1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пусть чясло К больше Р н Ср. С помощью формулы Кошл н пндукцпп проверить, что )г.)» Ь„г = О, 1, 2, ..., где Ь~ = (аг), Ь| = )а~) н г(г — 1) Ь, = К(гЬ, 1+ (г — 1) Ь, гр '+ (г — 2) Ь,=гр '+... + Ь,р *г'), когда г '= 2. Вывести также соотвошенве г(г — 1) Ь, — (г — 1) (г — 2) Ь„~р ' = КгЬ,, (г ~ 3) и па его основе прямым вычнсленнем доказать, что радяус сходпмостк рязз 13.01) не меньше г'). 3.4.
Показать, что любые две точки области можно соедннять простой Кг-лугов, лежащей в области. 4 4. г(лассификацггя особых точек; свойства решений в окрестности регулярной особой точки 4Л. Если функции 1(г) и д(г) аналитпчны в точке г = го, то она называется обыкновенной точкой дифференциального урав- нения ага~, '' жг —, + 1 (г) — + д (г) ш = О.
(йг.01) ') Эта процедура является методом Коши доказательства существовання решения. Если - = з не является обыкновенной точкой, не фупкцпп (г — го)дх) и (г — го)гК(г) в ней аналвтичны, то го называется регулярной особой тоской плп особой точкой первого рода. Наконец, если гз не является ни обыкновенной, ни регулярной особой точкой, то она называется иррегулярной особой точкой или особой то~кой второго рода. Если особенности 1"(з) и К(г) в точке го не сильнее полюсов, то го называется особой точкой ранга 1 — 1, где 1 — наименьптее целое число, для которого функции (г — го)'~(г) и (г — го)мК(г) аналитнчны.
г акпм образом, 190 уРАВнения с РеГуляРными осевыми точкАми (Гл. з регулярная особая точка имеет ранг, равный нулю. Коли хотя бы одна пз функций Дг) нлн д(г) имеет в зо существенно особую точку. то говорят, что ранг равен бесконечности. В 9 3 мы покааали, что в окрестности обыкновенной точки дифференциальное уравненпе имеет линейно независимую пару голоморфных решений. В этом параграфе н в 9 5 мы построим в окрестности регулярной особой точки решения в виде сходящихся рядов.
Для нррегуляряых особых точек такого построения в оощем случае сделать нельзя; исследование этого более сложного случаи мы отложим до глав 0 и 7. 4.2. Вез потери общности можно считать, что регулярная особая точка находится в начале координат. В соответствии с этим мы предположим, что в окрестности (г! < г существуют сходящиеся ряды еГ(з) — ч 1,г', 'а( ) =- ~ я.з'", (4.02) .— о о.—.о где хотя бы один из коэффпцяентов ~о до и д~ отличен от нуля. 51ы можем ожидать, что решения нмшот внд, который полу- чается, если заиенпть 1(г) и а(г) главными членами разлоокений (4,02); таким образом, аоо бо ьо ео + — о — + —,и иг =.=.
О, г ао о'г Точными решениями этого уравнения служат фуошцип ю = з", где а — корень квадратного уравнения а(оо — 1)+~он+до = О. '(4.03) Поэтому в качестве возможных решений уравнения (4.01) мы выберем ряды ио(е) = — г" ~ а,г', о=.о (4. 04) в которь|х а является корнем онределяюигего уравнения (4 03)', Два возможных значения а называют показателями особой точки. Подставляя (4.02) и (4.04) в дифференциальное уравнение иформально приравнивая коэффициенты при г""' г, получаем ч(а+ а)а, =- — ~ ((со+ 1)1о —,+о, о)а, (г =-1, 2...,), (405) у=о где через ()(а) обозначена левая часть уравнения (4.03). Уравнение (4.05) рекуррентно определяет аь аг, ...
в терминах произвольно заданного (ненулевого) значения ао. Этот метод неэффективен тогда и только тогда, когда Д(а+ е) обращается в нуль при некотором полояоительном целом значении з. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК 191 эц Поэтому, если корни определяющего уравненпя различны н нх равность не равна целому числу, можно проверить, что два ряда вида (4.04) формально удовлетворяют дпфференциальному уравнению. В других случаях существует лишь одно решение такого типа, если только правая часть (4.05) не обращается в нуль при том же самом положительном пелом значении г, при котором 13(и+г)= О.
43. Теорема 4.1 '). В обозначениях и нри условиях 4 42 ряд (4.04) сходится и определяет в круге (з) ( т решение диф4еренииального уравнения (4.01), если другой показатель имеет вид, отличный' от и+ в, где г — аолохеительное иелое число. Пусть р — любое число, меныпее г, а число К больше, чем гпах /з/(х)), 1пах /з-'д(г)). ! г ~=о ~ г 1=-о Тогда иа формулы Коши вытекают следующие неравенства для коэффициентов рядов (4.02): !И =Кр ', Ы) ~К Обозначим чергз р второй показатель и пусть п — = ((и — 3(1. Определим Ь, равенством Ь, = )а,) прп г = О, 1, ..., п и условием 5 — 1 г(г — (сс — Р()Ь,=К ~ ((сс(+1 — 1)Ь;р' ' (4.06) при г') и+ 1. По индукции, используя (4,05) п тождество (т(сх+г) =г(г+ и — р), можно проверить, что /а.) ~ (Ь,. Если в (4.06) заменить г на г — 1 и вычесть полученное уравнение из (4.06), то можно убедиться, что мажорпрующне коэффициенты Ь, также удовлетворяют более простому.
