1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В плоскости с двумя разрезами три решения Г(а, Ь; с; з) (10.07) и (10.08) связаны соотношением Г(а, Ь; с; з) = АГ(и, Ь; 1+а+Ь вЂ” с; 1 — з)+ +В(1 — з)' 'Г(с — и, с — Ь; 1+с — а — Ь; 1 — з), Чтобы найти козффициенты А н В, предположим временно, что Ве(а+Ь) ( Ке с ( 1, (10.09) т4 Ф. овеса Когда г изменяется от 1 до +ос, функция з/(з — 1) изменяется от +ос до 1, и поэтому в каждом из последних двух равенств главные ветви соответствуют друг другу. Гипергеоллетрллческпе ряды для функций в правых частях сходятся при ~ з/(з — 1) ( с ' 1, т. е. когда Ке з ( 1/2.
Следовательно, зги соотношешгя осуществляют аналитическое продели<ение Г(а, Ь; с; з) в зту полу- плоскость. Если с Ф О, — 1, — 2, то символ Г в (10.03), (10.05) и (10.06) молкно заменить на г'. 10.4. Рассмотрим теперь релпения в видо рядов для лчлпергеометрического уравнения в окрестности особой точки з = !.
Используя метод 4 4 нлп, еще проще, применяя преобразование з = 1 — т, мы видим, что зги решения пллеют вид 11О УРАВНЕНПЯ С РЕГУЛЯРНЫЪ|П ОСОВЫМИ ТОЧКАМ!1 !ГЛ. Б так что ряды для Г(а, Ь; с; 1), Г(а, Ь; 1+а+Ь вЂ” с; 1), Г(с — а, с — Ь; 1+с — а — Ь; 1) сходятся; сравните $ 9.5. Полагая г — ь 1 — 0 и используя '(9.10)' и теорему Абеля о непрерывности степенного рида, мы получаем А =- Г(1+а+ Ь вЂ” с) Г(а, Ь; с; 1) =- (10.10) Мп (и (с — а — 6)) Г !с — а) Г (с — 6) ' Аналогично, полагая г — ь+О, получим — =.
с1Г (а, Ь; 1 + а + Ь вЂ” с; 1) + ! Г (с) + ВГ(с — а, с — Ь; 1+ с — а — Ь; 1). Используя равенства '(9.10), (10.10) и егце раз формулу отражения дтс! гамма-функцни, мы приходим к формуле В=- с|в (и (с — а — Ь)) !' !а) Г (Ь) В соответствии с этим искомая фо)ыьула связи принимает вид в!п (и (с — а — 6)) Г (а, Ь; с; г) —... Г(а, Ь; 1+а+Ь вЂ” с; 1 — г)— ! !с — а) Г (с — 6) (1 да — а — ь — Г (с — а, с — !ц 1 + с — а — Ь; 1 — г), (10 А1) Г (а) !' (6) причем каждая функция принимает главное значение в г-плоско стп, разрезанной вдоль ( — оо, О) и 11, со).
Условия (10.09) мож но теперь снять, используя аналитическое продолжение. Исключая случаи, когда выражение а+Ь вЂ” с равно целому числу или нулю, равенство (10.11) утверждает, что Г(а, Ь; с; г) имеет точку ветвления прн г = 1. Для функции Г формула (10.11), принимает впд Г (а, Ь; с; г) = , ' , Р (а, Ь; 1 + а + Ь вЂ” с; 1 — г) + + Г (с) Г(а+ Ь вЂ” с) с †а в Г !а) Г !6) (1 — г) Г(с — а, с — Ь; 1+ с — а — Ь; 1 — г), (10.12) при условии, что а+Ь вЂ” с не равно целому числу или нулю, а с но равно отрицательному целому числу или нулю.
) 211 ! дгхгилл вишвния 1 ло) 10.5. Положим в (10.11) х = (1 — 1) )лг. Тогда, используя ((10.05), мы лшлучаем ь!и (я (с — а — Ь)) 1 Г (и, с — Ь; с; 1 — 1) = Г(и, Ь; 1+и+Ь вЂ” с;1 — ')— Г(с — а) Г(с — Ь) сс-Л ь — с Г (с — и, с — Ь; 1 + с — и — Ь; 1 — ').
