1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2 6 Поэтому в обозпаченпят з 7,2 р(а) = — 1, Р = 1/2, )г = 2, г,) = 1 .и ), = 1. Следовательно, общая формула (7.05) дает г 5 !/2 е и д(т) ггт ~ —,~ е". ') Ои. Квграфов (1962, стр. 27). Заменяя т па 2 — т, мы вшшм, что то же самое асимптотическое приближение справедливо и для соответствующего интеграла по области О~Т~~1. Подстановка этих результатов в (7 14) и переход к первоначальной переменной х приводит к искомому результату 1(х) (2я) "те"*-'"2 ехр (е* ') (х — ь сс). '(7,15)' Читателю рекомендуется внимательно разобраться во всех этапах решеипя этого примера, поскольку оии часто встречаются 112 ИНТЕГРАЛЫ В ДЕИСТВИТЕЛЬНОП ОБЛАСТИ 1Гл.
3 в других примерах и методах. Во-первых, уравнение для абсциссы точки максимума было составлено па основа всего подыптегрального выражения. Во-вторых, это трансцендентное уравпояие было решено асимптотическп при больших х; обозначим зто решеипс через 1 с(х). В-третьих, быяа вводона Новая перемеппая пнтегрировапия т = 1сй(х) для того, чтобы сделать (прпблюксппог) положение нового максимума пе зависящим от параметра х. УПРАТПППНИЯ 7.1.
Пспользуя интеграл, указанвый в упр. 7.9 из главы 2, показать, ч со с:ри фиксврованном посюжспельном сг и балыком и воливоиы Лежандра Р„(с)г и) можно приблизить функдиямп (2яа зй а) ~~з ео"+с"сз~.. 7.2.') пу ть А„(х) = ~ е ы хзыссс. 11оказзть, что о Ат(.г) 1сх (х о оо, т фиксировано) А,(ао) 11(ао+ т) (о — о оо, а фиксировано и неотрвкателько). Показать также, что если а фиксировано, т о-оо, то А ;(ат) имеет аситсвтотнчесссво приближения вида „~ — „)' "ГЯ вЂ”,з нлп ~ — ) "~ ( "')' )'х х ехр ( — о (1 — аз)11з) (1 — а')1" в соответствия с условиями а о 1, а = 1 всш О ( а ( 1.
7.3. Пусть а и Р— постоянные, причем О ( и ( 1 и р > П Показать, что для больших положительных звачеввй х а б — 1 ГФ(я) ехр( — с — хс ) сб о' ехр ( — с -',- хс") сб 'си о 2ч (а )1ЗЗ 1111З -' сехр((1 — а)(а .)"11 Стс (писхутс 1бзб). 11 — а) 7А.
Показаыч что с"е 11п с скс (2я)'се е 'хх ' "з1в х (х- оо). о ') Этот интеграл связан с хак называемыми фркавиама Аагера (ср. виже упр. 1ХЗ). РЛЗЛ0111ЕНИГ Нх ОСНОВЕ МЕТОЛЛ ЛЛНЛЛСХ 7.5. Предположпм, прп условия:с 1 7.2, что прп 1 — ~- а+ О р'(1) = рр 0 — )в '-'; 0(0 — ар" о (1) = 0[1 — аус 1лк О((1 — а)" глв р~ > П и Х~ > 3.. Доквзвть, что отпосптсльпаа погрешность в формуле (7.05) омоет порядок 0(.с-""), где оз =- тпз Оо — з„р, — п) . 76. Предположим, ч1о фупкпва р'(1~ нопрорывпт, а р(1) пмсет коночное число максимумов и мпппчумов в (а, а).
