1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 27
Текст из файла (страница 27)
УПРАЖНЕНИЯ 3.1. Применяя теорему Коши к првмоугольвпву с вершинами О, Т, Т+ + (л02), я02 и полагая Т + оо, доказать, что абсцисса схолпмостп преобразовании лапласа функции д 00 = ехр (зс') отличается от абсциссы аесолштвой сходимости. к01пруРныГ ннтнГРлт!ы 15!0 !ГЛ. 4 32. Показать, что интеграл ~ехр( — сз!) )и(1+ !!/2) !/! и его аиалитио ческое продела!евое имеют осимототическое разло!кеиие Из Г (г/2) 2'— 2з"'! -' при .
— ~ оо в секторе )а!3 з) " (5л/4) — 6 ((5л/4). 3,3. Показать, что если !х — полггкительная постоянная, то в се!Норе )агбз! - (Зл/2) — 6(<Зл/2) впали!тичсское продопкение интеграла ехр ( —: ехр (!")) с/! колет себя как о Г(!+ 1)"' )! — 1 —,—,'-0( ! )) ( ). 3,4. Прелполо ком, что в теореме 3.2 условие 2) еамспеио тробовавием М (') —, (2 а ' —., 7а (' + !)). с=О Показать, что для л!обого иологкительиого целого п ! (Зз)!» ( 'и !з — з)(з — —:-'!)" (з+ ) (зза !/ =о ири з — ~- оз в секторе )агд !( ( (и/2) — 6(( л/2). (/(альке!пние результат!! такого рова били иолузеим Прлеии (!!Ь(б, !961).) 35*. Для интеграла Гудвина — Стейтоиа (глава 2, уир. 4.4) доказать, что о — ! Г~ + ./ з — Г Зи=- Г ( — П' - лзе,(з) ( =О,«,.„), 'ех ! — из) 'Кч з 2 ?и ° 'ь! о м=о гдо е„(з) = 0(з " ') ирп з — г ос в секторо )а!3 з/ ( (5л/4) — 6(( 5л/11).
Показать так!не, что "! 1 /л 1! 1) ес!ьв )агбз)( — „, то )е„(!))( 2 Г(2 -,'- 2))з) 2) если — 2()агах(( — л, то !е (з)(( 2 Г~2 льЦ)з! " 1-р 1 /л —. г ~ —. + «) ) ° ! — " — —, (2 3 3) если 6 — пропавольное число, таное, что г пЯ 6 ) (п,и если х удовлетворяет неравенствам )агб(зе 'а)) (и/4> Ве(з'е з'а)) о(2)()) — л), а а1 ннткгрлл зпг!т 151 где величина о(р) определена формулой (2.08), то Г~ —., лр.—,) ) г Ы))ьь + 2 (((е (зте '-"Г) — о (2 ) () ) — . ))1и Ь ПГЗ Г~ —.", —,1) (Ке (з" — м") —.
(2 ( б) -: ))о' -"'-' 3.6". Пусть в обозна ~снегах н условннх теоремы З.З у(~) = рд' — 'д(ге]1 гни лиолижим, гто функиня й(г) голоморфна в окрестности начала координат, Показать, что выражение для остатка е, (з) в 1 3.5 им«ст впл е иди — ер,'и 1 е (з) .= ахеи~ (и) ьеи ~ (г — г)и ~ гь ~ с ар ( — зги) г(г а = '=(и — Ц! при уггее~нинх — аз < р — аь )агк(ге 'е) ) ( лг2 п ке(ге и') > о. 3.7е. Поворачивая путь интегрированна во внутреннем интеграле в предыдущем упражнении так, чтобы агй т = — аиде)(к показать, что ири р = 2, й =- 1, а ) 1, О =.
агй." и (уе "е(и) ) ( С, схр(7„(Я)и)е) (агд и =- — р)2), справедлива оцонка ,,( и, 1~ ~( ))1 )г„(з)) С 2),)1есгг1,2 ~ )з)соа(Π— ))) — 7 (5)' сслн знаменатель положителен. 4 4. Интеграл Эйрн с комплексным аргументом; составные аснмптотпческпе разложения 4.1. '1тобы выяснить асимптотическое поведение А1(х) при болыпих значенинх (з(, мы, следуя Копсону (1903), используем представление 2 ,,) Л( (д) =,, "ехр( — гпз() соз ~ — 1зтз~ 1П'-д) зя 3 о ()аг0 з) с и), (4.01) в котором степенные функции с дробными показателями принимагот главные значения, Этот интеграл можно получить следугощим образом.
