1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Дда е з(з) подстановка Г = кт дает ! сии !и ! А ЮШО (1) о П снду условия (у) и того, что О содержится в замкнутом интерва.'1е, мы имеем По(гк) = )г!Йе(е'"рЯ) — е"р(а))) (з(тр„ (6.15) где числа 11, не аависят от г и положительны. Поэтому (з) О(з-! +а *пи) (7(з-! +и!/и) справедливому равномерно относительно О при )з~-и.оэ. 6.4. Теперь мы рассмотрим оставшуюся часть интеграла, т. е. вклад от интервала (я, б) . Из условия (У) следует, что Ве(емр(!) — е'р(а)) = 11 ) 0 (1Ы(71, Ь)м), (6.17) '1! е. ояиир равномерно относительно О.
Объединение результатов этого пункта с (6.07) приводит к разложению (гл. з КОНТУРНЫЕ ННТЕГРЛЛЫ где г)не зависит от О. В соотвотствин с этим Ве (гр(1) — гр(а) ) = (( ~г( — Я) +Ц Ве (е'"р(1) — е"р(п) )) ) () г) — Я) г) + Ве(Яе'"р(1) ) — Ве(ое'"р(а) ) и ! Ь !' "Ь((З/я( ""( ' '"("Р(Г 'Ь(с((/Х Ь Х ~ ! ехР ( — Хе(ар(1)) д (1) ) д1. (6 1О) 1 Условие (Г)г) показывает, что последняя величина имеет порядок е *""0(е нм) равномерно отпосвтельно О. 1!оэтому асимптотическое разложение (6.16) не меннотся прн учете интеграла по (я, Ь) 6.5. Мы устаповили следующий фупдамеятальный результат: Те ором а 6.1.
В предположениях т 6.1 — д, .-- °, ( ') е и (д(1) д) — е '( 1 чт à —, . (6.19) ),(г-~х(ГЗ Ь з;О при г-ь. оо в секторе 01 ='агах(01. Козу(гу(и(11(ентьг а, опрег7е.гяются згетодогн зч 6.2, а ветвь г'""'з задается условиен ехр((в+ А) ()и) г(+ (0)/)ь). Как и в случае действительных переменных, следует отштить, что наиболее важные результаты леммы Ватсона (теор(.- ма 3.2) являются частным случаем сформулированной теоремы. УПРАЖПЕППЯ 6Л, Пусть .к' обозначает зрямолянсйяый отрезок, соеднняющпй томки г = е п 1 = я(1+ 1), функция (1+ 1) '" ярвяамзег главное значенне, иеремеяная з положительна и возрастаег. !7оказаггч что .У 6.2. Пусть У обозначает полуокружность в всртней полунлоскостн переменной 1, начннающуюся в точке 1 = 1 и кончающу(ося в 1 = -)1.
Показать, что я 112 ' 2 гь 1!З 1""-"н" ="1(-)н' — '- — '-Р)'" ' "я У при з — ь ьь в секторе — (я(2) + б < агб з < згстб(2/я) — б, где б — произвольао малое поаогкнтельное число, а 1вг и степени з оряннмают главные значения. $71 точки пзгивхлл 5 7.'Гочки перевала 7.1.
Рассмотрим теперь интеграл 1 (з) =- ~ е '"'~'д (г) Ж а (7.01) в случае, когда минимальное значение функции Йе(зр(Г)) на пути пнтегрлрования достигается во внутренней точке гс. Предположим для простоты, что величина О (— = агдз) фиксирована, так что 1е пе зависит от г. Разбивая путь точкой гс на две части, получаем 1(з) =- ~ с 'ро~(1)~)г — ~ е 'м~)7(г)дг (7.02) Предполон'пм, что в окрестности Еэ функции р(Х) и д(Х) пмоют разложения в ряды Тсйлора вида Р(1) = р (1и) +(~ Го) р Ос) + (1 "о) у +" (7 03) р(1) = ~7(Еа) + (Х вЂ” Х„) 7' (l„) -,'.