Пскользул мэтэд доквзвтельствв 5 3.2, показать, что условие чр тсооемы 7Л пз 1 7Л мокло эвмопкть «лсду1ощпм условием: Пв) сводит«к во вроилси лсрс врк орлом ка«вопи л. з 8. Аснмнтотнческне разложения на основе метода Лапласа; гамма-функцня нри больших значениях аргумента 8 1. Теорема 7.1 подтверждает предноложенио о том, что нри достаточно общнх иредноложелнях аснмгтотнчсская форма интограла (7.01) нри большлх х зависпт только от новедонпя подыптегрального выраженпя вблизи точки минимума функцин р(1). Предыдущие рассуждения можно обобщить н получить нолноо асимнтотическоо разло "кение 1'(х) но убывающим степеням х. Предноложнм, что функцип р(1) н 1(с) разлагазотся в ряды но возрастатощнм степеням 1 — а в окрестности точки а.
Как и в случае леммы Ватсона, несущественно, сходящиеся зто ряды нли аснмнтотическне; не обязательно также, чтобы степепп т — а были целымн. Мы продемопстриоусм ътетод на следующем нрнмсре. Допустим, что р(~) р(а)+ ~~ рв(т — а)зрп =о (8.01) рй- ~ р (1 — ')"' ' в=-о (8.02) нрп т — э- а справа, где р н ), — положительные постолнпые ') .
Без потери общностп можно предположить, что роФО и доФО. Так как 1=а — точка мпннмума фупкцпп р(1), постоянная рз ноложнтельна. Допустим также, что разложенле (8.01) днфференцнруемо, т. е. р'(1) ~„ (к -, '— р) р,(1 — а)'' " 1 (1 -+. а -1- 0). (8.03) в=о ') В действительности мопско счлтать Х комплексным числом, удовлетворпющпм условию де Х > О; это не приведет к услонсненикгь Е Ф. Олвер интвггллы в двиствиткльноп овллстн [гл. з 114 Подставляя (8.01) в уравнение и = р(1) — р(а) и обращая его, как в главе 1, 2 8.4, мы приходим к разложению вада 1 — а ~, с,и'" (и — «-+О).
(8.01) Моигно проверить, что первые три коэффициента имеют следую- щие значения: 1 р, (и+ 3) Р', — 2РЫЫ гнн г г+ьт«/аг* 2 ° 2.«(гlиг Роро Подстановка этого результата в (8.02), (8.03) и использование равенства (8.06) '(ср. (7.07) ) дают «(ц) ,» аги(~+~ — ФЮ (~ -(- О), .=о (8.07) где коэффициенты аг выражаются через р, п (),. В частности, рро и, 1" Р р О Ы а,= ~ — ' — „' ле((Л -,'- Р -(- 2) Рг — 2(гРоРД (Ог (Л ! 2)ргггг , г (л + 2) т,) ((г р" .г 1"."м" (В случае о(1) =1 имеем Л=1 и а,=(в+1)с,+,«р.) 8.2.
Теорема 8.1 '). 1«усть выгголняются условия (1), (2) и (4) ив Я 7.2 и сггравед.гивьг равлолсенггя (8.01) — (8.03). Товда ь о а е тл( «д(1)(гт е гр(аг ~~ Г~ — ) —,г „(х — ~ со), (8.08) а г=-о .где лоэффггг(иеггты а, определены в 2 8.1. ') Эрлейя (1962, 5 2.4). Теорема 3.1 получается в частном случае прн а =- О, Ь = оо, р08 = г" н замене га ва с. РЛЗЛОЖЕНПЕ НЛ ОСНОВЕ ЫЕТОДЛ ЛЛНЛЛСЛ ч з! Это утверждение доказывается так жо, как теорема 7 1.
