1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 30
Текст из файла (страница 30)
8.2. В качестве второго примера расслштриы интеграл 1 (х) = ) Р,з ) с(1, (8.02) сзх в котором х — положительно и велико, путь интегрирования проходит выше начала координат, а функция см непрорывна и принимает главное значение при 1«- +оо. Естественный выбор р(С) = 2)п д д(С) = ехр( — сг) не дает точки перевала. Вспоминал метод 6 7.5 главы 3, мы вместо нее будеы искать точки, в которых осбращается в нуль производная всего подынтегрального выражения.
Для них получается уравнение 21ехр( — сг)1 ы+ 2х ехр( — сг)1 г -' = 0 с корнячи 1= .+-Псх. Поскольку наша теория применима только в случае, когда точка перевала не зависит от параметра х, мы запевны переменную интегрирования 1 на 11х и получим 1(х) =-...
~ е ""' ссс, (8.03) где р(с) = — сг+ 2!и д (8.04)' Новые точки перевала находятся в С = +-1; обе они — простые. В качестве возможного пути пвюегрировавня рассмотрим прямую линию, проходящую через точку 1= 1 параллельно действительной осн, причем соответствующая деформация при 1 = +со справедлива в силу теоремы Коши. Полагая 1= с+ т и замечая, что иа новом пути логарифм в (8.04) имеет главное значеяне, мы получаем р(1) = — '1 + 2ст + тг+ 2 1и с + 2 1п(1 — 1т), откуда Ве(р(1)) = — 1+ т'+1п(1+1с). Эта величина достигает минимума при т = 0; следовательно, условие («с) из $ 7.3 удовлетворено, так же как и остальные четыре условия. В обозначениях з 7.3 имеем Хв = с, рЯ = — 1+ 1я, р" (1) = 4, р"'(с) = 41, рм'(с) = — 12. ~ГЛ. 4 188 контугныж ннтнгрллы Формулы (7.00)' дают а, =- 1/2)/ 2 и а, = 1/24) 2; применяя к (8.03) теорему 7.1, получаем искомый результат: Е(х) е ""'(2 ) ( — ) (1+ —,+...) (и — ь-оо). Этот результат можно проверить, воспользовавшись разложением (810) главы 3: выбирая — /з в качестве новой переменной интегрировании в (8.02) и используя интеграл Ганкеля по петле (глава 2, формула (1.12) ), мы найдем, что УПРАЖНВНИЯ 8.1.
Получить результат упражнения 7.1 из главы 3 методом 1 81, используя в качестве пути иитегркрованпя окружность, имеющуго диаметром отрезок [е ", е"). 4х( 82. Пусть/(х] = ) ехр( — 2хы — — )абгде параметр х положителен, а путь пнтегрпроеання проходит выше начале координат. Используя путь, состоящий вз частей действительное осн, лежащих вне единичной окружности, вместе с верхней половиной этой окружности, показать, что /(х) = п1/з (бх) г/зезх+згхт з (1+ 0(х г)) (х- сэ) [Ловерье, 1966). 8.3.
Доказать. что если путь ннтегрггрованкя проходит по мнимой осн, а подынтегральпое выраженве принимает главное значение, то для больпппс положительных х 1 ехр ( — хгт) о/ /я "ехр (- —, е" ' г) г / 1 тх 2 с относительной ошибкой 0(е '*). 8.4. В интеграле Е (з) = ) ехр ( — з (П вЂ” 2П)) созесн (1+ гз) хг точка перевала т = 1 совпадает с полюсом подынтегрального выражения, Вычитая свнгулпрную часть (1 5.2), показать, что пг/т 11 пг/з Х(з) =е *! —.
+ — — —, — + О( —. ! 2 4,г/г Еб,з/з ~,з/з/~ при з — ь со в секторе (агяз( ( (л/2) — 8(( я/2). Является ли зта область справедливости разложения максизгальнойг Функции ввсселя 5 91 в 9. Функции Бесселя прн больших значениях аргумента н порядка 9.1. В этом параграфе теория, развптая в аз 6 и 7, прпмспяется к выводу двух важных разложенпй для функцпп Бесселя Х,(з). В качестве отправного пункта мы выберем контурный интеграл (9.13) из главы 2. Заменяя в нем т на — 1, получаем Х„(г) =.. —,—, ~ е' ""1" й ()агйг)( —,~. (9.01) Предположим сначала, что и и з — дсйствптельныс плп комп'лексные числа, прячем и фиксировано, а значенпе )г) велико.
