1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Повторение рассуждений показывает, что функции дй,/ди и д й,/(дидх) непрерывны при г = 3, 4, ... Вези продифференцпровать выражения (1.05) и (1.06), то в силу аргументов, апалогичнтах приведенным в $ 1.2, ряды сходятся равномерно в й. Поэтому функции дго/ди и дги/(дидх)' непрерывны. Что касается функции дги»/(дидхг), то мы просто можем сослаться на уравнение, полученное при дифференцировании (2.01) . Доказательство закопчено. 2.2. В случае, когда и — комплексная переменная (х остается действительным), голоморфность коэффициентов дифференциального уравнения влечет голоморфность решений при условии, что начальные условия также голоморфны.
Теорема 2.2. Предположим, что 1) функуии /(и, х) и д(и, х) непрерывнга по обеим переменным, когда и меняется в области П, а х меняется в компактнол« интервале (и, И ' ') Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М., «Наука», 1970, и. сот. твоРнмы сущкствовлния з з) 2) при л>обом х из 1ач и функции /(и, х) и у(и, х) голоморфны по и; 3) значения ш и дш/дх в некоторой фиксированной точке хг из (а, Р) — голол>орфи>ые функции и.
Тогда при люболс хе= [а, И решение ш(и, х) уравнения (2.01) и его первые две частные производные по х являются голоморф> ыми функциями и. Прямое обобщоние доказательства первой части теоремы 2.1 показывает, что дЬ.(и, х)/дх и Ь.(и, х) — непрерывные функции и н х при всех ю Далее мы применяем теорему 1.1 лз главы 2 и интегралам (1.05) и (1,Об). Из пкдукцпи следует, что функции дЬ. (и, х)/дх н Ь,,(и, х) голоморфны по и прп з = 1, 2, .... Снова, как и в у 2.1, ряды (2.03) сходятся равномерно относительно и н х в компактных множествах. Этим устанавливается голоморфпость >о и ди>/дх.
Что касается дзш/дх', то снова можно сослаться па (2.01). УПРАЖНЕНИЕ 2.1. Показать, что нерву>о часть теоремы 2.1 можно обобщить тзк, чтобы начальная точка за зависела от и, при усзовпп, что гс и значения >з к З>з/Зх з гс звзяытсн непрерывными фупкцзкмк м. й 3. Теоремы существования для линейных дифференциальных уравнений: комплексные переменные 3.1. Теорема 3.1')'. Пусть функции /(г) и д(г) голоморфны в од>сосвязной области У. Тогда уравнение >Ссз> с>>з с+/(г)з>у(г)и>=0 с>сс >>с имеет бесчисленное лснолсество решений, голоморфных в Х.
Кс,си значения и и с/ш/с/г заданьс в некоторой точке, то реисение единственно. Доказательство проводится как в теореме 1.1. Сначала мы предполагаем, что Х вЂ” зто круг ~ г — а( ( т и чъ> гз — точка из Х, в которой заданы значения аз = ш(гз), а> = ш'(го). (3.02) Последовательность Ь,(г), з=О, 1, 2, ...
определяется как и раньше, только х заменяется на г, а в качестве путей интегрирования выбираются >прямые линии. Предположим, что г~ Х>, где 2> — замкнутый круг )г — а( ( р, а р — любое число, для которого )гз — а) (р ( т. Тогда существуют такие числа Н и К, ') Фукс (1866). »86 уРАВнения с Регулярными ОсОБыми точклми ггл. з ЧТО (Ьг(г)((Н, ~Ь;(г)~<Н, )/(г)(+/у(г)!(К при г е= Хг. В соответствии с (1.07) имеем ~ /г, г г (г) — Ь, (г) ), ) й,з.г (г) — Ь, (г) ( ( НК»1 ' ! г — ге (")з!, где Х = игах(2р, 1).
Поэтому члепамп ряда Ь(г) = лчг ()г,г г (г) — й,(г)) «.. с (3.03) 1(г) =- ~' ) (г — ге)", у(г) -.=- ~ д (г — г,)' -о » — с — разложения функций ((г) и д(г) в круге (г — го! ( г. Теорема 3.1 покааывает, что все голоморфные решения уравнения ') Соответствующее утверждонве называетса теоремой о монодромнн; см., например, А.
и. Мзркушевнч, Теория аналитических фупкпвй, т. 2, М., «Науке», 1988, гл. 8, 1 5. являются голоморфные функции; он сходится равномерно в Хг и, следовательно, в любом компактном многкестве, содержащемся в Х, поскольку р можно выбрать как угодно близким к г. '1'аким образом, сумма й(г) голоморфна в Х, и ряд можно почленнодпфференцнровать любое число раз. Вследствие этого функция й(г) удовлетворяет уравнению (3.01). Единственность устанавливается как в 1 1.3 илп на основании того, что в силу (3.01) и (3.02) все производные реп»ения заданы в точке гс.
Чтобы закончить доказательство теоремы 3.1, мы напомним, что Х вЂ” область, любые две точки которой можно соединить конечной цепочкой пересекающихся кругов, содержащихся в Х. Ь(ы просто применим только что полученный результат к каждому из кругов по очереди. Углов»ге, чтобы область Х была односвязной, необходимо для того, чтобы регпение, полученное с погющыо аналитического продолжеггпя, было одиозна шым '). 3.2.