(1 — г )~ г,, ' + ... (7.04) Для больших !з( асимптотическое разложение каждого из интегралов в правой части (7.02) можно получить, применив тоорему. 6.1, причем роль рядов, указанных в условии (П1) 1 6.1, будут играть ряды (7.03) и (7.04). Однако если р'(Хс) ~ О, то условие минимальности Ве (е'р(Е)) в точке 8с дает соз (юс+О+ +ю) = О, где снова ею=ага (р (га)), а ы — угол наклона пути в точке 1с. Поскольку два значения ы отличаются на и, величина юс+О+ю равна и!2 для одного интеграла п — я)2 — для другого; ср.
(6.03). Значения юс и коэффициентов а, одни и те же в обоих случаях. Поэтому аспмптотическпе разложения интегралов одинаковы, и все, что остается после подстановки в (7.02),— это оста~очный член 0(з "е '""'), где и — произвольное положительное число. (Ота ситуация не имеет аналога в случае действительных переменных: когда функция р(1) действительна и непрерывпо дпфференцируема, она не может достигать во внутренней точке минимума, если не выполняется условие р'(гэ) = 0.) С другои стороны, если р'(1э) = О. то параметр д в условии (111) з 6.1 равен целому числу, такому, что р) 2. Таким образом, )гю отличается для двух интегралов на ря, и поэтому значения юс, удовлетворяюптие (6.03), отличжотся друг от друга на пп, если и — четное число, или на (р-+.1)п, если и — нечетное число. Следовательно„для определения коэффициентов а, исполь- 11* 164 КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вуются различные ветви р"", и асимптотические раалоясения бо- 0 лес не приводят к сокращениям при подстановке в (7.02).
7.2. Последние рассуждения дают ключ к тому, как поступать в случае р'(ге) чь О. Мы должны попытаться так деформировать путь интегрирования, чтобы минимум функпии Ве(е'"р(1)) достигался или в одной из конечных точек, или в точке, где р'(1) обращается в нуль. Если это удастся, то мы найдем асимптотическое разложение, применив один или два раза теорему 6.1. Таким образом, точки, в которых р'(сз) = О, имеют важное зпаченяе. Они называются точками перевала (седловыми точками). Задача отыскашзя точек перевала в оогцеа случае достатоы но проста, однако построение пути интегрирования, на котороп Пе(е'р(г)) достигает минимума в конпевой точке или в точке порезала, может вызвать затруднения.
Иногда помогает простая догадка, особенно когда параметр з — действительный. В противном случае может оказатьсн необходимым провести подробное нзученис конформвого отображения мея'ду плоскостями 1 и и, где и = р(1) — р(а) и а — концевая точка плн точка перевала. Как только образ 'ч' первоначальной области Т построен, лепи проверитзь можно ли соединить точку р(Ь) — р(а) с началом координат контуром ~, целиком лежащим в пересечении Т с сектором (агу(еои) ( я/2.
Допустимым путем т' служит 1-образ С но его фактическое расположение находить не обязательно: докааательство существования является достаточным для прпмениьюсти теоремы 6.1. Если а — точка перевала порядка р — 1, т. е. если р'(а) = р" (а) = ... = р" "(а) = О, ры'(а) ~ О, то окрестность а отображается па )д римановых листов, Однако полную окрестность точки а можно не рассматривать, поскольку путь ьт чежит на половине листа.
7.3. Чаще всего на практике встречаются интегралы вида (7.01) с простой точкой перевала, т. е. с точкой перевала порядка 1, во внутренней точке 1в пути интегрирования. Поскольку в этом случае происходит некоторое упрощеяие, мы можем дать полную формулировку результата, получающегося при объединении вкладов от (ге, Ь), и (а, 1е) Предположения: (1) Функции р(1) и д(1) нв зависят от з, однозначны и голоморфны в некоторой области Т. (П) Путь интегрирования 9' не зависит от з. Концевые точки а и Ь пути й конечны или бесконечны, и интервал (а, Ь), лежит внутри Т.
