1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Прп )> = О неравенство (2.01) дает оценку (а — )) (а — 2)... (а — е) ) )г) — (а — п — )) справсдливу>о при — и < О < я и ) г) ) а -- и — !. Та>г как е„(г) — непрерывная функция О в интервале ( —:)и/2, 3>л)2) н правая часть (2.06) не аависнт от О, то порвос пз указанных условий может быть ослаблено до — я ( О < я. Таин>> ооразом, достаточные условия справедливости оценки (23)6) иг>с>от внд !г)) а — и — 1'~ О, )атдг) < л (2.07) Далее, взяв р отличным от О, мы получим оценки для (е„(г) (, которые применимы в секторах п<)О! <Зп)2.
Этн оценки становятся бесконечно болыпими, когда О приближается к -~-Зя)2; однано зти случаи имеют лишь теоретический интерес, поскольку на практике для вычисления Г(а, г) вне области агп г е= [ — я, я1 используется формула продолжения (5.06) главы 2. Основная проблема пря анализе остаточных членов состоит в вьшисленпп нлн оценке величины о„(3). 2.3. Предположим сначала, что и < сг — 1 (что может быть лишь в случае а ) 1). Из (2.03) получаем г)в() те2тсоз)) ! т ) т оч ф) — -- (и — и — 1) впр > ',, ' ' ).
(2.05) гааз, )( 145 5 2) НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦПН 2.4. Прелполоткпм теперь, что и ) а — !. Вгтесто '(2.05) писем ов(р) = (и — а+1)о(р), где о(()) = апр ~ — ' ) =- зпр г — —,!п(1+2тсозр+т ) . )п (1+ т (т ( 1 г вта <= — В )ь (2.08) Ясно, что если )р) = я(2, то о(р) = О. Полагая р = О, мы получаем оценну ) (а — 1) (а — 2)... (и — и) ) ев(г)) ( )й тг>а — 1, )О) < —,. ). (- — -2 (2.00) при тг ) сс — 1, л(2 = (О! ( а, ) г( (и — се+ 1) о(0), т!<те(тент<по аначепие о(0) можно получить из определятощей о(()) формулы (2.08) (его можно заттенттть оценкой сверку, приведенной в упр.
2.3). Правая часть (22!'1) ведет себя аснмптотическн как ( (а — 1)... (а — и) г ") при ! г ! — в оо. Следовательно, оценка (2.11) лучше, чем (2.10), когда значсппо )г! достаточно велико, а именно, когда (и — а -'-1) и (О) (*~ 1 — )в<па( Противоположное утверждение верно, когда )г( не слишком велико; деттствттт<ттьтто, оценка (2.11) неприменима, если )г/ =(и — сс+ 1)о(0).
Обо формулы, (2.10) и (2.11), теряют смысл, когда О приближается к +-и, поскольку тйп О обращается в нуль п значение о(0) становится бесконечным; однако удобные оценки в этой области можно получить, выбирая другие знач<нпе ~б в (2.04). Например, значение )3 = Злт(4 приводит к приемлемым оценкам 10 Ф. Олвер Другпмп словатпт, прп этак условиях остаточаый член ограничен абсолютным значением первого отброшенного члена разложения.
Гели л(2 ~ О ( и, то мы можем положить Р = лт<2. Тогда )в)пыпО (2. 10) Прп замене зтпО па (зтп0( этот результат остается справедливым и при — и =' 0 ~ — л(2. С другой стороны, мы можем снова положить р = О. В этом случае .)(а — 1)(а — 2) ...
(а — и)( 1 (2 1!) )=) — (ее — а -;1)<100 )-)в — т тйб коегтуРнык 1>нтлгрллы ьгл. ь ПРП ) з)соз(0 — (Зл/4) ) ) (и — и+ 1) о(Зч/4) (и =- и — 1); в частности, зтим охватывается верхний берег отрицательной действительной полуоси слева от точки — 2" (и — а+ 1)о(Зл/4). УПРДлйпй: ИЯ 2 Е В уир. 02 главы 3 дано асимптотическое разложение ддя еггс х. Канона область сираведлизости итого разложения в комплексной илоскостис 2.2.