Г (с) Г (Ь) Замена Ь на 1+и — с, с на 1+и+Ь вЂ” с и 1 па х дает 1'(и, Ь; 1 + и + Ь вЂ” с; 1 — х) =- — с Г(и, 1+ и — с; 1 + и — Ь; з--л)— Г (Ь)Г(1+ Ь вЂ” с) — Г (Ь, 1 + Ь вЂ” с; 1 + Ь вЂ” и; з — '). (10.13) Эта формула связывает решение в виде ряда для уравнения (10.01) в х = 1 с решенллямлл в виде рядов в х = оо, Она справедлива без ограничений на параметры, и главные ветви соответствуют друг другу; в совокупности зти ветви приводят к разрезу вдоль ( — со, 1). 10.6. Последняя формула, которую мы установим в етом параграфе, связывает Г(и, Ь; с; з) с решением в виде ряда в точке г = оо: Р(и, Ь; с; з) = А ( — г) 'Г(и, 1+и — с; 1+и — Ь; г ')+ +В ( — г) 'Г ( Ь, 1+ Ь вЂ” с; 1+ Ь вЂ” и; г ') .
'(10. 14) Необходимый для выделення главных ветвеп разрез идет теперь от 0 до +ос. Птобы найти постоянные А и В, заменим с и х в (10ЛЗ) на 1+и+Ь вЂ” с и 1 — г соответственно и затем разложим правую часть по убывающим степопям з. Результат имеет вид Г Ь. )— я ( — г) Г (Ь) Г (с — а) Г (1 + а — Ь) Л + с ! сс + ' ) ) — ь р! Гс Г (а) Г (с — Ь) Г (1 + Ь вЂ” а) л с + сс ' ' ' ' ) ' где козффициенты )ь, и )ь, не зависят от х.
Сравнивая зто выраллепие с разложением по убывающим степеням з в правой части (10.14), мы непосредственно находим значения А и В и, 14с 212 уРАВнения с РеГулярными ОсОБыми точкАми !Гл. 5 следовательно, Мп (я (Ь вЂ” а]) Г(а, Ь;с; г) =- Г(а, 1+а — с;1+а — Ь; з — ')— ( — з) Г (Ь) Г ( — ) Г(а)Г(с — ь)Г(Ь,1+Ь вЂ” с;1+Ь вЂ” а;з — ') (10.15) Здесь снова все ограничения на параметры в Окончательном результате устраняются с помогдыо аналитического продолжения. Для фуггкцп(! Р имеем Г(а, Ь; с; з) =-- ( — з) г'(и, 1 + й — с; 1 + Π— Ь; к — ') +.
Г (с)! (Ь вЂ” а) — а Г (Ь) Г (с — а) !)( 5) — ЬЬ'(Ь, 1+ Ь вЂ” с; 1+ Ь вЂ” а; з '), (10.16) Г (а) Г (с — Ь) прп условии, что с 4= О, — 1, — 2 и разность а — Ь не равна цело- му числу плп нулю. УПРАсННЕНИЯ 10.!. Показать, что многочлены Якоби можно записать в ваде / л-(- от 1 1 Р!™(х) = ~ )/т( — л, и + р+ л+ 1; и + 1; —.
— 2 т) = » а » л+р 1 =-( — 1)" ~~ ) '~~ —, +0+ — 1; 0+1; — + — ). 2 2 102 '). Показать, что Р(а, Ь; а+ Ь + 1/2; 4з — 4зт) = Р(2а, 2Ь; а+ Ь + 1/2; з). 10.3, Пусть и — любое положптельное целое число. Используя метод 1 5.3 н рассматривая предельное внзченпе выражснвя Гх (а, Ь! с; з) 1 ~ !т(а,ь;сз) с — 1-лат Г 11 — а) Г (! — Ь) !" (с — а) Г (е — Ь) прн с — » 1 — т, доназзть, что второо рошенне гнпергеометрвческого ') дто — пример одного вз возможных квадратичных лрсабразаваний гнпергеометрнческой фувкцвн.
урввненвя в случае с = 1 — и имеет внд 5 ( 1)' ~Хс, (в )! +Хв вр(с+ и, Ь+ !и! 1+ т; с! !пс+ — и с"' 'чсм(асяс . с с=в гдв 1 Г (1 — с — т — с! Г (1 — Ь вЂ” и — с) Ри -(- сд ' !и„, = Е(1 — а — т — с) + ф(! — Ь вЂ” и — с) — 1с(1+ т -(- с) — р(1+ с), в 11. Обобщенные гипергеометрическпе функции 11.1. Если ввести оператор с( б=г— Ыс ' то гппергеомотрическое уравнение (10,01) принимает вид д(0+с — 1) га = г(0+а) (О+6) !е. (11.01) Оообщеяное гипергеоиетричеекое уравнение опрсделяетсн фор- мулой д(0+с! — 1) (О+сг — 1) ...