(П1) Производная р'Я имеет простой нуль во внутрентьей точке 1в пУти дв. ПРИМЕРЫ 1 в( (1ч') Лараметр з изменяется вдоль луча или в секторе, удовлетеоряюи(ем условиям 9~ ( 0 - Оз и )з("= Я, еде 0 = ага з, Оз — 9~ ( я и 2 > О. Интеграл 1(з) сходится в точках а и Ь абсолютно и равномерно относительно з. ((г) Величина 11е(е'"р(1) — еар(1з)) положительна на (а, Ь)уг, исключая точку гс, и отзраничена от нуля равномерно относительно О,когда 1-+.а или Ь вдоль лч.
Теорем а 7.1. При указанных предположениях ь л е "'~~у (1) дг 2е "' а ~~Ьч Г(з + —,) — "- (7.95) а .=о при з-. со в секторе 0~ - агпз (Оз. Формулы для первых двух коэффициентов имглот вид где р, д и их производные вычисляются в точке 1= гс. Прп вычислении (2р") "г и (2р") "г используется ветвь, для которой величина ыс = агу(р (1а)) удовлетворяет неравенству !хо+ О+ 2ы) -= я/2, где ег — предельное значение ага(1 — 1с) прп 1-+-гс вдоль ((о, Ь).
$ 8, Примеры 8.1. Интеграл Шлефли для полипома з(ежапдра степени и был определен формулой (7.19) в главе 2. Гго моясно привести к виду Р„(сова) =,, ~ е 'чк"д(1)дг где Ж вЂ” простой замкнутый контур, окружающий точку 1= сова, и 11 — соз а( 1 причем ветвь логарифма действительна при 1е=(1, оо)'. Ь1ы хотим найти асимптотическое ириближение для Р„(сова), когда и велико, а а — фиксированная точка из интервала (О, н). Поскольку гз — 21 соз а + 1 (гз — 1) (с — ссз а) ' 166 контугныв интвгр алы точки перевала совпадают с точками е' и е '.
В соответствии с 8 7.2 мы деформируем У так, чтобы он проходил через эти точки. Одним из возмонпгых результатов является единичная окружность (рис. 8.1). Так как функция р(1) действительна на части денствптельной оси, она принимает сопряженные значения при сопряженных значениях 1'). То же самое сцраведлнво относительно д(С). Следовательно, Рттс.
8уь Путь интегрирования для Р„(сопи). где Ж вЂ” полуокружность в верхней по- луплоскостн, соединяющая точки 1 и — 1. Точна перевала прн в = е' — простая, н поэтому монпто прлменить теорему 7.1. Полагая в = е", мы находим, что Ве(р(в) — р(ели)) = =1 ~' ~в1 2=— Эта величина положительна в интервале 0(т(я встоду, исключая точку т = а. Поскольку в данном случае 0 = О, то главное условие (У) выполнено. Остальные условия (1) — (1У) также удовлетворяются.
Замечая, что р(е'") = — 1и 2 — вы '), мы получаем ) е "мод(1)г)в 2" т~е'"" ~~ Г(г+ —,. ) —,", (и-в.оо). %' в=-с Чтобы вычислить ао, напишем ри(е*")= 1е '"созесы, д(е'")= — гсозеса. При ю (л;т2)+св мы выбираем оэо = — аг8 (ри(е'")) = — а — (Зл)2) (ср. (7.07) при 0 = О). Поэтому первая из формул (7Ж) дает а =(2з1псь) ьхе"в+витв ') Это следствие принципа симметрии Шварца; см, например, А. И. М аркущевнч„Теория аналитических функций, т. 2, М., вНаукав, 4968, гл. 8, 1 7. в) Выбор ветви логарифма является несущественным. 167 ПРИМЕРЫ Вас Следовательно, первое приближение имеет вид Рп(сов се)=( ~ в!п~ ах+ —., + — ) + О( гсз!' (8.01) пп в«п «х 4 с ~п с Значение аг можно вычислить по второй формуле (7.06), а козффициепты более высокого порядка находятся общим методом 1 6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
