1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Выводы предыдущего пункта можно подтвердить строгим анализом остатков согласно з 9. Полная форма разложения (!0.08) имеет впд мктод стлционлвнои флзы тз» $!!) вычислением мы можем установить. что о! равно нулю с точностью до двух десятичных знаков. Ото!ода следует, что значение Б!(4) равно 2(соз(!)'(2л) "з, т. с. 0,0018..., и зтот резульгат верен с точностью до *0,00023. з 11. Метод стационарной фазы 11.1. Рассмотрим интегралы в в ~соз(хр()))в1(()г)(, ~з)п(хр(())д(()д(, а а в 1(х) =- ( а'.и», (() д( а В окрестности точки (=а новое подыптегральное выражение приближенно равно ехр ((х(р(а) -)-(( — а) р'(а) )) у(а).
(11.0() Пеопределенный интеграл от отой функции имеет вид ехр (Ух (р (а) + (! — а) р' (а))) О (а) (11.02) вхр' (а) прп условии, что р'(а) чь О. Пижппй предел ! = а дает в 1(х) вклад — е "и!д(а) /((хр'(а) ). '(11.03) Погда т удаляется от а, действительная и мнимая части (11,02) осцпллируют около нуля, и поэтому есть основания п)>енебречь остальным вкладом от (11.02). Аналогичные рассуждения указывают, что верхний предел т = Ь даст асивштотическк вклад е'""'"д (Ь) /(гхр'(Ь) ). (11.04) ') Называемый такие методом критических точек, в которых а, Ь, р(() и д(!) не зависят от параметра х.
При больпшх х подыптегральные вырви ения быстро осцпллпруют, п колебания компенсируют друг друга в большей частп области интегрировании. Однако такой компенсации пе происходит в окрестностях следующих точек: 1) концевых точек а и Ь (если оип конечны) вследствие отсутствия симметрии; 2) пулей р'(!), поскольку р(!) относительно медленно меняется около зтпх естацпонарных точекв. Метод став(аснар!вой фазы ') Пельвипа берет евое начало в зтих несколько туманных соображениях. Оба интеграла можно рассмотреть о;иювременио, объединяя пх в интеграл тттттГГРАльт Б дкпствнтгльноп Овллстн тгл. 3 11.2. Далее, если тес= =(а, 11) — стационарная точка фупкщш р(1), то около отой точкп подынгегральпое выражение приближенно равно Ех Р ~1х ~Р (1 ) — ', —. (1 — 1 )с Р" (1 с)) *) ч (те) прп условпп, что р (тс) и д(тс) пе равны нулю.
Интегрируя зту фупкцтпо, мы следуем предполоятенпто, что лишь окрестность точки тс имеет значение, п расштт1тяем пределы внтогрнроваппя до — оо п +со. Поттучттвттттттйтя шпегрзл вычисляется в явном анде. Имеем ') ~ ехр(не тутс)гт1=.— с'-в"' ( — 'л ) (у)0). ту, Слодоватетп,по, ио;впо о;итдсть, что вклад в 7(х) от окростности тетки тс Равен с' — ттчу (1,) ех;т (тлр (:„))1 (11.05) где верхний клн ннжппй предтл выбпраются соответственно прн положнтельпом плн отрппательпом знаке выражеппя хр" (тс), Следует, между прочны, отметить, что (11.05) имеет более высокий порядок величины, чем (11.03) тт (11.05). Лтталотпчттьте рзультаты тнтжно устаяовпть 1) для стацпонерпых точек болоо высокого порядка, т. с.
точек, в которых первые пз обращающихся в пуль последователынах пропзводпьтх фупкцпи р(1) нмшот порядок, больпптй 2; 2) в некоторых случаях, когда у(т,) =0. Прнблвженпое зпгнтеппе У(т;) пря больших л можно получпть, суммируя выраткетия лида (11.05) по разлптпым стационарным точкам, прпнадлежащнм ооластп нптегрпрованпя, п добавляя вклады (11.03) и (11.01) от концевых точек. Этот подход являетгя. конечно, зврнстпчсскпм, но в последующих пунктах мы дадпм зтстму методу ст1югоо обогновапттг. Ооращает па себя внимание сходство приближений (11.03) и (1С05) с (7.02) н (7.03). С точки зрения тсорпн функций комплексной переменной (глава 4) моток Лапласа и метод стационарной фазы мо;кно рассматривать как частные случал одного общего метода.
