1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 22
Текст из файла (страница 22)
На практщ(е, однако, М„может оказаться босконечным или слишком болыпим. 9.3. Другой подход заключается в следу(ощем. Пусть т — наиболыпее цолое число, для которого т(>(, и а„, ( — первый из элементов множества а„„(, а +г,..., а„+, имеющпй знак, противоположный знаку а„, илп, если такое число не существует, полагаем >=т. Пусть пп <<> < — (и-Ьь-н>(п Тогда (1) ~ ~! 1(п+1 — В>>В + 1(пь(+1 — В>(П + 1( ы-~.— п>(о < ео ( , ап+, ,е ", ! ) е —.
Р„(1) «~~~~ Г('— "') ";~, „.. (907) о п=п >( (, р )(.";Ы>в Эта оценка приведет к желаемому результату, так как при 1-пО 1 н < ( ) ( ( и Е и > ( о — 1п и ,<1<в < .< <><в и<-(+1 П+(-и>т, О < О-;г-П>Щ1 ) ап и последнее выражение стремится к — ос, если у~(т — 1, или тго ИНТЕГРАЛЫ В ДЕЙСТВНТЕЛЬПОП ОБЛАСТИ 1ГЛ. З ОГраНИЧЕНО, ЕСЛИ у=т. Крепо ТОГО, аа+а„.,111'"+... +аа+,10 а НО может обращаться в нуль прн ~ ее (О, оз). Преимущество оценки (9.07) заключается в том, что отношение правой части к абсолютной величине фактического остатка стремится к единице при х -а.
Со, в отличие от (9.04). Недостаток состоит в возрастании сло1кностц оценки и необходимости вычислять козффпцпепты, следующие за а . 9.4. В случае теоремы 8,1 пз доказательства легко вызестп, что и-й остаточный член разложения (8.08) можно зшшсать в виде ь и — 1 ') е — Р(117(!)1)! е — ма) '~ Г~'-'".1 р ).ычьеа а =о =- — е — а™еа,1(х) + е — *Р1а'с„. (х) + ) е — Я11д (!) 1!Г, (9,08) Используя зто неравенство, получаем нз (8.11) )Е -"Р1а1Е, (Х)(( ' ~, )а,(ха" ГВ а а=с (х ) —,'), (9.09) где, как и рань1пе, к = р(й) — р(а) и аа = шах ((и+1 — р — !)/!1, О). (9.10) Второй остаточный член е *""'е„т(х) можно оценить методами, аналогичными изложенным в 99 9.1 — 9.3. Роль Г теперь играЕт ПЕРЕМЕНПаЯ и, а СР„(1) ЗаМЕНЯЕтСЯ На и'+' ая"У„(и); СУЩССтВЕП- ное отличие состоит в том, что верхняя грань в (9.03), (9.05) и (9.06) вычисляется в интервале 0(Р<е вместо 0<т(ос.
Оценки (9.02), (9.04) и (9.07) остаются справедлпвымп для )е (х) ~. Для последнего слагаемого в (9.08) можно использовать перавенство (7 13), причем интеграл в правой части вычисляется для ') Условие в доказательстве теоремы 8.1 относительно конечности й в я яв налагается в случае (9.98). где й — число из (а, 61, удовлетворяющее условиям 4 8.2, а е„1(х) и е„,г(х) определены формулами (7.01), (809), (8,11) и (8.12) при Р = р(Г) — р(а). Первый остаточный член в (9.08) отсутствует, если й = Ь и р(б) = со, посколы у тогда и = со ').
В других случаях из (!.05) и (2.14) выводим оценку Г(а,х)~(х, ! ! 9 (х)1пах(п — 1,0)). опкики остаточных члкнов подходящего значения Х. Илн же, как ниже, в $10 1, иногда оказывается возможным промажорнровать — Р(1) и ) д(1) ) простыми фупкциямп п аналитически вычислить полученный интеграл.
Поскольку вклад интеграла экспоиенциально мал по сравнению с е *в'"'е„ з(х), часто приемлема грубая оценка. 9.5. Некоторые сложности прп оценке (е„в(х) ( могут возникнуть в следующем общем случае. Предположим, что функции р(() и д(1) разлагаются в рял Тейлора во всех точках интервала (а, Ь); р(1) имеет простой минимум во внутренней топ:е (а, Ь), а д(1) не обращается в нуль в этой точко. Без потери оощпосжг мы можем прсдположптгч что: 1) минимум находится в точке 4=0, 2) р(0) =р'(О) =О, 3) область интегрирования такова, что фушл(ия р'(1)/1 полол;итсльпв в интервале а(1 Ь и р(а) = ='р(Ь) ='-.
