1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если же одно и то же ре-пенне является подчиненным в зг и в зк то для него в качестве второго злемепта пары можно взять любое независимое решение, поскольку оно обнзательяо будет доминирующим в точках зг пзк В области, содержапзей и регулярных особых точек, как правило, невозможно выбрать единственную пару решений, которая была бы численно удовлетворительной во всей области. В общем случае существует п подчиненных решений, и требуется детальнан информации о каждом из ннх для того, чтобы иметь удовлетворительную основу для построения всех возможных решений дифференциального уравнения.
ГипеРГеометРнческое РРивнГние 199 Важность уравнения (8.01) вытекает, в частности, из следующей теоремы, доказательству которой посвящен атот параграф '). Т е о р е и а 8.1. Л>обое однородное линейное дифу>ере>щиальное уравнение второго порядка, особые точки которого, включая бесконечно удаленную, регулярны, причем их число не превосходит трех, может быть >греобраговано в гипергеометрическое ураснение. 8.2.
Сначала мы построим уравнение второго порядка с>эш, Нш —, +1(г) — +у(г) =-О, имеющее регулярные особые точки в заданных различных конечных точках Е, Ч и Ь с произвольно заданными парами показателей (а>, аг), (р>, рг) и (Т>, Тг) соответственно ). Поскочьку единственными возможными особыми точками '(включая бесконечно удаленную) функций >(г) и д(г) явля>отса пол>осы, этн функции рациональны г).
Поэтому 1(г) =--, д (г) =- >)(, Ч)(г т) с (г г)г (г д)г (г т)г с тде Р" (г) и 6(г) — многочлены. Ксан бесконечность является обычной точкой, то, как мы видели в 9 6, функции 2г — гг1(г) и г'д(г) доллсны быть в ней аналитичны. В силу етого функции Г(г) и 6(г) — квадратнчны, а козффициент перед гг в первой нз ннх равен 2. Таким образом, А В С + — -' — ' э — г х — д ' г — ь (г — с)(г — т;)(г — ~) д(г)=. — + — +— В В р где А + В -,' С = 2. '(8.02) цтобы выразить постоянпые А, В, С, Р, Е и Р через заданные показатели, мы обратимся сначала к определяющему уравнению для Е, а именно: а(а — 1)+ Ли+ Р("- — т))-1(9 — ~)-> = О, откуда А=1 — а> — а„ (ь Ч) (6 Ь) 1111гг.
') Ср. также упр. 8.1 я 8,2. ') Прп этом автоматвческв рассматрпяаются я уразпенкя с менее чем тремя особымя точкамя, которые соответствуют тому, что мы выбираем заэчеаяя (О, 1) для одной вля более пары показателей. ') См., например, А. И. Маркуса е в и ч, Теория аналитических функцяй, т. 2, М., >паука>, 1968, гл. 7, 1 3. 200 УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫМН ОСОБЫМИ ТОЧКХЫИ (ГП. Х Аналогично, В = 1 р1 — рг Е = (11 — Ь) (0 — $) р1рг, С=1 —,— "(..', Р=(1 — 1)(ь — ц) В силу условия (8,02) шесть показателей нельзя выбрать пеза- висимымн; опи удовлетворяют соотношению аг+ сг + (11+ бг+ тг+ (г = 1.
(8,03) Искомое д~грференцпалы|ое уравпоппе прпнпмает теперь вид — г(г х (: ' (" -'( -) — 0 (804) (г -- Ь(г — я) (г — Вг Это уравногте называется уравнением Паггггерггтг(и илн Римана. В обозначениях Римана уравнение (8.04) можно записать как 1 ъ 1( и:=::Р а ((г айаг бг Особые точки указаны в верхней строке; порядок пх расположения не существен. Под ними расположены столоцы соответствугощих показателей, причем порядок в каждой паре такяге не имеет значения.
