1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Гг!явное отличие состоит в более;ш стких ограничениях нз диффоренцируемосп„ данных функций р(!) н 9(!), оолее сложныт доказательствах и более слабых оценках. ГЛАВА 4 КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ й 1. Интегралы .'1апласа с комплексным параметром 1.1. Теорию, изложенную в главе 3 ~ 2, легко обобщить на интеграл / (г) -= ~ е — ~'о (1) Н~, (1.01) о в котором г — комплексный параметр. 61ы снова предположим, что д(с) — действительная илп комплексная функция, бесконечно диффсрснцируемая в (О, оо) п удовлетворяющая условию ! д'"' (с) ) =Л,е" (1) 0), (1.02) где Л, и о — действительные постоянные, причем а не зависит от г.
По теряя общности, можно предположить, что о~О. Основной результат имеет вид /(з) =-- — + —, -ь ... -',— „+ е„(з) (Вез=~о), , Яй „(О), со' —" (о) где и — произвольноо полонпггсльное целое число или нуль, с„(з);=- — ~ с — "уоо(1) сй о (1.03) и (е„(з) ) < 1с )" бце з — о) Прелположим, что з принадлежит сектору (агд з) ( (я/2) — 6, )г) ) о созсс 6, (1.04) (1.05)' где 6 — постоянное число из интервала (О, я/2) . Тогда.
Воз) ~з(з)пб) о и А„ )е„(з))( )г)"!)г) з1вб — о) контувнын ннтегвллы ~гл. а 146 Поэтому при г-+.со в (1.05) имеем ч,,(о (ш 7 (г) ..==о (1.06) В предположении, что доо(0) ФО, удобиан форма оценки (1.04) длк и-го остаточного члена в последнем разложении имеет вид ) е„(г) ) ( (Ве г ) шах (о„, О)), (1.07) /,щ> (о) ) 1:") (н — „) где ~ ~<ы О) )) о„=- зпр) — 1п ~ ~ „, >( ' (о'"'(о)() (1.08) Бак н в случае действительных переменных (глава 3, упр. 3.3), налонгонныс на о (г) ограничения можно несколько ослаозть, сохранив пр|г этом справедливость разложении (1.06). Однако прп зтнх более общих условинх соотношения (1.03) и (1.07) нспрпмшщмы. 1.2.
Предположим теперь, что д(1), как функция комплоксной переменной й голоморфна в области, содержащей сектор Я: я1 -' агйг аь (Если яг — я~ ) 2п, то 8 расположен более чем па однозг рпмановом листе.) й(ы потребуем, чтобы Я содержал внутри себя луч агй Г =- О, так что а1(0 и яз ) О. 11редположнм далее, что (д(1) ~ =.Ае"' (1е=Б), (1.00) (до'(1) ! ="Л,е"ш (а,+й~агн1 =аг — 6), (1.10)' где А„не зависит от й В частности, если агн с=О, условии $ 1,1 удовлетворены, н справедлива формула (1.06). В данном случае область справедливости асимптотпческого разложении можно расопиргпь следу|ощим образом.
Пусть Л вЂ” произвольное положительное число, а р — произвольный угол из интервала 0 = р - т1п( — я~ — б, и!2). По теореме 11оши л ~ е — идно(1)НГ = о е — пап) (1) Ж ~ е — *~рос (т) г71, (1 11) о $' где У вЂ” дуга, параметрическое уравнение которой имеет вид т = Ве з (О ~ у ~ 6) где .1 и о — неотрицательные постолпныс.
Пусть 6 — пропзвольноо положительное число, удовлетворяющее условшо я~ + 6 < 0 = аз — 6. Тогда метод главы 1, 5 4.3 дает пптвгезлы лапласа (рис. 1.1). Введем обозначение 0 = — агд г и предположим, что О С б < л/4 и 6 ( О - (л/2) — 6. Тогда )Π— у! ( (л/2) — 6; следовательно, на ег Ве (г!) = 1г)Л соз (Π— у) ) 1г ! Л в!п О. 1!оэтому, исиользуя (1.10) прп г = и, мы иолучасм это выраексппе стремится к нулю при Л вЂ” ~- оо при условии )г() осозссб. 61ы покажем, таким образом, что .е ' ж еп (г) =-- — и ) е — *'упс(!) г!! о (1.12) (ср.
теорему 1.! главы 2). Поэтому (1.12) осуществляет аналитическое продолжение е„(г) в зту ооласть. В частност~г, прн и = 0 мы получаем аналитическое продол;псине интеграла 1(г). 1.3. Из (1ЛО) и (1Л2) выте- Ю 'т кает соотношение е„,(г) =-0(г " '), и поэтому разложение (1.00) оправе;шнво в секторе )аггее з1 ~ -":. !л/2) — 6 в предположении, что ! (г) рассматривается как аналптпческоо продолжение первоначалыюго интеграла.
!'пс. !д. ьптоспость Если а~ ) — (л/2) — 6, то наибольшее значение, которое может принимать р, равно — а~ — б. 1!рн этом сектор, где справедливо разложение, распшряется от (агд г! ~(л/2) — б до — (л/2)+ ,+ б:. агп г ~ — а~ +(л/2) — 26. Если же а~ ( — (л/2) — 6, то мы можем положить О = л/2; при этом сектор, в котором справедливо разложопие, принимает внд — (л/2)+ 6 =' агяг ~ л — 6.