Как и раныпе, в области (О, Ь) мы вводим новую псременнуго интегрирования и = р(1). Тогда ь в ~ Š— вл1 Од (1) А =- ~ Š— *')' (и) ~Ь, в о гле (1) .Л,~ 3 Ф =в это разлолгенпе сходится дчя всех достаточно малых в; сравните (8 07) при р = 2 и ), = 1. Лпалогпчпо, о н ~ е -"Р(оо (1) г)1 == ~ е — *')'(о) йя, а о где ) (и) = — — ', = У. ( — 1)'а ио л О) ° -0 Следовательно, ь х ~е — хР(сд (1) г(1 — ~ в — хор'(в) Ди где для ъкалых и Г(и) = — 2,~~ ав,и' в=в Так как последнее разложение производится по степеням и, а не ипз, оценка вида (9.02) для остатка может быть построена с конечным значением показателя о,. ПНТЕГРАЛЫ В ДЕИСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ (Гл.
3 123 УПРАЖНКННЯ 9.!. Пои«зать, что прп х ~ 0 / 1!/2 () е хс~!8! = ~ — ~ е "(1 9(х)), -~2.~ о где 0 ( 0 (х) ~ (8х) -'. 9.2. Полазать, что и!/2/ 1 3 5 ехр( — х! )!п(1+ !+ ! ) с/! = — "( — з/2+ —,„., — т/2 + а (х)), где 105 0 < е (х) < з/2 (х > 4/5) (Олвер, 1968). 32 (х — 4/5) в/2 9.3. В преднолол!енин, что каждый из интегралов (моментов) А/ = ~ ! 1(!)с/! (!=0,1,2,...) о конечен, доказать, что прп болыпих полож!псльпых зкачегп!лх х аспмпто- тичсское разжккеипе ар«образо«апик Сто.!гесса !р (х) = ) — с/! "/(/) !та имеет влд »вЂ ! ф(х)= Х ( — О А/«х !+«„(х), с==о где л — произвольное ноло!кптольное целое чпсло пли нуль и ~ „м~» "-'- (( т~» ° (. !о, ! ° 9 10*. Примеры 10.1. Рассмотрпы асимптотическое разложение, приведенное в упр. 8.5 для фупкцеп /е(х) = — ) е '/(1.
о В обозначениях 1 9.4 фуннция р(1) — = — сок( монотонно возрастает от минимума при 1 = 0 до максимума при 1 = п. Однако мы ие можем взять А. = — н, поскольку р'(1) обращается в нуль в этой точке. «Наилучшее» значение для й точно определить нелегко, 123 пгиыегы % !о) по такой выбор не является необходимым. Предполохки, для простоты, что й — это средняя точка л/2. Когда н/2 ~ 1 ~ н, из неравенства Жордана вытекает, что сов 1 = 1 в (21/н). В соответствии с этим оценка остатка для интеграла имеет впд аоаа! )1 ( ~ — о!а)л ~1 (10.01) к,) л а й)з а)2 Далее, ь обозначениях $1 7 и 8 имеем а=О, до=1/2, р=2, 1=1, к=1, и=1 — соз1=2а!па(1/2) и /(н) = —.
= ., = У а„п!" '!!з (0(ь'(2), к зп! ! 12а а!)!П .а ° !=о где 1.3 ... (2а — 1) аоа = ",„'+,, аа,.ь! =- О. Л228 ! 281 Поскольку все а, с нечетными ипдексамн равны пул!о, мы применим результаты 3 9, заменив п на 2и. Из (9.)0) получаем аг„—— и — 1 (и>1). Поэтому в силу (9.09) га — ! )ео„,!(хН< „, 1,~ и,<( '+О (.>п — 1>О).
=о (10.02) Далее а — ! в.— -о = а „+а.„+он+ аза+оиа+... (О«:и(2). Так как в этом разлоясенли нет члена с и"а, то методы $5 9.1 и 9.3 приводят к той н е самой оценке для еа а(х) ! Г (а+ (1)2)) ааа (еэь (и)) ~ „,';,", (х > оо„), (10.03) (х — о „)а+!П ! где иа„= апр — 1п — '" (10.04) Объединение неравенств (10.01) — (10.03)' приводит к искомой оценке для остаточных членов в разлогкеиии а — ! а кч Г (а+11)2)) а 1 Г «соа! 1 =-о а)2 Л[НТЕГРАЛЫ В ДЕЙСТВИТЕЛЬЫОИ ОБЛАСТЛГ [Гл. 3 Значения пз можно вычислить по формуле (10.04). Первые трп из нпх име[от вид по=0,35; аз=0,50; 04=0,58 с точностью до двух десятичных знаков ').
