмптотпческая форма выражения (13.01) при з-»1 имеет вид А(г — 1)"'з, где О Ю 2«~г,»л~„ ( 2~) ги! (р — ) ) (8 — 1)»" причем на последнем этапе мы сделали подстановку 1=(2 — т)/т, а затем испольэовали интегральное представление для бета-функции и формулу отражения для гамма-функции. Следовательно, 1 А = 2"' 2Г (» -)- 1) Условие Ве)х (0 снимается аналитическим продолжением по )г и у при условии, что Ве )г ) Ве ч.
Предположим теперь, что Ве )г ~ О. Тогда правая часть (13.01) является подчиненной в з = 1. Оиа имеет тот же самый нормирующий мнохштель, что и Р, »(з) (ср. (12.08)). Поэтому два решения тождественно равны. Таким образом, равенство (13.01) доказано в случае, когда Ве)х превосходит шах(Веч, 0) и, следовательно,— снова в силу аналитического продолжения по )г,— когда Ве)г Вет. Теорема доказана. '13.3.
С помощью теоремы 13.1 лшжно получить рекуррентные соотношения относительно ч, )г или относительно обоих этих параметров. Положим е» Г( — т) н» = 2" ) ~л)Г ( — ч — ») (13.05) (13.06) Если временно налоншть можно вычислить, сжимая разреза [1, оо); тогда (ь)-) (с -(- 1)~ Й =- (е — з»л'— (1 1)»-т-~ условие Ве )г ( О, то этот интеграл путь до совпадения с двумя берегами 1),Л= 0 -)- 1)» 2«»+1шг (» — ч] 0 — 1)»+ е»'я Г (» -). 1) Г ( — т) ' 1 224 УРЛВНЕКПЯ С РЕГУЛЯРНЫМН ОСОБЫМИ ТОЧКЛЪШ П'Л, тогда из (13.01), заменяя )г на — )г, мы получаем (1г 1)У Р, (г) =.= А, „) „, ь11 (Вот+ йе 11(0), (13.07) .Р где У обозначает путь, использованный в (13.01).
Тог.1а рз 1)У вЂ” „' Р„" (г) = ( — р+ 1) А„„1 " „"„, )1 = =-. (У вЂ” р+ 1)(У+ р) Р'„' ' (г) (13 08) Применяя эту формулу два раза, получаем с~г —,Р',~(г) =-(У вЂ” р —,' 1)(У+ 9)(У вЂ” р+ 2)(1 — , 'р — 1) Р,", (г). (13.09) е Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет Р, (г), можно вывестп из (13.03), изменяя знак параметра р, Подставляя в пего выражоппя (13.08) и (13.09), мы получаем (г' — 1) (у — п + 2) (у + и — 1) Р,'~ г (г)— — 2 (р — 1) гР ~ ' (г) — Р,". (г) = О, Заменяя теперь )1 па 11+ 2 и используя (13.00), мы приходим к первому из искомых соотношении: Р",, 'г(г) + 2(9+1) г(гг — 1) и'Рв+'(г)— — (У вЂ” р)(У+ 9+ 1) Р,(г) =О.
(13 10) Поскольку функция Р„" (г) — целая по у и уг, все огракичонпя па параметры, наложенные прн доказательстве, устрашпотся аналитическим продолжением; это верно также и для других рекуррентных соотношений, которые будут выведены ниже. Для вывода следуюпцей формулы мы используем пнтггрирование по частям: Р",,(г) -= 1) -ь1 2(У+Ол, "+1 а ) (, .)х — в+1 У и ~-1 ) (1 .р — в-И 2(У+1) Лга1 „(Р"+1(г) Р" (г)) в+1 ~ Лев-Ь1 "1ем1 отсюда (гз — 1)112 Рв 1 (г) = (У вЂ” р + 1) Р~~Р1 (г) — (т + р + 1) гР~ (з). (13.11) ч ьз1 ч>и>>кцпп лкжлндрх Другие рекуррентные соотношения, содержащие функции, которые получаются из Рв(г) при увеличении или уменьп>епии параметров ч и р на единицу, можно вывести, комбинируя (13.10) н (13.11).
Еаждое из пь>т можно рассматривать как частный случай соотношений Гаусса между сможныпн гипергсометрпчсскпми функцияпп '). Папримср, чтобы построить рекуррептнос соотношение относительно т, мы сначала получим пз (13.11) равенство (гг — 1) и Р,", ~ (г) = — (ч — р) 1",'хь>' (г) — (ч -',— р -,'- 2) гР",. ' ' (г).
