1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

'Ге о рема 14!.1. Пусть г, г!, гг и ср — действительные или комплексные числа, такие, сто г= г,г,— (гг! — 1)ьг(г12 — 1)"гсов р, (14.16) 234 УРАВПК!ШЯ С РЗГУЛЯРНЬП1П ОСОБЫМИ Теа!КАЫИ [ГЛ. Я где коэффициенты а„, не зависят от [р. Это и есть искомое разложение. Поскольку опо является рядом [Рурье по косинусам [р, коэффициенты имеют внд и„=-и — ' ( [о„(з)сов т[р [[[р (т==-0, 1,..., и).

Подставляя (!4.19) в последний интеграл и меняя порядок [ппегрзроваппя, мы вакодпм, что Г [„„[б) (14.20) где (О) == 1 (з[ [ (в[ 1) <ов([Р— О)) сов т[р [)[р== ~ (з, + [[з, — 1)' сов Х) соя (тО [ т)[) [(. Если заменить соя(тО+ п[у) на сов т0 сов ту — гбп тО в!и т то слагаемые с синусами не дают вклада в 1 (О), в „„( ), поскольку остальные множители в подынтегральном выражении — четные по у.

Вклад от слагаемого с косинусами вычисляется с помощью формулы (14.07); таким образом, 7„„(О) =- "; Е',, (в„) сов тО [а —,'- аи)[ Подставляя это выражение в (14.20)' и прнмепяя (!4.08), мы получаем Рпс. 14 1 [-плоскость Доказательство закончено. Теорему сложеипя можно обобщить на случай, когда и заменяется действительным пли комплексным числом е[ прз этом сумма в (14,17) должна вычисляться от т = 1 до т = оо, а факториалы ну[кис заменить гамма-функциями '). УПРАН[[[ОН![П 14.1.

Делая в (14Л2) прз т = О подстановку (а+ (га — 1) [избе) (г — (аа — 1)[ис!1 О! = 1, ') Робсон (1952, 1 220). ФУНКЦИИ ФЕРРЕРСЛ вывести иигегри.г 7'ение 0„(0 =- и . ( зз 1)1гес( )и Ь1 о 14.2 '). Вывести пз оредгааушсго упражнения, что если е = сй(гг+ 19), а а и р — действительные числа, то (0 (з) ! ° ., е 1" 111 10Р (с11 2а) (и) 1).

14.3. Используя формулу Родрпга для многочлена Чеоышева (Г„„г(х) (глава 2, (7.07) и упр. 7.3) или индукцию, доказать лелглу Якоби г('и — 1 Ми иг — 10 ( 1)иг — 1 (2т)Г згп тй. а (соз О)и' 1 "' 2и'ги! С помощью повторного пягегрпровавпя па частям и этого соотношения вы- вести из (11 07), что и'и(„) 2т иг (и — 'т)1 (='--1)иь ~(„( ( е — 01расозО)и и'згпзггййй (2т)! (и — ги)! и Ь (и )~ т).

14.4. Вывесзп пз предыдущего упражнения, что прп ", ) 0 1тГ(И 1 т Г иг — 11 1 Ри (сйй)=- ™~ т)' ~ (ойдо — сй0 ~ сй ((и+ и)1)ен и (2ги)! (и — т)! зйигг, 1429 Используя интеграл Неймана и разложение (7.20) пз главы 2, поиаэаггь что сегш з ) 1, а й иологкиггльно и достаточно малб, то 0 (0 н".=- !и ~) 0» (е) "" (1 й ьз)~гз ( (гг 01ге /' и — о С помощью уир. 7.9 пз главы 2 показать, что прп (й! ( 1 сузыга в левой части сходится разномерно в лгобой козгпаггтиой области изменения г, пе пересекающейся с разрезом [ — 1, 1), и обобщить таким образом разложение на комплексные значения ". й 15.

