1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(1.05) Интегрируя еще раз н ис1юльзуя формулу интегрирования по частям, получаем х Ь, (х) = — ~ (х — 1)(Г' (1) )г,' 1 (Г) + д (~) Ь, 1 (1)) с(1 + а1 (х — х„) + а .. (1.06). Если з') 1, то из (1.05) и (1.06) можно вывести, что х Ь;1, (х) — Ь,(х) = — [(1(~) [Ь,(1) — 11, 1(1)1-)- и + е(Е)!71,(х) — Ьа 1(Е))) ьт х Ь.+ (х) — Ь. (х) =- — ) (х — Г) (1(Г) [Ь1. (Г) — Ь.— Я1+ а, + ь". (1) (Ь (1) — Ь вЂ” 1(1))) гй. Пусть (а, Я вЂ” компактный интервал, содержащийся в (а, Ь), который в свою очеродь содержит точку хе.
Из (1.04) и сформу1пгрованных условий следует, что существу1от конечные,постоянные Н и К, для которых в (п, р) ) Ь1 (х) ) (Н, ) Ь'1(х) )»~Н, ) /(х) ) + ( д(х) )»К. Поэтому ~Ьз(х) — Ь1(х))(НК)х — хэ), !Ьх(х) — Ь,(х)!»( »»(р — сс) НК) х — х,(.. 130 уРАВнения с РнгуляРными ОсОБыми точками /гл. э С помощью индукции легко проверить, что [1»,,+~(х) — Ь,(х)~, )Ь,т~(х) — Ь,(х)((НН'7»(х — х„(»Ез( (г»0), (1.07) где Ь = шал (р — а, 1). Следовательно, каждый пз рядов Ь(х) = ~~ (Ь,,+, (х) — Ь,(х)), Ег(т) = ~~,(Ь,~», (х) — Ь,(х)) =е =е слоднтся равномерно в (сг, и, Поэтому функция Е (х) пгпрерыв на, Ь(х) — дпфференцпруема, и Ь(х) = Ь'(х).
Далее, из (1.03) получаем Е»».~ 3 (х) Ь» (х) — » (х) (Е» (х) ЕР ~ (х)) — у(х) (Ь, (х) — Ь, (х)) (а 1). (1.08) Следовательно, ряд Х (Е» -н (х) — Ь;(х)) »=е скопится равномерно. Поэтому его сумма непрерывна и равна Ь"(х). Суммируя обе части равенств (1,08) от з = 1 до г = со, видим, что функция Ь(х) удовлетворяет дифференциальному уравнсшпо (1.01) в [сг, р]. Кроме того, выполняются условия Ь(хо) = аю, Ь'(хе) = аь (1.09) 1.3. 11оскольку значения р можно выбрать как угодно близко к Ь, а и — как угодно близко к а '), остается доказать, что Ь(х)— едннсгвеииое дважды днфференцируемое решение, удовлетворяющее условиям (1.09). Разность Е(х) между Ь(х) и любьжг другим решением, удовлетворяющим все»» треоовапяям, имеет начальные значения Е(хе) = Г(хе) = О.
Интегрируя (1.01), мы имеем Е'(х) = — — ~(Е(Е) Е'(Е) + ЕЕ(Е) Е(Е))сИ х Е(х) = — ~ (х — Е) (Е (Е) Г (Е) + д(Е) Е(Е)) гЕЕ (ср. '(1.05) и (1.06)). Пусть Н обозначает наименьшее число, для которого (Е(х) (( <Н и /Е'(х) (<Н при хен(гз, И; число Н конечно, поскольку Е(х) и Г(х) непрерывны по условию. Последовательная ') Есан Ь = »о, то это утверждение означает, что чр можно выбрать кан угодно большим»; аналогично для а = — оо. теОРемы существования подстановка в правые части двух последних уравнений дает ! !(х) ), )!'(х) РаНКЮх — хс1'!з(, где К и ь определены выше, а в — произвольное положительное целое число.
Полагая з-ь оо, находим, что функции !(х) и Г(х) тождественно равны нулю. Этим завершается доказательство теоремы 1.1. Изложенный метод построения решения уравнения (1.01) назьтвастся жетодош Пикара последовательных приближений, хотя, конечно, ничего приближенного в окончательном ответе нет, Обобщения теоремы 1.1 сформулированы ппжо в упр, 1.1 и 1.2. 1А. Пусть й,(х) и йг(х) — пара решений уравнения (1.01), обладающих тем свойством, что любое другое решение может быть записано в виде го (х) = А гэ, (х) + В ну (х), где А и  — постоянные.