Другой путь вывода аспмптотпческого разложения для 1з(г) вместе с оценками остаточного члена дан в главе 7, главным образом в 9 8.2 п упр. 13.2. 10.2 з). В качестве второго примера рассмотрплг (10.05) где т — положительное целое число. Методы контурного интегрирования дают конечную сумму [(з4 — [УЗ! =о но вычисление этой суммы для больших значений лл громоздко, и поэтому мы попытаел[ся найти асимптотическое разложение. Функция в[и[[44 имеет бесконечное число максимумов п минимумов, расположенных в точках, являющпхсн последовательнымц неотрицательпылгн корнямп О, 1[, [т, [з, ...
уравнения !и[= д Только один корень [ = 0 лежит в [О, л1, и для этого пнтсрвала мы введем новую переменную интегрирования т: ( 1, 4[Г СЗ[ПГ т =- )а —. з!оц' зт з!от — с сов с' Когда [ возрастает от 0 до л, переменная т монотонно возрастает от 0 до со. Поэтому 8 (лг) = — э! ( — 7[ г[[ = — э! е — ' —, 4[т. (10.07) я,)(, з ! я 3 о'г о о Для малых 1 п т с помощью разложения и обращения мы найдсл[, что 1=. (От)4[.~1 — — т — —,т + — 'т -!- ...). .[' 1 19,, 9 10 4900 14000 ') Аиа44итззчес[4яе методы нахождения верхней грани в выражении (9.0[!) для показателя о были разработаны Олвером (1966). В данном примере втими методами можно установить, что верхняя грань в (10.04) достигается нри о = 1. Следовательно, вычисление оз„сводится к вычислению [п((и-'— в аз — аз —...
— аз„-з) [аз ). з) Рассуждения в Я 10.2 и 10.3 основаны иа работе Ыедхерста и Роберт са (1965). л Р ?! е! е Рь? 1 96. $ ?О! Следовательно Суммпроваппе даст — — ) й?=- '„~' '„ (л?) 2). Так как правая часть имеет порядок О(я "") пря бошшпл т, пскомое разложекпе сводптся и (и! ос). (10.00) ,??т!' зь! Рь~ ..=е 10.3.
Чпслепныс реву?ьтаты, получсппыс из послслпего рсзложсппя, оказываются веско??ьио разо?ерове?ва?о?цп??п. Папрписр, прп е,=4 четвертая час?пп?пая сумма даст 0,6910(1 — 0,0375 — 0,0007+0,0001) =0,6647 "(10.10) с точностью до 4 десятпчнык зяи;св, а точяоо зпачеппс, вычисленпое по формуле (10.06), равпо 3(4) =-2/3. Таким образом, абсол?отпая ошабка приблпзптелы?о в 20 плп 30 раз больше последнего оставлепко?о члева. Гладкость фукал?пл йб?йт в (10.07) говорит о том, что раслождеппе возникает по из-за остатка, связаппого с разложшппш (10.00). Более всроятпым источником является пренебрежение вкладом от оставшейся част?? области нптегрпровакия, особенно еслп учесть, что подывтегральная фуккцпя (з????/?)" в (10.05) равна 0,0022 прп т=б! и ?=г! —— 4,4934, ...
1'ассмотрпм пптервал [я, 2п]. Применение методов зз 4 и 5 дает зе О а! (т -!- оо), (10 11) Применение леммы Ватсопа прнводпт тогда к разлон?еппю (10.08). где /?о=1, Ъ! — — — 3/20, Л:= — 13/1120, /?з=-27/32?Д?, Рассмотрим теперь иптервал ?гл, (г+1)п), где з — любое по ложктельное целое чпсло. Имеем гл (?! (г+ (1/2) ) и. ттптвггалы в дгпствпткльноп огллстп )гл. з 12С йс =-.
1, !с! =- — — — — ==- — 0,2583, 4 Стз ! Прп т=4 это разложение имеет впд 0,0018(1 — 0,0646+...) =0,00!7. где !сз ) зи (вт)! (>и — р ) (юл -- о„) и при Еа =- Г~ —,, )!!„!Г(з+(172)). 'Хпслснный подсчетдает р,=О 45... Следовательно, значскпо Ьо(4), получоппоо прп суммировании первых трех членов в (10.08), а именно 0,6646..., верно с точностью до -+-0,000!4.
Лнаттогпчпып результат для (10.1!) имеет впд гдо 2 з иу причем число п„определено формулой (9.05) при М=2. Прямым ') В укававвой выв!е работе Медхерста в Робертса (19С5) зваченвв ат было вычислено ваточно. Г!рибавлян этот результат к (10.10), мы получим 0,6664, что значительно блп'ке к точному значснп!о. Еще более точный результат можно было бы получить, учитывая приближенный южлад ч(соз Гт)"'(2/(лт))"' от интервала [2л, Зл). Таким образом, этот пример также пллгострпруот важность учета экспопепциальпо малых членов в асимптотическом разложещш. 10.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