Определегшя фундаментальной пары решений, вронскпана и линейной независимости, так же как и результат, сформулированный в теореме 1.2, без изменений переносится в комплексную плоскость. Ряд (3.03) называется разлолсенггелг Лиуеилля — Неймана для решения дифференциального уравнения. Оп играет важную роль в доказательстве существования, но в численных расчетах предпочтение обычно отдается другим видам разложений, например, ряду Тейлора. Пусть г — кратчайшее расстояние от точки г = гз до особых точен г(г) и д(г) и пусть а87 теоэемы существовлния (3.01) разлагаготся в ряды вида ()=-Х,( — .)', (3.04) а=о такяге сходягциеся в /г — го) (г.
Подставляя это выражение в (3,0г) н приравнивая коэффициенты, мы находим, что ао и аг моя<гас задавать произвольно (как мы и ожидали); коэффициенты с ббльшнмн номерами определяются из рекуррентных соотношений — з(з — 1)а,=(з — г))оа,, г+(з — 2)та а, а+... +), аа,+ +Ива.-а+уга -з+... +Ю.-аао (з а2). 3.3, Рассгготрнм снова случай, когда дифференциальное уравпение содержит параметр, Теорем а 3.2.
Предположим, что в уравнении Наго Вггг — + ) (и, г) — + д (и, г) иг = 0 и и г изменяются в финсироваггггых, но гге обязательно озрагшченньгх областях Н и Х комгглексных плоскостей, и Х) )(и, г) и д(и, г) — непрерывные функции обеих переменных; 2) гг(гг, г) и з(и, г) — зололгорфные функции г при любом и. 3) 1(гг, г) и у(и, г) — золоморфные функггии и при любых г; 4) значения ш и дюггдг в фиксированной точке го~Х явля,отся зо,гоморфнымгг функциями и.
Тоегга в любой точке г области Х решение ш(и, г) уравнения (3.04) и езо первые две частные производные по г являются золоморфными фугнпциялш и. Этот результат может быть доказан следующим образом с помощью теоремы 2.2. Начальная точка го соединлется с г путем гтг. лежащим в Х и имеющим уравнение вида г = г(т), где г— текущая точка пути, а т — дуговой параметр.
На пути Я функция ш является комплексной функцией действительной переменной т н удовлетворяет уравнениго г" гт11 Зм —, + ~Р (с) 7(и. 7(т)) —,, ~ — + (г' (т))ау(и, Ю(т)) ш= О. (3.06) Предположим теперь, что гтг можно выбрать так, чтобы а) функция гп(т) была непрерывной, б) Ю'(т) не обращалась в нуль. Тогда коэффициенты перед с(ш/агт и иг в (3.06) непрерывны; поэтому из теоремы 2.2 следует, что каждая из трех функций лог г Взг оазг г Вааг Им В ~ (т) В г д а — (" (т)) Вгз + ~ (т) В 188 уравнения с РеГуляРными осевыми точками 1ГЛ.
н УПРАЖНЕНИЯ ЗЛ. Показать, что уравнение (сЬ в) во" + и = 0 имеет фундаментальную пару решений, рвзлагвющнхсн в ряды Маклорена вида ез ( еа ' е + 3 зз + гв ев + 1 з 1 а 18 е 1 з 1 в 11 1 2 12 220 ' 6 30 1680 и проверить козффицненты с помощью вронскивнз. Каков радиус сходимости каждого кз рядов? 3.2. Показы«и что в з-плоскостн дзбвференциаььное уравнение Вебера '14' + ) имеет независимые рсшовнк 2в-'е ! зв+' (2в+ 1)(' в=о у 2в воз =, аз —, мв ' (2вр где а, = о, = 1, аз = ав = а и 1 =аа + — (в— в-г2 в 4 1) а„з (в)~ 2) ') Однако значении ам/в(т в точках соединения отличаются.
голоморфна по ю во всех точках а", включая, в частности, точку г = 2. Условия а) и б), конечно, выполняются, когда Вв — прямал линия. Но в любом случае можно всегда выбрать Вв состоящпм нз конечной цепочки прямолинейных отрезков. На каждом отрезке ю удонлетворяет уравнению вида (3.06). В начале каждого отрезка значения функций ю и (г'(т)) 1«(и/е(т — те же самые, что и в конце предыдущего отрезка, и позтому они голоморфпы по и'). Нрпменепне теоремы 2.2 поочередно к кажному отрезку доказывает теорему 3.2.
Другой путь для завершения доказательства предложен ноже в упр. 3.4. 3.4. Условпя а)' и б)' из 2 3.3 требуют от дуги тв болео, чем регулярности, так как в атом случае нужно было бы заменить а) на условие «функция 1'(т) непрерывна» (ср. главу 1. 2 11.5). Мы будем называть пути, удовлотворнющьте а) и б), Вз-дугаьпв. Регулярпые дугп будут называться Лыдугами, Ляалогпчнгнгл образом путь, на котором все производные ((т) непрерывны и г'(т) не обращается в нуль, называется г( -дугой, Все пути, обычно используемые в теории функций комплексной переменной и состоящие из прямо:шнейных отрезков, дуг окружностей, отрезков парабол и т. д., являются цепочками Л -дуг, и, тем более, газ-дуг.
классишикацтгя осовых точвк Показать также, что юг — --ехР(-1-= гг) )' ( —.а+ — )(г а+ 4)Х .. и ..Х (2 а+ г+ 4) х) (+ 4 ' ) с~~ ( 2 — 4) (2 — ~ ) Х =о 11 ! ' 2'-ш1' Х)2 г+ + 4 1 (2г+1)Р где вшоду выбирается лабо верхнвй. либо ппжппй впав. Згк Пусть, в обозначениях 1 3.2, Р н С вЂ” максимумы модулей соответственно 1(г) и г(г) на окружностп )г — г,) =- р, гле р — л|обое число, меньшее г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