Точки перевала находятся в нулях функцнп сй 1, т. е. в точках 1 = -~-л112, ~3л1/2, ... Путь пнтегрированпя можно деформировать так, чтооы он проходил через любое чнсло этпх точек, но не очевидно, как выбрать путь, па котором фупкцин Йе(ззй с) достигает минимума в одной илп более точках перевала. Поэтому мы воспользусмсн соображенпямн з 7.2 н будем отображать полосу 'А.Ау - .-- Ы Ес Рис.
ц1. пплоскость. 0 ( Пп 1: п (которап содсржпт одну пз точек перевала) на плоскость переменной и = аЬ 1 — й Отображение характеризуется следующими свойствамп: а) Положптельная действительная полуось Е переходят в прнмолинейньш отрезок 1ш и= — 1, Бее~0. Ь) п е72 кри Пег- +ос. с) Увелнченне 1 на п1 меняет знак и. оп Й) Производная — действптельиа па мнимой оси н меняет ю 1 анак прп 1 = — яг. 2 1 е) п —,1~1 — — п1~ прп 1 л,. 2 1) Картннкн на мнимых осях совпадают. Соответствуюгцпе точки в обеих плоскостях пзображены на рнс.
9.1 — 9.3. Образ а и-плоскости состоит нз двух листов, причем кОнтуРные иптиГРАлы 170 переход от рис. 9.2 к 9.3 происходит через пунктирный прямолинейный отрезок ВС. Положительные действительные полуоси (рпс. 9.2 н 9.3) отображаются иа кривые СВ и СЕ, изображенные на рпс. 9.1. В качестве возможного пути интегрирования для интеграла (0.01) мы возьмем всю крпвуто ЕСВ вместе с сопряженной кривой ВСЕ +г е(-В Е 1'яс, 9.3. о-плоскость 2). Рпс. 92.
и-плоскость 1). '(тагоке указанной на рпс. 9.1). Очевидно, что Вео достшает минимума на кривой ЕСВ в точке С, Если б — произвольное достаточно малое положительное число и величина О=— агд з ограничена условием (О( « (н/2) — 6, то выполнено условие (Ъ') из 9 7.3. Легко впдетть что остальные четыре условия также удовлетворены, и тео)оетча 7.1 приводит к разложению е ' ь' с"сВ 2е " ~~ ~Г( + —,) — -',' (902) -ьп~ . =о при г-ь оо в секторе )агаве! ~ (я/2) — б. 9.2.
Следующая задача состоит в вычислении коэффициентов а„, Она сводится к упражнению по теории тригонометрических рядов. Пз формул (6.08) и (6.09), где Л=1 и р=2, мы имеем то (9.03) ь.—.-о Положим 1 = (н)/2)+т, так что о = 2)з)то(т/2). Неравенство (7,07) выполняется при со = — я/4, юо = л/2 и ) агах/ (я/2) следовательно, равенство агд т = 0 соответствует условию агд о=я/2. Поэтому правнльный выбор ветвей в (9.03) приводит к соотнотпенпто а,егаоь2нз ~з)1 —," / .
2ы,ь( 72),, ' 2 '1'ак как нам нужны лишь коэффициенты а„с четными индексами, мы заменим т на — т и рассмотрим среднее двух разложений; Функции Бесселя % 91 тогда О(2Ч вЂ” 1)Л1/1 св тт т ~М = ~~ аз,(2()'~зн 2 ) ° 21/2 СВ (т/2) Лл/ (9.04) Если обозначить зЬ (я/2) через р, а левую часть '(9.04) через Р(у), то по теореме Тейлора Р/ги)(о) а„=— (21)' (2О)! (9.05) Значение ае можно получить, положив т = 0 в (9.04). Далее, используя (9.05) и (9.06), мы приходим к искомому общему выражению (491 11) (4та За) ((49О (ОО 1)1) О(2У вЂ” 1)л / а„— (2 )1 (20' 202 Возвращаясь к (9.02) и используя формулу удвоения для гамма-функции, мы находим, что е *'"+' /(( ~ — ) ехр((1~ —,„ул — — — 2)) +л1 2 (9.07) где А, (т) — ";, . (9.