(О+с,— 1) !е = = г(0+а!) (д+аг) ... (О+а,)и, (1!.02) где е, и а, — постоянные. Это — линейное дифференциальное уравнение порядка шах (р, 7+1). Используя обозначения 11охгаммера (з 0.1), мы легко найдем, что решение с нулевым показателем в начале координат имеет впд РРс (а,, аи ..., ар! е„св ...,еч! г) =- (сс) (сс)с . (св) св (св),(с ! ...(с ) с! ' =2' (11.03) если ни одно из с, не равно отрицательному целому числу или пулю, п ряд сходится.
Для краткости эта функция обозначается через РРс(г). Когда р ( ((, рид (11.03) сходится при всех г, и функция ,Р,(г) — целая. В главе 7 мы подробно рассмотрим случай р = д = 1. Когда р = !7+1, радиус сходимостн ряда (11.03) равен единице. Вне единичного круга РРс(г) определяется с помощью аналитического продоижения. При введенных обозначениях функция в $!! ОПОБЩЕННЫЕ ГНПЕРГЕОМЕТРИЧРСКИЕ ФУНКЦИ11 213 214 УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫЬШ ОСОВЫМН ТОЧКЛМН !ГЛ. З Р(а, Ь; с; г), рассмотренная в предыдущих параграфах, имеет вид зр1(а, Ь; с; г).
Наконец, когда р ) у+1, обобщенный гипергеометрическпй ряд (11.03) расходится при ненулевых значениях г, если только хотя бы один из параметров ан аз, ..., а„не равен нулю или отрицательному целому числу. За исключением этих случаев рнд не определяет решения дифференциального уравнения '). У ПРЛЗКНЕНПЕ 11.1. Показать, что если и удовлетворяет дифференппальному уравнению и" + 1ю'+ Вы = О, то произведение любых двух решений удовлетво ряет уравненшо 1У"'+ 311)ь" + (2Р+ Р+ 4х) й" +.(4)д+ 2,"') и'= О. Исходя из етого, проверить тождество )) 3 з ' ) ' + 2 у~а, Ь; а+Ь+ 2,'зД =туз(2а, а+6,2Ь; а+Ь+ 2,2а+26;з) при условии, что 2а + 26 не равно пуп|о илп отрицательному целому числу (Кзьаузен, 1828).
й 12, Присоединенное уравнение Лежандра 12.1. В главе 2, 8 7.3, было показано, что многочлеиы 2)ежаидра Р„(г) нвляготся решениями уравнения Лежандра азы да (1 — гз), — 2г — + и (ьь + 1) ьы = О. (12.01) Это уравнение — частный случай присоединенного уравнения Ле- жандра дзи~ саа рз (1 — гз) —, — 2г — + ~у (у + 1) — —,, ~ ыь = О, (12.02) аз Вз ~ ' 1 — зз которое играет валеную роль в различных областях прикладной математики, особенно прп решении уравнения Лапласа в сферических полярных илн сферопдальных координатах. В больяшнстве приложений параметры у и )ь — целые числа, но мы почти во всех рассуждениях будем считать, что они изменяются во всей комплексной плоскости. Таким образом, мы смольем использовать для простого вывода основных формул мощный аппарат аналитического продолжения. Сначала заметим, что дифференциальное уравнение '(12.02) не меняется при замене )ь на — )ь, у на — и — 1 или г на — г, Поэтому с точки зрения отыскания общего решения достаточно по- ') Начало координат является иррегулярной особой точкой.
1 !2) ПРИСОЕДИНКННОЕ УРАВНЕННЕ ЛКЖИНЛРА 215 строить числонно удовлетворительное множество решений (Э 7) в полуплоскости Ве г ) 0 прн Ве )! ') 0 и Ве т ) — 1(2. Хотя налагать такие условия на переменную н параметры не нужно, на!пей первоначальной целью будет рассмотрение этих областей. 12.2. Особые точки уравнения (12.02) находятся в г = 1, — 1 я оо; легко видеть, что все они регулярны. В обозначениях Римана (12.02) принимает впд 1 ОЗ 1 !Р =.= Р )!!2 т+ 1 )!/2 з ( — )!(2 — т — р(2 (12.03) Пз 2 12.1 следует, что важпымп решенпямн этого уравнения являются: 1) решение, подчиненное в г = 1 прп Ве )2) 0 нлн р = 0; 2) решение, подчиненное в г = со при Ке т ) — 1/2 или т = — 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