Тем же самым методом легко проверить, что явная форма уравнения г иг =-Р(аг г"1 тгг, аг гг 7? т. е. дифференциальное уравнение, имегощее регулярные особые г точки в Ц, Ь и на бесконечности, записывается как г .г +~'" " "+Р,Р.,+"'-' "( "' . 0, (8.05) г — з " г — 4 ) (г — Ц)(г — 4) если снова выполнено услоние (8.03). Легко видеть, уравнение (8.05) является предельной формой (8.04) при т(-г ОО.
8.3. Теперь мы преобразуем уравнение (8.04), взяв новые переменные Иг == à —" (1 — () — т иг. (8.06) (й — 4) (г — 10 ' 201 гппеггеомктепчгское уединение Первое из этих соотнощещгй определяет дробно-линейное преобразование, которое взанхггтЬ однозначно отображает з-плоскость на [-плоскость. Дифференциальное уравнение в переменных И' и 1 также имеет второй порядок и линейно. Вго особымп точками служат те, котоРыс соответствУют з =- ьь, з! и с, т. е. ! = О, со и 1 соответственно. Пз 2 6.1 следует, что зти новые особые точки регулярны (или, возможно, явгмпотся обыкновенными то и!ах!и), а из второго соотношения в (8.06) вытекает, что новые пары показателей имеют Впд (О, аг — а!), (Уз!+а>+з[!, ~лабас[-'[~), (О, Тз — Ъ) соответственно.
Рассу!ггдезгпя 8 8.2 показываиот, что дифференциальное уравнение однозначно определяется указанием особых точек п значений (пяти) показателей. Следовательно, походя из (8.06), мы можем сразу написать новое уравнение '+ ' ' ' ' " ' И'=О. (8.07) ! (! — !! В силу (8,03) зто уравнение имеет вид (8.01), где а = — а! + Р! + 7!, Ь = а! + [[г + 7ь с = 1 + а! — аг. Проведенное исследование включает и случай трех конечных особых точек. Лналогичным образом дифференциальное уравнение (8.05) можно преобразовать в (8.07) и, следовательно, в (8.0[). Этим заверп!ается доказательство теоремы 8.1. УЛРЛ7!!Пй!!1И 8.!.
Показать, что но существует однородных дифференциальных уравнений второго порядке, ве няекзн!нх но одной особой точки. 8.2. Показать, что:побое однородное дифференцкальное уравнение второго корядна, нс вмеющее иррегулярных особых точек и содержащее одну нля две регулярные особые точки, может быть решено в замкнутом виде я выражено через элементарные функаин. 8,3. Доказать, что если р~ + рз+ Ъ + тз = 02 те О ы ! р 'з т~ =- р т, 28 т - [Рамзя, !887!. ! [, р,„~ т, 2В. т, 8.4. Показать, что самое общее однородное лянейяое дкфферояцвальноо уравнение второго порядка, имеющее регулярные особые точки в различаых точках $ь $ь ..., $ к не имеющее других особых точек, записывается з анде 202 УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫМП ОСОБЫМН ТОЧКАМИ (ГЛ.
5 где постоянные а., (). я л, удовлетворяют условиям ~чд~ (а + б ) = л — 2, ~Ча я = я~я (л,с, + и,р ) = ~(Х,с", + 2и,(),с,) =О. Суммирование вссоду ведется от с = 1 до с = л. [Клейн, 1В24). В 9. Гипергеометрическая функция Г (а, Ь; с; г) == а(а+1) ... (а+с — ОЬ(Ь вЂ” , '1)... (Ь-';с — 1) с (с + 1)... (с -',- с — Ц с) , —.о (9,ОЦ при условии, что с не равно пуд)о плн отрицательному целому числу. Этот ряд, очевидно, сходится при (г) <1, как мы н ожидали, и называется гипергеометрическим рядозс. Его сумма г(а, Ь; с; г) называется гипгргеолсгтрической функс(игй. Обозначение Р(а, Ь; с; г) является стандартным для главного решения гппергеометрического уравнения, но удобнее излагать последующие результаты в терминах функции (9.02)) Г(а, Ь; с; г) = Р(а, Ь; с; г)/Г(с), поскольку это приводит к меньшим ограничениям и более про- стым формулам.