Мы снова предположпм, что Й вЂ” точка, расположенная справа от а достаточно близко к а, так что производная р'(!) непрерывна и положптельпа, а функция д(!) непрерывна в (а, й), и положим . =-р(й) — р(а). Воспо!!ьзуеыся формулой (7.06). Для каждого поло;кительпого целого п коэффициент остато шого члена !„(О) определяется равенством 7„(0) =а. и 7(к) =. ~; а РО+г "~'" -'- Р!"+' !Н"(, (г) (О О). (8.09) н-О В соотвстствпп с (7.00) нь!ееы к в. 1 ( е 1(Р)г(Р =- л~~~ Г~ — ) <,. Л>ж зп,!(х) + елж(х) (8.10) о .=о где И вЂ” ! 5 Л 0 .=-о (8.1 1) ( ) ~ — "Ъ(п-ь! — н)!Ру ( ) „! б (8.12) Из разложенпя (1.01) следует, что прп болыпил х е„ !(х) = О (е /х). Поскольку значение к конечно, а 7.(к) непрерывна в (О, х1,то.
о Г(х) =- х ~ е "!Р с!и> (х)0). о Подынтегральпое выражение обращается в нуль при й=О, воз- растает до максимального значения прн к!=х, затем монотонно убывает до нуля при и!-~ со. Положение макснмума можно сде- 8* Поэтому вклад области иптегрпровапня '(а, й) в 1(х)' нъ!еет указанное аспмптотпческое разложение. Для оставшейся ебластп (/с, Ь) снова справедлива оценка (7 13), п асимптотическое раз-. ложенпе не меняется.
Доказательство закончено. 8.3. Важным прямером является интеграл Эйлера 21Е пит)гггллы в дкпствитвльпоп огластп )гл. о где р(Е) = 1 — )и(1-4-!) . Разбиение интервала интегрирования в точке огпнпмума функ- нии р(г) дает ! о — оГ 4,) ~ — от!!) Ч ~ ~ — ож-!) (/ (8 14) б о Так как р'(!) = 1)!(1+!) п р(!).= —,, ! — —.! -'; — ! — ... ( — 1(! 1), о ! о, ! ! 3 легко видеть, что условия теоремы 8.1 выполнены для обоях инте- гралов в (8.14). Прп у.=р(!) обре)пение последнего разложения даот для первого интеграла 24/2 ~ 24/2 ! — 2)/2у)/2 + — и + — уо/2 : уо ! уо/2 + те твб ' )Ооо ето разложение сходится прп достаточно малых и.
Отсюда Н! -)/2,, !Ы, 1(у)= =— =аоу +а,+азу +..., 4)О (8.15) где, например, но=2'"//2, а)=2/3, а!=2)/2/12, ао= — 4/135, а!=2)/2/432. Из (8,08) находим Лналогнчно, ! < ог! — !)4(1 ~я~~~ ( 1)~ Г ~~ 4) в о =о лать не завнсящнм от т, взяв и)/к в качестве новой переменной интегрирования; но поскольку обозначения несколько упрощаются, если максимум находится в начале координат, мы положим !у = а(1+!). Тогда Г(х) =- е "ао ( е ' (1+!)о!1! ==е 'ао ~ е "~~ ~41!, (813) - — ! — ! за) Рлзлоткеппе НА ОснОВЯ метода НАпллсА 117 Подстановка этик рядов в (8,14) приводит к искомому результату: Г(Х) Е Х" ~ — / '(1+ —,, + „8 з+ ...) (х-е.
оо). (8.16) Главный член этого разложения известен под названием Формулы Стир.зиигп. Общего выраженпя для коэффнцнентов не имеется '). УПРАЖНЕНИЯ 8.1. Предполо;кпм, что производные р'(1) к р" (Ц непрерывны в (а, 5), мнппиум функции р(1) достпгается во внутренней точке ее и р(1) отграничена от р(ге) прп 1 — ~- а плл Ь. Показать, что при условии, что р" (1е) п р(ге) отличны от нуля и интеграл сходится абсолютно прл достаточно большлх значениях х. 8.2. Используя предыдущее упражнение, доказать, что относительная ошибка в (7.15) лнеат порядок 0(е-").