Доказать ддя обобщенной ивтщ'радьиой иоки.>атедьной фуикдии (глава 2. уир, Зб) ири фиксированном и и болыиом )х) и области )агре) «.. ( (йл/2) — б(<вл/2) формулу у ( 1) ° и>и — 'Л) ...(вфл--Ь) х 23. Пщьазать, что ири и/2 ( )3) ( я число о((>), определенное равенством (2.>>8), удоиле>воряет услов>ио )вес р)!и()соево Р!) ~ о(й) л 2)вес б)1и ()совсс(>)) (Олиер, 10<>ба). й 3.
Лема>а Ватсона 3.!. Если з — комплексный параметр, то интеграл Х (з) =. ) е —" д (Ь) дз (3.01) известен в операционном исчиьлепии Рл>;ь названием преобразования Лапласа функции у(1). Его часто обозначают через Ы(Ч) пли ь)(г), а в работах по операционному исчнслениьз з обычно заменя>от переменной р; таким <>бразоьл, Ы'(у) =- ~ е-"'у(ь) дй О Еьнь>ь (3.01) сходнтсл прн некотором значении з, естественно ожидать сходимости также и в случае, когда зкспоненциальный множитель под знаком интеграла убывает быстрее. Теорема 3.1. (Деч (1950), стр. 35 н 549).
Пусть й(1)— действительная или комплексная фу>ькоьья положительной действительной переменной 0 которая разрывна или обращается в бесконечььость в конечном числе точек. Если интеграл (3.01) сходится при з = зс, то он сходится и при Ве з» Вего. Доказательство аналогично рассуждениям главы 3, 2 3.2. Положим у) (1) =- ~ е — и д (и) до; о 44т лвмых Влтсонк функция (т(1) непрерывна п ограничена на [О, оо).
Если Нег ) Пего, то « ! е — "ц(Г) дг —... (г — г„) ~ е — ' — "И(т(г) ~11. о о Поскольку функция !Д(г) ! ограничена, интеграл в правой части сходктся (абсогпотно) и, слодовательно, сходится интеграл в левой части. 3.2. Из теоремы 3.1 вытекает, что для 1(г) в комплексной области могут имать место следующие три возможности: а) 1(г) сходится при вс< х г; б) 1(г) расходится при всех г; с) существует такое число ь, что 1(г) сходится прп Иег ) ~ и расходится прн Йе г(к. '1исло " называется абсциссой сходнмости 1(г); мьг будем писать ь = — со в случае а) и с = +ос в случае д). Иране того, заменяя д(С) на )д(о) ! в рассуждениях, легко убедиться, что существует также абсцисса абсолютной сходплщсти ') Очевидно, что ь -.', 3.3.
Т е о р о м а 3.2. П редположигб что 1) д(Х) — действительная или комплексная функция полозкителыоой действительной переменной й имеюгцая конечное нгсло то оекз в которых опа раерыена или обраи1ается в бесконсчностьб 2) при 1-ь. +О (1) т а1оч' (3.02) =о еде р — положительная постоянная, а Х вЂ” действительная пхпг комплексная постоянная, причем йети ) 0; 3) абсцисса сходизгости интеграла (3.01) не равна +ос.
Тогда (3.03) огра г — +-оо в секторе !агйг)((л)2) — б ((л/2), еде дчя г" "'" выбирается слоеное ено оение. Докааательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1 иэ главы 3. Как и раньше, полонзим л — 1 гр„(г) = д (г) — ~~ а го+ '" "~~" (3,04) г-о и возьмем такие положитещ,пые числа 1с„и К, что ([Р„(1)! (К„Р" ""- н (0(4(й„-). ') Т. е. абсцисса сходвмости для )д(г) !.— Прим. реа.