Этот факт находит отражепне п в рассуждениях: доказатольства, приведенные пнже в з 13, во многом сходны с доказательствамн в з 7. 11.3. Случай, когда стацконарные точки отсутствуют, своднтся к упражнению в ннтегрированин по частям. Поскольку р'(1) ') бр. ввв е 1 123. з ~з) ннкдвлеитгльные лкммьг ие меняет знака в [а, Ь), мы можем взять н=р(Г) в качестве новой переменной интегрирования.
Тогда (11.01) принимает вид мы л (х) —.— ( в' "/(н) Ыв, г(ю где /(л) =д(т)/р'(г). Это — интеграл гр) рье, и к нему мо;нио иримеиить асимитотпческие методы 1 5. В частности, если функция /(и) непрерывна, а /'(о) кусочно-непрерывна, т. е. если р'(Г) и д(Г) непрорывиы, а р" ()) и д'(Е) кусочно-непрерывны в [а, Ь), то гвы!'ы)в (в) ыс Мыв(В) / Х(х) =, ' —, -(- о( — ) (х-э- оо). р'(в) '1в) (, / Этим в даииом случае подтверждаются иредсказаипя 1 11,1, В других случаях область интегрирования мо'кно разбить на части таким образом, что единственная стационарная точка в кан'- дой подобласти расположена в одной из концевых точек; без потери общности мы можем предположить, что этп точки являются левыми. Перед тем как перейтп к указанным случаям, мы установим ряд предварительных результатов.
з 12. Предварительные леммы 12Л. Лемма 12.1. С ~раввдлнво равенство м™,— 1 вазпзг (а) в *'н"-~с/в — ' ' "(") (0(сс(1, х) 0). (12.01) о Ограничение и е= (О, 1) необходимо, так как интеграл расходится на нижнем проделе прп а ~ О и на верхнем пределе при а - .1. Этот результат можно доказать, интегрируя функцьчо в"'т'"-' вдоль контура, изображенного на рис. 12.1, и полагая затем г — «О н  — «оо. Детали доказательства несложны и предоставляются читателю.
12.2. Лемма 12.2. Нели св и и — фиксированные кисла, танис, что а(1 и к~О, то ~вы"и" 'гЬ= О~ — ) (х-«оо). н (12.02) Этот результат также легко доказывается интегрированием по е Ф. сквер инткп злы и двпствптельиоп оьллстп )г.т 3 частям: ~ е 'е ди —.=. ~ —,и ~ — — ) вч'е де:: я"' ! — аГ а г Дяа ( — + — ) и ' с!с: —..=' л я х 123.
Лемма !23, !!реднолосиил, что в исстезрасе с1з (г) =- ) в"'с)'(е) с!а (! 2.03) о 1) Ф!сгсггс)ия ср(и) кусочно-гсесгрерывгса, а ср'(и) п,.чает в интервале (О, оо) салсссв больисее кьнечссов число разрывов и. го свк, в которых она обращается в бвсконвчссоеть; Ы 2) ср(о) = о(о ') и гр'(и) = о(и" е) при и — «+О, гдв сс — постоянная из интервала (О, 1); 3) вариация У; (~р) конечно при лсобой полохеигельной постоянной' и; 4) ср(и) — «О при и — «оо. Тогда интегра.с (12,03) равнолсерпо гходиггя при х)Х, где Х вЂ” любая пологкительная гсосгссянссая, и Рссс. ) 2,! с -ссссосссос гь. сР(х) = о(х ") '(х-с- оо).
'(12 04) г)то утвер;пление являотся обобщссггссехс леммы Рпьгапа — !ебсга. Условие 2) показывает, что данный интеграл сходится па нижнем пределе абсо:потно и равномерно для всех действительных х. Далее, если ог и гг — два лсобых числа, превосходящих абсциссы всех разрывов и точек с бесконечными значениями гр(сс) н ср'(о), то в ситу интегрирования по частям езр (Сне.) И (гн) — ех)г !Стс с) ср (сс) сх и гр ( ) до ~ ' (! гр (иы! + ! гр (,) ( + у',, ( р». Из этого неравенства и условий 3), 4) следует, что интеграл (12.03) сходится равномерно на верхнем пределе при х «Х, Остается установить формулу (12.04). Пусть дано произволь- ное положительное число е; условия 1) и 2) показывают, что су- х 12! НРБДВАРптклънык си<о!х!ы 1З1 ществует конечное полон<отельное число х, такое, что в (О, х) фун!<цип <р(п) и ср'(е) непрерывны и 1р( )1(в " ', )р'(и) !( (12.05)' Предположим, что х ) 1(х и разоб<ем область интегрирования в точке и = 1<л.