Функции Феррерса 15.1. Если у и р действительны, главные ветви функций гзт и (з) и (4," (Я) Действительны на части Действительной оси от 1 до со. На разреае от — оо до 4 можно рассмотреть два значения для каждой функции в зависимости от того, приближаемся мы к разрезу снизу плн сверху. Заменяя я на х, мы обозначим ети значения через Р, "(х+10), Р, "(х — 10), (4," (х-(-10) и (4т (х — 10). Ни одна из етих функций в общем случае не является действи- ') Ср. упр. 7.9 из главы 2.

226 уРАВпяння с РкгуляРныъп1 осовыьп1 точкАмп 1гл 9 тельной. Однако, поскольку присоединенное уравнение Лея1андра при действительных р и у действительно, желательно иметь стандартные действительные решения. В интервале — оо ( х ( — 1 естеств1иио выбрать Р,," ( — х) и (1,( — х) или е ""'1,1,'; ( — х).

г1тобы охватить оставшшгся интервал — 1 ~ х ( 1, мы введом следугощие решения, называемые фуякг)ияли Феррерсол Р," (х) = е'' ' Р,'. (х -';-10) = е '' ' Р'(х — 10), (15.01) 12»(х) = —, Г (У -+ р -'; 1) (е — нльг((н (х -'; 10) + е"' сг(гн, (х — 10)) —.

2 = —, Š— г»янгя(Х вЂ”,' 10) + —, Е Н»О ()» (Х вЂ” 10). (15.02) Эти равенства определяют Рн(х) и ()~н(х) для всех комбинаций у и р, исключая случаи у+р, = — 1, — 2, — 3, ... Очевидно, что Ру "(х) и Я, "(х) — также решения. Гели верхний индекз равен нугпо, то ег.о обычно ке пишут; таким образом, Р„(х) = — Р„(х), когда п — неотрицательное целое число. В согласованности двух определений (15.01) функций Р",.(х) можно убедиться, обходя особуго точку х = 1 и используя (12.05) (где р заменено на — и), При етом мы получим также 11-ь 'н,г 1 Р,"(х) = ~ — ') ' Г(У+1, — У„1 — р, —. — —, х).

(1503) Равенство '(15.03) можно испо:пзовать для оообщения определен иия функции Р,(х) на комплексные значения т, р, п х: разрезы прп атом выбираются вдоль интервалов ( — оо, — 11 и (1, оо) изменения х. Соответствующие выражения для друтпх функций Форрерса выводятся из (15.03) и формулы связи которая сама получается пз предыдущих соотношений п формулы (12.11). Получаем 2з!п рп н я Я (х) =- соври( Р~У+ 1, — тч 1 — и; —, — —,х)— Г(тн »+1) !1 — х~»11 Г 1 1 — — Р~У +1, — т; 1+ 11; —, — —,х). (15.05) 1 ( — Н-1-1) ~1+ ! При действительных значениях У и 1А, таких, что У ) — 1/2 и )А-вО'), предельные форйы Р,н(х) и ~,~~(х), когда х стрс') Ср. 1 12.1. ФУНКЦПП 'ЭЯРРГРСЛ 237 ч!5) мится к осооой точке 1 слеза, можно вывести из (15.03), (12.21) и (12.23).

Опи имеют впд (15.06) Г)",. (х) —, сов ряР (р) ( — ), Я„" (х) Г(р)Г(т — р+1) ~ 2 )а/2 2Г(т+К+1) ),1 — х) Р (х) 1 О, 2!и( ), / 1 (15.07) (! 5.08) прп условия, что гамыа-функции конечны, а соз )ля отличен от нуля. Рассмотроппе этих предельных форм показывает, что нн одна пз пар решений Р,, (х), Г);"(х) не является численно удовлетворительной в окрестности точки х = 1 нп прп каких неотрицательных значениях о+1/2 п )л. Однако в случае, когда т и )л— неотрицательные целые числа, Р„(х) н Я„(х) являются удовлетворптельнымк.

15.2. Функции Р",,(х) и 1)'„'(х) аналптпчны в х = 0 и поэтому их можно разложить в ряды Маклорена. Зти ряды понадобятся нам в последующих главах; пх мол;но вывестп следующим образом, Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции (1 — х )"~зР",,(х) и (1 — х )а 0~(х), имеет впд Илх пи~ (1 — х') —, + 2 (р — 1) х — + (т + р) (т — )л + 1) ю = 0 (ср.