Вбльшая часть результатов будет переформули- рована для функции Ь*. Из (9.01) и (9,02) имеем Р(а, Ь; с; г) = ~~,(', ' — ((г! 1), (9.03) (а),(Ь) с=о где для краткости мы использовали обозначения 11охгамсяера (а)о = 1 и ',(а). = а(а+1) (а+2) ... (а+г — 1) (г = 1, 2, ...). (9,04)' В отличие от Р(а, Ь; с; г), функция Г(а, Ь; с; г) существует н удовлетворяет уравнению (8.01) при всех значениях а, Ь и с; используя (9.03), легко проверить, что когда и — положительное 9 1. Решения в виде рядов уравнения (8.01), справедливые в окрестностях точек г = О, 1 нли оо, мололо построить прямым применением методов 22 4 — 6.
В частности, оказывается, что решение, соответствующее показателю 0 в г = 0 и прпнплюющее значение 1 прк г = О, имеет вид гггпвггеомктгггч!ескля Функция доз г з) целое число пли нуль, Г (а, Ь; — и; г) = = (а)„г(Ь)„„гг"+'Г(а+и+1, Ь+и+1; п+2; г) = = (а)„чг(Ь)„.,гг"+гр'(а+и+1, Ь+и+1; и+2; г)гг(и+1)).. '(9.05) Следовательно, при зтпх нсклгочптельяых значениях функция Г(а, Ь; с; г) соответствует показателю 1 — с, а не О. Вне круга )г( ( 1 функция Г(а, Ь; с; г) определяется с помощью аналитического продолжения. Результаты зз 4 — 6 показывают, что если г-плоскость разрезана вдоль действительной оси от 1 до +со, то особенноетялш глбункции Г(а, Ь„с; г) лгогут быть лишь точкн ветвления (или полюсы) ггри г = 1 и г = оо.
Разрез выделяет злавнуго ветвь Г(а, Ь; с; г). Другие ветви получаются в результате аналитического продолжения через разрез; для них г =- 0 является в общем случае особой точкой. 9.2. Ыы можем рассматривать Р(а, Ь; с; г) п как функцию а, Ь или с. Теорема 9.1.
Если значение г фиксировано и не равно О, 1 или сю, то любая ветвь Г(а, Ь; с; г) является целой функг)ией каяедозо из параметров а, Ь и с. Для главной ветви при ) г ( ( 1 этот результат проверяется исходя пз определения (9.03): существование ггалгорггрующего ряда показывает, что ряд сходится равномерно в любой ограниченной области изменения комплексных значений а, Ь и с.
Обобщение на )г) 1 и другие ветви производится непосредственно с помощью теоремы 3.2; любая точка из единичного круга, отличная от начала координат, может быть выбрана а качестве га в условии 4) этой теоремы. Точки г = О, 1 и оо исключаются в формулировке окончателынгго результата, поскольку функция Г(а, Ь; с; г) может в них пе существовать г). 9.3. Многие хорошо известные функции выражаются через гкпергеометрлческую функцию.
Например, главная ветвь (1 — г) является также главной ветвью Г(а, 1; 1, "г). Другие примеры приведены ниже в упр. 9.1, 9,2 и 10.1, Частный случай при а = 1 функции (1 — г) ', приводящий к равенству 1+г+г'+... = Г(1, 1; 1; г), указывает на происхождение названия зиперзеометрическая. 9.4.
Интегральное представление для Г(а, Ь; с; г) можно найти с помощью интеграла для бета-функции из главы 2, $1.6. Предположим, что Вес)йеб)0, (г! (1. ') Для главной ветви точку г = 0 можно ве исключать, так как Г (а, Ь, гд 0) = ИГ (с). 204 уРАВнкння с РеГуляРными Осовыми точкАми 1Гл 5 Используя символы Похгаммера (9.04), имеем Ю Ъ „ (с)э Г (Ь + ) Г(а, Ь; с; з) = — т, з — ' Г (Ь) ~ *1 Г (с=с =-,,(,( ь) з~м з' —,,' ~1'' '(1 — 1)' 'г)1, (9 07) э=с э где для 1'+' ' и (1 — 1)' ' ' берутся главные ветви.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