При положительных я = х мы имеем пз главы2,481 Л)(х) -- —, ~ ехр ( —, и — хи) гг. вгп 3 (,3 (Гл, ь кое!тувные ннтгггаг!ы 152 (аги з( » ~я — б ((п). Здесь $ = 2сзт(3, прп з — э оо в секторе ис = 1, г(з. — , '—., ) г( — ) (2е -'- !) (2з -'; 3) (2е -!- 5) ... (6е — !) (2(б)" е! (4.03) а дробные степени з принимают главные значения.
Для оценки остаточного члена можно использовать формулу Тейчора и написать я — 1 3 (, Л созт — У ( — 1)." —,~( —, ма~ (20 ! (2л) ! .=а (т — действительное число, и = О, 1, 2, ...). Полагая т = (з"!'3 мы заключаем, что отношение и-го остаточного члена в (4.02) к и-му члену ряда но превосходит по абсолют- ! ( ' )3'~+не ной величине )зес( —,, агиз)) .В случае положительных зато озпачаот. что каждый остаток ограничен по абсол!сткой ве:!ичине первым отбрасываомым членом разложения. 4.2. Сектор, в котором справедливо разложение (4.02), нельзя расширить с помощью теоремы 3.3, поскольку условие 3) схолпмости интеграла (3.01) нарушается вне действительной г-осн. Чтобы вывести асимптотическое разложение для А((з), которое справедливо равномерно в области, сойер)кащей отрицательную действительную полуось, мы используом тождество А1( — з) =е'"зА((зе'"з)+е "!зА!(ге '"з) вытекающее из формулы (8.06) главы 2.
Пусть ! — произвольное положительное целое число, а б— 2 произвольная постоянная из (О, —.я). Обрывая разложение (4.02) Путь интегрирования можно перенести так, что он будет проходить через точку о = хь (обоснование зтого преобразования будет дано виже в 4 7). Полагая и = хь+ ((ь на верхней половине нового пути и и =хи — )!'* на нижней половине, мы получаем (4.01) при з = х. Обобщение представления (4.01) на сектор ) агд з ~ ( я вытекает из аналитического продоли'ения.
Применение теоремы 3.2 к (4.01), где ), = 1!'6, р = 1(3, а роль з играет фуньцпя х', приводит и искомому разложепшо (4.02) 2к -,МО пнткгвлл эг)Ры па 1-и члене н замепня з на зе"из, мы получаем (! — ! е ~е ' ч~~,", (!) е"из А1(зе. '(з) =, ~ 1' — '+ е( (с), з ((з!и в ( )=г где е(!" (с) .= ОД вЂ” ') прп г-г-со в секторе агн з ~ [ — (4л,(3) + б, (2п(3) — б1. Соответству(ощее разложение для е "изЛ)(зе "аз) получается заменой ! иа — ! и е! Д) на остаток е( (с), ооладающий свои(!) (ю степы е~ЮД) ==0(н — ') прн з — г оо в секторе агдас=( — (2я(3)+ +б, (4л/3) — 61.
11одставляя этп результаты в (4.04) п группируя слагаемые, мы находим, что И, =-о п((м) — (! и9.;-~- ( + з")(е 4 / ~ в~! ( 1)".=.,~, + т1)з) Л), (4.05) =-о з г) (о 2))! (ь) =- в! (Б)+еГ Д), 2(т)( '(с) =-е(("(Е) — е)з'(с), .Очевидно, что т)( (с) п ()( (е) ведут себя как 0(Ц ') прп -+о= в секторе ~агд'з~ ~~ (2л/3) — б. Заменяя 1 ка 2т в первой сумме п на 2п+1-- во второй, мы видим, что п~ — ! 1'а — ( где т и и — нронзвольные целые числа или нули. Разложения этого типа мы будем называть составными асимьгогическими разложениязт( они имеют два илп более остаточ.ных члена, ни один из которых нельзя включить в другие.
Обобщая значение символа, мы пишем А1( — з) — сов($ — — ) ~,( — 1)' —,„'+, в=з .(- ! (! — — ) з ( — 1)' '~,') (4.0!) )=-в )ГЛ. 4' )54 ноптурныв пнтягрллы при г-»оо в секторе )агдг(((2п/3) — б; $ и и. определены в $4.1, а дробные степени принимают главные значония. При аги г = 0 главный член разложения (4.07) был найден в главе 3, $13.4 методохс стационарной фазы. Слецует отметить, что выражение, стоящео в квадратных скобках в (4.03), можно записать в вн се оообщенпого аспхмжотического разложения ~ соз (в — —, — —,, ) и,ь со шкалой е"'" гг ' (ср. главу 1, 4 10.3). 4Л. Из (4.07) немелленно слелует, что па отрицательной действительной полуоси функция А!(г) меняет знак бесконечно много раз, и поэтому имеет последовательность нулей с предельной точкой г = — оо, Поскольку правая часть (4.02) не стремится к нулю прп достаточно больших (г(, сектор, в котором справедливо разложение (4.02), нельзя расширить за пределы сектора (асов)(я.