(13.03)). Метод з 3.2 дает четное и нечетное решения 1 1 1 ю = — У'~ — —,т — —,)л —,т — —,)л+ —,; —,' х'~ 2' 2' з 2 2 '2' )' Поэтому (! — х')"' 'Р"„(з) =.- А,и), + Азию (1, ~"'-д," ( ) = В,, + В... (15.10) (15.11) тде Ль Ам В~ н Ва не зависят от х. При использовании методов действительной переменной для определения АиЛмВ~ и Взследовалобы положить х-+-1 в (10.10) и (15.11), в производных этих выражений по х и учесть формулу а ьз! 239 ЬВУПЬППГП ьпЕРРПРСЛ в (15.12) р. па — р, '1'огда лГ (» -р [ь+ 1) ( соа рлА, Аь дьа[п[ьл (Г(х-,'.[ь-)-1) Г(ь — рт1)~ и Г (т — р+ 1) 1' лГ (х л- р — ' 1) ~ соа рлА Вт= ' 2 а[и рл Г(т+р т-1) В =- — 2 и "заид ( —,е+ —,)ь~п Г~т в+ —,[ь+ц[Г~ —,х— 1 --., р+1~ь В..=- 2 л "зсон» ( —, х — ' —, )ь [ и [ Г [! —, х + —.

р + 1)~ Г ( — х— — —,р+ -„), (15,13) сслп х+р 4- — 1, — 2, — Иь, Ъ Праь)НПЕП[[рь 15.1. Показать, что ! 1 -Р х Ь 1 [1ььх! С)а (х) = 2 [и ~ 1 х ) ()л (х) = 2 !'а (х) [и ! 1 1х ) — И', (.с) (а дв 1), т;\с !» (х) ые!оточлен стспскл й н 3 И'„(х) =- 1, И'ь(х) = — о х, И' (х) = — х 2 3' 15 2 Показать, что если л и и — полоьтптельные целые числа, то !»е ( ) ( 1)»ь (1 т)ена РЬ» [( ) ()~1 ( ) ( 1) а(! )т! 0(щ) ( ) п Ä— '"(х) =-П вЂ” ")-"'л~~ ... ) Р„(х)(А.) . [5.3. Бььвсстьь пз ([3.0еь) н ([507) соотноьпенпн для вронскдановт соа рл Де(Р "(х), ()ь(х)) = з, Г(т+ [с+1) 1 Дх(Р~(~) ()~~( ))= !'( ь ц Проверить этот результат, вычислив зиачеиия в точке х =- О. Используя фора[уды (!5,12) и производя пеьоторыс сок[зад[сипя, мы наводни, что 240 РРЯПНГЕГНЯ С РНГУЛЯРНЫИН ОСОКЬГЫИ ТОЧКЛЫН !ГЛ.

В 1эц4. Доказать, что прн х ш ( — 1, 1) 2 Рп ( — э) = соэ ((т+ р) л) Р" (х) — — „Пп ((т+ р) л) ()и, (х), ()и ( — х) = — —. л э)п ((ч+ р) л) Рп (г) — саэ ((т -,'- р) л) 11Р (х). 155. Показать, что з э) (( — ')('+т'+1)-Р 1 1 ~ра(*) Р5( )пх=- = (1 — хЧ 71'1Р," (х), Рп (~)). Выэсстн с почащыа формулы (14.04) и предыдущего упражнения, что ссшх й т и л — пеотрицателькыо целые числа, та 1 Р,,) Рэ, (и) „, й (.,— т)1 1п — т)! (а+ 1,2) — 1 1 Ра (х) Р,",' (.г) (а з,л)1 их=6, т ',' Рп) О). 1 — хэ (э — эг)!пг — 1 15.6. Пусть р п х фиксироэань1, причем значение х действительно н палшкительпо.

Характеристики

Список файлов книги