рекуррентпому соотношению Рг(г — ~а — 6~)Ь. — (г — 1) (г — 1 — )а — 6) )Ь,, = =К()а)+г)Ь,, (г)и+2). Деля обе части равенства на ггЬ. н полагая г-+-со, мы находим, что Ь.,!Ь.-~ р, а это и означает, что радиус сходимости ряда ХЬ,г' ранен р. Поэтому в силу признака сравнения радиус сходнмости ряда (4.04) не меныпе р.
Л поскольку р можно выбрать как угодно близко к т, то этот радиус сходимости не меньше т. Хорошо известные свойства степенных рядов указывают на то, что подстановка и ') Фробениус (1873). Сравните доказательство с методом Коши, намеченвым в упр. З.З. 192 уРАВнения с Регулярными ОсОБыми точками 1гл почлешюе дифференцированно, использованные в 9 4.2, имеют оправдание, и поэтому ряд (4,04) является решением уравнения (4.01) при (г) ( и. Доказательство закончено. Если и — неотрицательное целое число, то рептепие с показателем сс аналитична в г = О.
Когда сс — отрицательное целоечисло, решение имеет полтос, а когда я — нецелое число — точкуветвления. Если разность показателей не равна целому числу, то снова можно дважды применить теорему, и полученные решения ооразуют фундаментальную пару, причем по крайней мере одно пз решений имеет точку ветвления в особой точке. УНРЛжННННН 4.1. Найти в виде ридсв независимые решении уравнении 13 г~ (г — 1) и~" + ~ 2 г — 1 ).в' + (г — 1)м = О: 1) в окрестности и = О, 2) в окрестности г = 1. 4 5. Второе решение в случае, когда разность показателей равна целому числу плн пулю 5.1.
Предположим, что сс и 5 — корни определяющего уравнения (4.03) и а — 5 = п, где и — положительное целое число плп нуль. Теорема 4.1 дает решение ю,(г) = г ~ а,г. (5.01) с=с т1тобы найти второе независимое решение, мы используем стандартнуго подстановку, прпводящуто к поннжеии|о порядка дифференциального уравнения, если одно решение известно: Тогда '', 59 Р" (и) + ~2 — '+ ((г)(Р'(г) =-О.
и>~ Сп Рассматривая это выражение как дифференциальное уравнение первого порядка относительно и'(г) н используя (1.02), мы получаем Р(г) =-~ . ехр~ — ~~(г)г(г йг, 1 (мт (г))г ВТОРОЕ РКШЕНПП 1 5! 5.2. 1оаковы свойства решения йо(г) — = йс(г)Р(г) в окрестности точки г = О? Из (чь02) и (5.01) вытекает, гго , ехр~ — )1(г) с15) =.-. 1 I ехр ) — )о 1п г — )сг — —, сего — ...), !ие у лс а из (55.03) — регенство со = 1 — а — р = — 1+ и — 2и.
Следовательно, 1 ( (' ) фй) (" ~-'!)е , ехр! — ( 1(г) с!гт где функция ср(г) аналитична в точке г = О. Пусть ряд Макло- рена для ср(г) имеет вид ср (г) =-= ~ ср,г', —.о где коэффициенты ср, выралсасотся через а,, н сс.; в частности, ср„=-11агок Интегрируя г' "-'ср(г) и умноясая результат на йс(г), мы получаем п — с йг(г) = и,(г) —,, ' + ср„!пс-'; е=о е —.-и-С.! (5.02) Если и = О, т.
е. пссказатесссс совпадают, то (5.02) имеет вид й (г).—.— срой, (г) )и г + г" ьс )' Ь,.г', (5.03) Так как фо не равняется пулсо, функция йо(г) имеет в особой точке логарифмическую точку ветвления и йг(г) (г 1п г))ао (г->.0). Если же и — положительное целое число, то (5.02) принимает вид йг(г) = ср„й,(г)!л г+ г' ~', с,г'. (5. 04) о Свободный члея в последней сумме определяется равенством со = — аосро/п = — 1/(пао) и всегда отличен от нуля. Таким обрааом, исг(г) — — гь((нас) (г -с- 0) .
1З Оо. Олеер 194 уРАВнения с РегуляРнылп1 осоеыыи точкАъп1 ° сгл 5 Моясет случиться, что ср„= О, и в атом случае слагаемое с логарифмом в (5,04) отсутствует '), Поскольку единственными возможнымн особыми точками решений сос(л) и исг(х) являются особые точки функций /(5) и л(5), радиус сходимости рядов (5.03) и (5.04) не меньше, чем расстояние от начала координат до ближайшей особои точки функций 5/(5) и згд(5). После того как вид второго респения выяснен, пе нмеетсмысла использовать описанный выпсе метод для вычисления коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