08) (492 — 41) (49Π— 31) ... (49Π— (2Π— 1)1) Соответствующее разложение для интеграла вдоль пути, идущего от — со — л1 к оо, получается из (9.07) при изменении знака перед 1'. Подставляя зти результаты в (9.01), мы получаем искомое асимптотическое разложение, причем в составном виде ,/ (2) ( ~ СОЗ ~2 — УП ~ л ( 1)5 (,лх /1 1( ~ 2 з.=з л) ЛХ1 42, -ь1 (т) — з(п ~2 — — тп — — ),~ ( — 1)' 2 4/ ль/ зе+1 в=-О (9.09) Непосредственное дифференцирование показывает, что (1+уз)Р" (у)+ЗуР'(р)+(1 — 492)Р(у) = О.
Дифференцируя зто уравнение 22 — 2 раза с помощью теоремы Лейбница и полагая у = О, мы находим, что Р'2'(0) =(4ув — (22 — 1)2)Р'2' 2'(0), 172 КОНТУРПЫБ ИНТЕГРАЛЫ при з-~. оо в секторе )агдз) ='(л/2) — б((л/2). Это разложение получено Ганкелем (1869). 9.3. Область справедливости разложения (9.09) можно расширить, взяв новьге нутн интегрирования, как в з 1.2 и в доказательстве теоремы З.З. Используя теорему Коши, можно деформировать путь ЕСВ на рпс.
9.1 до совпадения с путем, ооразом которого является луч агро = — б, в предположении, что ))~( — Зч/2, л/2). Последнее условие необходямо в связи с тем, что ь' как функция переменной о Имеет особенности на лучах агй о = Зл/2 и агя о = — л/2. Для каждого допустимого р интеграл вдоль нового пути является аналитическим продолжением в сектор)аглае 11) ( ( л/2 интеграла, стоящего е левой части (9.()7).
На новом пути условия 4 7.3 Выполняются, если предположить, что 6 с=- ( — (л/2)+ ~+6, (л/2)+ ~ — Й. Ф Яг Следовательно, правая часть (9.07) ;шет асимптотическое разложение Рис. 9.4. Путь иитегрироваиия аналитического продолжения ннтегдои 1,(т/сьи). рава, стоящего в левой части, при условии — 2л + 6 ( агп г ( л — б.
Соответствующее расширение области справедливости разложения для интеграла вдоль пути В6Е дается неравенством — И+6(агя з(2Л вЂ” б. Поэтому асимптотическое розлолсение (9.09) справедливо в пересе1енпн указанных секторов, т. в. в области )асям! ( л — б, 9.4. Теперь мы рассмотрим функцию 1,(з) в случае, когда з = т аесй а, где а и т — действительные положительные числа, причем а фиксировано, а т велико.
Меняя знак в (9.01), имеем -1-и! ./т(у еесЬ и) =,—, ~ в чина)Г, зл1 где р(1) = à — зесй а зЬ 1. '(9. 10) Точкамн перевала являются теперь корни уравнения сЬг = = сЬ а, которые имеют вид Г = ~а, ~а-Ь2ль, ~а~4л,... Наиболее удобной точкой является а; в качестве возмогкиого пути интегрирования мы рассмотрим тот, который изображен на рнс, 9.4. На вертикальном отрезке Г = а+ гт, — л -т(л, имеем Не (р(Г)) = а — 1Ь а соз т)а — 66 а (т и О). На горизонтальных частях 1 = а~лг+т, 0(т(оо, имеем Не (р(1) ) = а+т+зесЬ а зЬ (а+т)')а+ьй а. Поэтому Ке (р(Г)) достигает минимума иа пути интегрирования Фътгкции Бесселя с 91 в точке а, так что выполняется условие (Ч) нз 9 7.3.
Остальные четыре условия така:е выполнены, и, применяя теорему 7.1, мы получаем — т/а.— ш а! а-в / 1 у а, ,/т(тзесЬа) ьчсГ(в+ —,),+с/з (т- оо). в=о В отличие от (9.09), некого общего выражения для коэффици- ентов нет. Однако порвьге два члена легко найти из (7.06). Диф- ференцирование выражения (9ЛО) дает р (а) = р'"(а) = — бй сс, р'а(а) = — 1. !!оскольку ш=л/2, правильный выбор ветвей для степеней р" (а) определяется условием лгд (ра(а) ) = — л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