11о той жо пркчппс сектор )агдг! .. 2л)3 является всакснхсальпой ооластью, в которой справедливо разло кеппо (4.07). УП!>Л))сПГО))04 4.!. Проверить, что разложения (4.02) в (4.07) соглвсуютсн в вересечоквн облвсте)). в которых онв сарове;юввы, с точностью ло слвгвены:с. оксвовенцввльно убывающих (врн больно~в (=!) во сравнена~о с основным рв лов. й б. Отношение двух гамма-функций; лемма Ватсона Лля интегралов по петле б.!. Асимптотическое разлоясение отношения Г( + а)сГ(г+ + Ь) при фиксированных а и Ь и болыпих г можно нынестп нз разложений Г(г+а) и Г(г+Ь) главы 3 (формула (8.16)) в случае действительных переменных или главы 8, з 4 в случаскомплекс~ых перевсенпенхч разделив их друг на друга.
Мы проиллюстрируехс методы настоящей главы, получив требус моо разложение прямо из интеграла, опредоляющего бета-функцию. Прп этом прелполагаетса, что а н Ь вЂ” действительные или комп.п кспые постоянные. Из формулы (1.10) главы 2 имсом ! Г(в Рв) Г(Ь в) ( ~:~-в — 1(1 )ь — « — ! 1 Г04-6) (Пе (г + а) » О, Ве (Ь вЂ” а) ) 0), причем цробпгно степени принимают главные значения. Поцстан- отношвнив двух глммл-ч ь нкцпи лял и = е ', мы получаем равенство ! ! ) Г (г+ Ь) Г (Ь вЂ” «) (5.01) справедливое прп тех же самых ограничениях, где д(!) = е "(1 — е ')« "-'. Разложение !)(() по возрастающим степеням Г имеот вид !1(!) =..—. ~' ( — 1)'(),(а, Ь)('+' " ' ()(!( 2л), «=« .а условия теоремы 3.3 удовлетворя!отея нрц а!= — л)2, !хг=л/2, л = 6 — а, р = 1 и о = (а(. Применение теоремы дает искомый результат: «) «Ч~~ Сз («,6) г Г(г-с Ь) при г — ~-со в секторе (~агдг( -л — 6( л), где 6,(и, 6) = (а — 6) (и — )! — 1) ...
(и — Ь вЂ” е+1) с1,(а, 6), Легко проверить, что первые три нозффициспта имеют вид 6„(а,6) = — 1, Сг(а,6) = —,, (а — 6)(а -,'— 6 — 1), ! ('«(а, Ь) =- —,„(а — 6)(а — Ь вЂ” 1) (3(а -,'- Ь)г — 7а — 56+ 2). ! « — ! д(() = ~( — 1)'д,(а, Ь) !'+' " ' ' ср„((), (5.03) « --0 гап что !р„(!) =- ~~ ( — 1)'д,(а, Ь)Р+' " ' (/ ! !( 2л). (5.04) «=« Подставляя (5.03) в (5.01), мы получаем « — ! г+ =-г',г, ", +1„(а,Ь,г), =е (5.05) 5.2. Разложение (5.02) было установлено при условия Ве(6 — и) ) О.
Это ограничение можно устранять следующим образом. Пусть п — проиаволыпзе положительное целое число, а !г„(() опроделяется для положительных г из соотношения шл. ь контугпык пнтвгРл.чы где 1„(а, Ь, г) —.--, ~ е ">р„(О 1>>. (5.06) з Условия, нри которых было усташ>влепо равенство (5.05), име>ог вид Ве(г+ а) ) О, Ве г ) О, Ве(Ь вЂ” а) ) О. Однако легко видеть на основании формул (5.03) и (5,04), что интегралы 1„(а, Ь, г) все е>це будут схо„>иться на обоих пределах, если последние условия заменить неравенством Ве(п+Ь- — а) )О.
Замечая, что 6,(а, Ь) — мноточлен, мы убегкдаемся после аналитического продолжения по Ь, что равенство (5.05) выполняется при новом условии. Применяя теперь теорему 3.3 к (5.06) и учитывая, что целое число и произвольно, мы заключаем, что разложение (5.02) справедливо без ограничений на а или Ь. Метод, использованный в этом пункте, часто оказывается полезным в а си иптотическом (и числе ином) анализе. Иногда е го называют методом отделения сингулярной части. Мы, в сущности, вычитаем полюсы и дру~ие непринтные особенности из данной функции, вычисляем аналитически их вклад, а затем используем общие аснмптотические (пли численные) методы для определения вклада оставшейся части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