Д ° 1) Раьг (г) =. (ч — р)((ч — р + 2) Р,', ° (г) — (ч + р —,'- 2) гР„". » (г))— — (ч + р + 2) г ((ч — р + 1) Р,",, (г) — (ч -'; р + 1) гР,". (г)) = == (ч — р) (ч — р + 2) Р," е. (г) — (ч -и р + 2) (2ч — 20 + 1) гР,"е> (г) ( ->- (ч+ р -', 1) (ч — , 'р+ 2) геР."„(г). Подстановка этого результата в (13.10) н использование равен- ства (1;).11) приводит к искомому равенству (ч — р+ 2) Р,'!ь (г) — (2ч -'; 3) гЕ>„"т> ( ) + (ч+ р+ 1) Рв(г) =-О. (13.12) 1ЗА. 1(оптурпый >ппсграл для ()", (г), аналогпчньш (13.01) и (13.02), можно построптгч выоирая другой путь интегриро- вания, Теорем а 13.2.
Ес,ьи " не принадлежит разрезу ( — со, то глав>ьое значение функции 9'„'(г) даетья форму;ьой (!+, †> †> чг'Г 1 — т) (,е 1)ьь>г ~ (1 — ь )' >В (и 13) в е Путь интегрирования >ьа >ичается в произвольной точке а интер- вала ( — 1, 1), обходит интервал (а, 11 один раз в положительном па>ьровлении, возвращается в а, затем обходит ~ — 1, а] один раз в отрицательном направлении и снова возвраи(ается в а. Точка г лежит вне обеих петель.
Ветви числителя и знаменателя под>шы тегрального выражения непрерывньь на пути интегрирования и принигьа>от главные значения в начальной точке. Ветвь функ- ции (гг — 1)'>г о>гределяется как в 3 12.2 г). '1 См. упр. 94. >) Снова, рслп в = О, 1, 2, ..., ь>рзвая часть (13.13) заменяется ее прелельнын значением; си. вив>е увр. 13.4. 15 е>. олвер >гл а углвнкнпя с гвгулягныхп! Осовыхп! точ1'Аы!! Путь интегрирования представляет собой фигуру в виде восьмерки, изображенную па рис. 13.2. Доказательство проводится как в теореме 13.1.
Па выбранном пути ветвь функции (х — Г)"" ' имеет одно и то же значение в начале и в конце. Аргу>>ентчцслптеля возрастает на 2хл при обходе точки ! = 1 н умепьшается на столько же при обходе точки ! = — 1 в противоположном направлении. Таким образом, а (1 — 1>)" имеет равные значения па концах пути. Вследствие этого правая часть (13.13) удовлетворяет присоединенному уравнению Лежандра. При больших х путь интегри- рования можно фиксировать. Тогда (г — 1) '+"+' асимптотнчески прнбли>кается к главному значенв>о функции х' "+' прп г — ~со в секторе )агдх~ =.ив — 6(( я) равномерно относительно г на пути. Поэтому правая >асть (13.13) аснмптотическн приближается к Вх ' ', гдо (>-';,— 1 — ! 2т Зи! При Вот) — 1 мы можем вычислить >>, сжимая путь обычным образом до совпадения с интервалом ( — 1, 1]; таким образом, 2'"'Р (х т З>2) Сравнение с (12.09) устанавливает формулу (13.13) при условии подчиненности Йе т ) — 1/2.
Доказательство завершаетсн примепениех! аналитического продолжения. '13.5. Хотя ()" (х) является наиболее подходящей функцией для совместного рассмотрения с Р,™(г) в аналитической теория присоединенного уравнения Лежандра, в большинстве приложений в качестве второго решения используется другая функция. Оиа определяется равенством Щ(а) = е"' Г(т+ )>+1) 1(„"(з), (13.14) при условии, что сумма т+)х не равна отрицательному целому числу. Если иго условие нарушено, то Я(х), как правило, не существует. Из тои>дества х(, "(г) =- 9,"(г) мы выводим, что Д„"(х) = е зив>(Г(» — р -,'-1)>Г(т+ р —,'- 1)) ь>а(з). (13.15) ч ~з1 Фунггцгггг легггаегдрл Из (12.07) и (13.13) (прп замене р на — р) вытекает формула пнз,ильР (т+ в+ 1) (г+ 1)и/з 2гт г Г ( г + 5,'2) 1г — - 1)Г И З1+'Г ' >:Р (т -Р 1, т т р -!- 11 2т + 2' — ) =- (13.16) 0-1,— ! — 1 г<в — т1лгР ( — т) Р(т+ р — ' 11, 1 „М (' (! — гг)' — ( -1) Г, г,,„„.
а (13.17) Важность функции г,),', (з) связана с тем, что опа удовлстворвет тому же рекуррентпому соотношению, что и Р, (з). В этом можно убедиться следующим образом. Заменяя в (13Л7) 1 — 1з и л — 1 на е'— "'(1з — 1) и е*'"'(1 — з) соответственно, имеем П-г — 1 — 1 К(з) =л(зз — 1)"~ г',),"(з) = Вт в ) 0 ',г(1, (13.18) а глс Вгв =- е~" ылГ( — т) Г(т+ р + 1) е'-т"'е ' " '" ' '~"'1(2т ьзл(). Отсюда независимо от знаков + или — вьгтскает, что ~глг 2 (т л-1) Аглг йг,н 1 А, И.Ь~ т —,р т 1 А,, ' 11,„,. в+в+1, +г' тле Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