83. Показать, что коэффицпент а, из $8.3 удовлетворяет соотношению 1, 1, 1 аеа -'; а,ае -,'- —, а,а 2+ ... + а„ие = а, (е~ 1) е — 1 3 е — 2 823 Показать, что лые хсеете х( 2 + 2 8 ехсее 1 ые — е" ~ — -'- — + — + ...) (х-е~ ~). 1 х 3хз 15хз е Останется лп этот результат зерпыи, если завопить пределы иптегрирозапкя на а) О и л', Ь) О в бл'? 8.э. П обозяачениях ьз 7Д показать, что е" 'кз 1з 3з 5з ... (2е — 1)з 7,(.)- (х -е оо]. (2лх) Н~ з «] (8,е)е 8.6. Доказать, что — 8 — — ~„(- 1)', И + О], С" 1 1 Ня1ез 11(О) Г (е) 1, (ра 1)етз зде НЕ(е) =1/Г(е].
8.7. Используя формулу Етирлинга, покааать, что при фиксированном неотрпцательнои ее е 1 — е(э е (1 -х ео). Г (е) ') Двадцать одни коэффициент, а такв1е првближевные значения следующих десяти были получены Ренчем (1968). 118 пнткггллы В двиствиткльнои овлхсти (гл. з 5 9». Оценки остаточных членов для лемв(ы Ватсона и метода Лапласа Остаточный член в (3.05) удовлетворяет тогда оценке е — ((р (1)()1~ Г~ ~- ) е )( (х — а„) '(9.02)~ (л ) п(ах (о„, 0))'). Наилучшее значение а дается формулой о а = Р ( Р. (1))* (с, > (9.03) а — ! д(!) — 2, а,((аь! '=с ) (Р„ (!) ) 1 Р,(1)= — ) ~ ~" )= — ) (ать — сна ~ а а ((а+в — ипи а Как я в (2.09), оцепка (9.02) асимптотическп приближается к точному значепшо абсолютной величины остатка при х- оо.
Если значение а бесконечно, то указанный подход невозможен, Это, очевидно, имеет место, когда а„=О; в этом случае мы просто переходим к болыиему значению и. Птсть а„ФО; наиболее общий случай, когда значение о„ бесконечно, имеет место, если функция (р (1) стремится к +со прп 1- +О. Пз (3.02) получаем для малых 1 (1( а Р»+т — ю(а ! а 1( +(+л-»(lа ! а 1(»в+х-»!»+ Поэтому П) ат( 1((бп — ! + ез ае! ~ 1(ма! — ! + а ' в! а да„! Если р(. 1, то !'""' !-~. оо.
Если а„+! и а, пме(от противоположные знаки, то вопроса не возникает, поскольку правая часть стремится к — со при 1-+. О. Но если р()1 и а +(/а„)0, то а = со. 9.2. Простой способ преодоления этой трудности состоит в видоизменении оценки (9.01) путем введения произвольного множителя ЛХ, превосходящего единицу; во многих случаях подходя- ') Условие * 0 необходимо для справедливости формулы (З.Об). 9СЕ В случае теоремы 3.1 естественным путем обобщения анализа остаточных членов является введение такого числа а„, что функция (р (1), определенная равенством (3.04), имеет оценку ) (р„(1) ! < ) а„) 1'" ' ' "е'"' (О (1( оо).
(9.01) ОЦЕНКИ ОСТАТОЧНЫХ ЧЛЕНОВ щим является значение М=2. Тогда вместо (9,02) получаем ! ~ е — *'рп (1) а>1 ~ а 1 << — „ о и (х > шах (о„, О)), (9.04, где (9.05) Оп = ЗНР ) 1 ~мп <(и+А — пуп <о, > ! Эта оценка, как правило, имеет место, поскольку при 1-и 0 выражение в скобках в последнем равенстве стремится к — оо. В частности, моя(по взять М = М„, где М звр ((Р (<)((а Г( тл — п>1 ) ~ <о, » Тогда О =О, откуда следует, что отношение правой части (9.04) к абсолютной величине первого отбрасываемого члена асищгготического разложения равно М и не зависит от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