гбо [гл. а БОНТУРНЫЕ 11НТЕГРКЛЫ Тогда кп е прн г-т-оо в секторе )агав(<(л(2) — б. Положим 1,„== епр ~ е — кч1(и(о)до '~(г» ) к„ где Х вЂ” ноложитольноо действительное значение г, для которого 1(г) слоднтся; тогда при Ве г > Х имеем ~ е — '1Р„(г)1П < " „.Т„екй( — (Вег — Х))ги), р„ Поскольку )г(< (Ве г)соеес б, последнее выражение сеть Г)(скр( — (г„/г~~тйп б)) при г-~ оо в секторе /ага в! < (л(2) — б.
Объединение этой оценки с (3,03) дает (3.03). ЗА. Теорема 3.3, Предположил, зто: ') ) о ( Г) — гололзо(зфн11 Я фйик1)ил в сектоРе Я: и, < агй Г < иг, где и1 < 0 и аг > 0; г г 2) оля каждого 6 е= (О, —,, иг — и аг ~ разложение (3.02) справедли во в секторе К: и1+б < ел д Г < из — б. 1(роз1е того, згрсть и>Ои Вей>0; 3) 11(Г) = Г)(е'') ири Г-з- оо в Я„где о — заданная постоянная. Тогда, если 1(г) обозначает интеерал (3,0)) или его аналитическое продолжение, то разложение (3.03) слраведгиво в секторе — и — (л(2)+ б < ага г < — и1 +(л(2) — б.
В сформулированная теореме ветви Р''+' ""к и г' мы принимазот главньге значения на полонзитсльной действительной полуоси и доопределяются по непрерывности всюду. Обобщение теоремы 3.2 можно получить, поворачивая путь интегрирования, как это было с„1елано в $т 1.2 и 1.3 '). Пусть р — любое число на интервала ( — иг+б, — ан — б). Тогда интеграл »е -Ф (З.ОО) е — гз) (г) азг е ( ь ( — 1) ') Функции д(0 не аналитична прп 1= О, но поскольку д(О Г)~,ги ) прн 1 — ~ О в дь этот погорит оправдан. 149 лез!ил Влтсонл осуществляет аналитическое продолжение 1(х) в сектор (1.13).
Далоо мы применяем теорему 3.2, где в качестве 1 и х берем соответственно ге' и хе-' и затем ваменяем 2б на б. Как и в случае тооремы 3.2, условие 3) можно ослабить, введя менее ограничительные (но более слонсные) условия сходпмостп с помощью интегрирования по частям. 3.5 а. В случае теоремы 3.3 и-й остаточньш член разложения (3.03) дветсн формулой — 1з е,(х) = ) е — *'<~в(1)гй ((агд(ге — сй))( — ", ), а где <р.(1) определяется равенством (3.04), а р — шобое число из ( — цм — сс~). В соответствшз с этим ~ (Не (зз 'б) — в„(р)) где йв = Пел, )л = 1гп)ч а а1= (' агя1= — б ( Оценка (3.07) справедлива, когда х припвдленптт сектору ) агд (хе и) ) (л/2, Ве (хе ') )птах (а„(р), О). Если о„(р) обращается в бесконечность, то можно видоизменить полученный результат так, как это было сделано в ~1 9.2 и 9.3.
11етрудно убедиться, что теорема 11 является частным случаем (при й = р = 1) теоремы З.З. Однако вырансопия для оценок остаточного члена, соответствующие двум этим тооремам, совершенно не похожи друг на друга. Показатель о (р) в 4 1.4 определяется в терминах и-й производной функции д(1); в предыдущем пункте формула имеет другой вид. Кроме того, для болыпих значений )х( множитель в завышенной оценке, соответствующси формуле (1 15), приблизкенно равен зес(0 — р); для (3.07) (в случае Х = )х = 1) он имеет внд зес"+'(Π— р). Поэтому первая оценка точнее прп р ч.= О, и ) )1 и достаточно большом (х). .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