1огда 1 ох е'х<р(и)сЬ ( ~ с сЬ.=- — ',. <хх ' о о Псиельзуя услсаие б<), мы находим с помощью иитшрироваикя ио частяи, что мчч охр (се<С„) е'*х<с (и) РЬ == '" (<р (о, — 0) — ср (с!е + 0))— 1<х '=! Г, — — ср< — ) — — ) е "хср (и) о« вЂ” —.
1 е<хе<р' (и) А, (12.00) ,х х <х 1'<х ГдЕ <21, С<2, . „Ссх — тОЧКи раЗрЫВа фуИКПИИ Ср(и). Прп бОЛЬШИХ Е сумма кисет порядок 0(л '). 1(еравенства (12.05) показывают, что следук<щий член в праной части ограничен ио абсозпотиому значению воличиной ел ", а также что х 2 х х — " е'"хср' (<2) <Ь ( — " ос<" <Ь ( 11 — о) х" 1<х 1<х !1аконец, из неравенства (11.03) главы 1 следует, гто — 1 е'"х<р'(о) <Ь ( "' =- 0( — ) (х оо). Рх х х Доказательство леммы 12.3 завершается объединением полу- ченных результатов.
ЪПРЛ1!!П!1ППЯ 12.!. Показвть, что 1' ""-':= ""-'- - .— ° (а <1) остов<с 'ссе =- ехя<сгх — ит (сс схх) (<<~ о) о где неполитое тамма-функняи принимасот главные зввчення. 12.2. Показать, что лемма 12.3 остается справедливой, если во<оду заменять символы о на О. Ех 132 инткпл;гы в дкистзиткльноп огллсти и'л 3 в 13. Асимптотическая природа метода стационарной фазы 13.1. Предположилг, как и в 1 7.2, что в ггггтг г.рззггг л у(х) =.—. ~ еаггг)ц()) Л (13.ОЦ а пределы а и Ь по зависят от х, причем значение а конечно, а Ь()а) конечно поп оесконечпо.
г1гуггкцгги р(г) и г)(1) не зависят от х, р(1) —;и йствггго г ьпая, а ц (г) —;и истзительная или комплексная функции. Так же, как и в конце 1 11.3, мьг продположггтг, что в замыкании интервала (а, Ь) единственной точкой, в которой р (1) обращается в куль, является точка а. Без потери общности мо;кно взять х и р'(С) положительными; случаи, котла зги величины отрнпательны, можно свести к данному изменением знака перед г' в соответствугощих местах.
Ь(ы будем использовать обозначение р(Ь) = — Нш(р(Х)) прп г -г- Ь вЂ” О, когда зтот предел существует; в остальных случаях р(Ь) =со. В соответствии с условиями 1) — 4) из з 7.2 предположим, что 1) в игьтерволе (а, Ь) функции р'(1) и. д(1) непрерывны, р'(1) )О, а р" (1) и ь1'(1) имсгот голое большее коне'шое число разрывов и точек, в кото)гых они обрагцамгтся в нуль; 2) при 1 — г- а+О р()) — -р(п) — 1'(1 — а)'", г)(1) ))(1 — о)' ', (1302) прггчем ггервое иэ этих соотношений дифференцируемо. Здесь Р, р. и ).
— гголожительные постоянные, а () — действительная или комплекгная постоянная; 3) вариация Ул ь(д(1)гр'(1)) конечна при любом й Е=. (а, Ь); 4) прп 1 — г- Ь вЂ” 0 величина д(1)ггр'(1) стремится и конечнозгу пределу, и этот предел равен ну.ио, если р(Ь) = со Из условия 2) иепосредствеишг следует, что интеграл (13.01) сходится на нижнем пределе абсолютно и равномерно для всех действительных х. Далее, в силу интегрирования по частям ег"и')д (1) д1 =..
— —, — — ) еыг'гг) — ( — )г(С. (13ЛЦ) е'ы) вОО 1 г .,г а (э(г) 1 " гх р' (г) гх,) Ыг (р' (г)) Используя условие 3) и 4), мы видим, что интеграл (13.01) сходится на верхнем пределе; кроме того, в случае р(Ь) =ос сходимость равномерна для всех достаточно больших х. При сформулированных выше условиях природа асимптотического приближения для 1(х) при больших х зависит от знака разности Х вЂ” р. Когда )л()г, доминирует вклад от концевой точки а; когда )л~)г, доминирует вклад от Ь; если же еь=)г, то вклады лс>смптот>гчвскля природа мь>толл от а и Ь равноценны. Наиболее частым случаем в приложениях является ),()с; с него мы и начнем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