И в этом случае поясно провести дальнейшие повороты пути интегрирования в отрицательном направлении. Каждый из поворотов меньпте либо равен л/2, .а максимальное допустимое полное вращение равно О = — а~ — 6. прн условпяк б = агдг -(л/2) — б и 1г/) осоясс6. В силу (!ЛО) этот интеграл определяет голоморфвую функцию г в области, которая содержит сектор )агд(ге-') ! ~(л/2) — 6, 1г/ > осозсс 6 (1.10) контхапыг. пнтвггзлы пчь 142 Аналогичным образом путь интегрирования можно повернуть на положительный угол до аз — б. Заменяя 2б на б, получаем: Теорема 1.1. !/усть 1(з) обозначает ( е — ид(1)с/Г или анар литичесьое прова.ъженне етого интеграла. 1/ри условиях, сформу- лированных в начале 4 .1,2, "' щ) (1.14) ,-О при з-ч-со в секторе — из — (л/2)+ б ( агя з ( — -и~ +(л/2) — б, еде 5 ~0.
Если из — и~ ) л, то разде)кение (1.14) справедливо в гекто- ре с углом, превьппанзщпм 2л. В этом случае теорема 7.2 гла- вы 1 показывает, что илп разложение (1.!4) сходится для всех достаточно больших (з! или /(з) имеет точку ветвления на бос- конечпости. 1.4. Соответствующее обобщение оцонкп (1.07) лля остаточ- ного члена имеет впд (з„(з) !( (1,15) ! г Г'(и (= 'з) — „(В) где и — произвольное положительпоо целое число плп пуль, р— произвольный угол из интервала ( — им — а~), (1.1О) а з ограничена условиями )агй(зе и) )(я/2, Во(зе в)) шах(о„(р), О). (117)' Для заданного значения з величина праной части оцспкн (1.15) зависит от значения 5.
Если снова обозначить агп з через О, то отношение абсолютной величины первого отбрасываемого члена ряда (1.14) к правой части (1.15) равно соз(0 — 5)— — )з( 'о„(0). Для больших (з! зто отношение прпблвзнтольпо равно соз (Π— ()). Если — аз(0( — иь мы можем положить р = 8, и в атом случае отношение приблизитольно равно единице для больших )з), что является идеальным результатом. Если 0 лежит в одном нз оставшихся интервалов ( — иь — а~+(н/2)) или ( — ссз — (я/2), — из~1, то 5 должно быть отличным от 8.
Когда 0 приближается к — ос~+(л/2) нзпг — из — (л/2), величина правой части оценки (1.15) отличается от абсо:потного аначения первого отбрасываемого члена возрастающим множителем. Это говорит о том, что прямое испольаование асимптотического разложении вблизи границ области справедливости разложения может привести к значительным неточностям. тбЗ Ф 21 нвполнля гамма-пункция УПРЛ!!1ПЕППП 1.1. Показать ири условиял 1 1.1, что формула 1!.Об) верна также и и полуптоскоста Вс г )~ а+ 6.
1.2. Пусть !(х) обоеиачвст аналитическое продолжение интеграла вт <т (е —,- !и <! <К< от ливчеиия асях = О в комплексную плоскость. !!авива область сиравсд.швости лсипптотпчсского рвеложеиия лля 1!х), дивного в главе 3, уир. 2.5? 1Л. Показать, что число о„(р), определсииос формулой (1ЛО), удовлетворяет неравенству ),<л' <<0! лес<-= — р «,о <и,<леп ио Х„е "=- О< ' ' (Олвср, !Зббв).
л <л< й 2. !1еполная гамма-функция комплексного аргумента 2.1. При!<онпз< пзложепиу>о выше теорию к янтсгралу Г(и, з) == с='з ) е — "(1, !)и — « !! ~(зг9з(х. —,. 1, (201) в в котором все функции имеют глввньк значении. Это выраженно можно вывести из формулы (ск04) главы 2 простой заменой псрсмсппой ннтв<.рировання, если з положнтольно; обобщение на ! агд з) ( я/2 осуществлнстся с помощью аналитнче< кого продолженияия.
В обозначениях у 1 имеем о(!) =(1+!)" ', <)<о(!)=(и — 1) (сс — 2) ... (сс — а) (1+!)" ' '. Исключая случай, когда а — положительное целоо число (в етом случае интеграл (2.01) выран<ается через элементарные функции), о(!) имеет особенность при <т = — 1. Поэтому мы возьмем а< = — и+ 6 и сст = я — 6. Ясно, что условие (1.09) выполнено, если о является либо нулем, либо положительным числом.
Заменян 26 [а 6 в теореме 1с1, мы получаем разложение п — 1 (п=0,1,2, ...), (2.02) нонтуР!п>Г пнтеттглы шл тде е„(г) = 0(г ), когда г-+.со в секторе ~агбг~ (Зя>>2) — б; а — фиксированное число. 2.2. 11ри выводе оценки для е„(г) мы сделаелг упрощающее предпололсеиие и будем считать а дейстеительным числом. Определение (1.16) дает о„(р) . вор ~ 1в )1+)!). ы'" >= — з >, 12.03) Из ('1.15) и (1.17) мы получает> оценку )(а — ))(а — 2) ... (а — т)) ) з„(г) ~ < ) г ) сьз (с — 1>) — о (р) ) )» — >' (2.04) где р с= ( — н, и) — произвольное п>ело, О = аг>> г, а г удовлетворяет условиям ) 0 — р ) < †; , ) г ) сов (Π— р) ) оп (()). Длн положительных т н действительных р )о () — ' 2т соз () -'- т') )в 0 6- т) '>.г т Следовательно, о (3) <а — и — !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