В этом случае говорят, что го~(х) и и:г(х) обраауют фундаментальную пиру, Примером могут служить решения, удовлетворягощие угловпяьг й,(х,) =1, й,(х„) =О, гог(х„) = О, йг(хс) =-1, в произвольна выбранной точке хс ггнтервала (а, Ь). Очевидно, что в этом случае А = ~э(хс) и В = и>'(хс). Теорема 1.2. Вдеть функции )(х) и д(х) непрерывны в '(а, Ь), а й,(х) и гог(х) — решения уравнения (1,01).
Тозда следутэщие три утверждения эквивалентны; 1) юо~(х) и йг(х) образуют фундаментальную пару. 2) Вронскиан лу'(йг(х), й, (х)) — йг(х) й (х) — й,(х) й~ (х) не обращается в нуль ни в одной внутренней точке интервала (а, 6)'). 3) Решения гэ,(х) и гэг(х) линейно ггезавггсияы, т. е.
единственньге постоянные А и В, для которых Ай~(х)+Вйг(х) = О ' тозкдественно в (а, Ь), суть Л = 0 и В = О. Чтобы доказать атот результат, воспользуемся тождеством — )У (йг(х), йг(х)) = — 1(х) д (й,(х), й (х)), которое можно вывести о помощью дифференцирования, ') Однако воэмсжиссть того, что вровсвиаа стрематся к иуяю, когда х првближается к одиой из концевых точек а или Ь, ие исключается. 132, ъ'РАВнзния с РеГуляРными ОсОБыми точкАми 1гл. ь используя (1.01).
Интегрирование дает — ) Кх1ах И,' (й, (х), йг( )) = Св (1АО) где С не завнгнт от х. Поэтому вронскпан либо равен нулю прп всех х из (а, Ь), либо вообще в нуль нс обращается. Предположим, что выполнено условие 1). Тогда для люоой точки хо яз (а, Ь) н любых заданных значонкй иг(хо) и й'(хо) числа А и В можно найпг нз уравнений Аи1, (хо) + Вшг (х„) = й(хо), Ашг (хо) + Вш, (х,) = ив(хо). Из элементарной алгебры нзвестно, что это возможно тогда и только тогда, когда выражение йг(х,) и12(х,) — йг(х,) и11(х,) отлично от нуля.
Таким образом, пз 1) следует 2), и обратно, нз 2) вытекает 1). Далее, предположим, что выполнено условие 2). Тогда едпнственнымп чпсламп А н В, удовлетворнющпмн уравненням Аи11 (хо) + Вгаг (хо) =- О, .Аи', (хо) + Виег (хо) = О явля1отся А = В = О. Поэтому нз 2) следует 3). Наконец, предположпм, что выполннется условие 3) и АУ'(й1, шг) = О. Очевидно, что решение и1(х) иг(хо) и11('г) 1Р1(хо) и12(х) удовлетворяет условиям й(хо) = й'(хо) = О. Следовательно, в силу 1 1.3 и>(х) = О, иоэтому в силу 3) й1(хо) = и1г(хо) = О.
Аналогично, рассматривая решение и12 (хо) и11(х) йг (хо) йг (х) мы видим, что и1, (х„) = ш (х,) = О. Снова пспольауя $1.3, находпм, что и11(х) — = 0 н и12(х) — = О. Однако это противоречит условию 3); следовательно, предположение Ат'(й1, игг) =0 неверно. Таккм образом, па 3) следует 2). Этим доказательство завершается. 1'авенство (1.10) называется тождеством Абеля.
Непосредствспяыы следствием равенства 1(х) = О, т. е, когда в уравнении нет членов с первой производной, является утверждение о том,что вронсяиан леобой пары решений есть величина постоянная. УПРЛЖНИ101Я 1.1 (Теорема еуьтеетеоеанаа дж яеоввородяых уравнении.) показать, что теорел1в 1.1 остается справедливой и в случае, когда правая часть уравнения (1.01) ваменнется функцией от х, непрерывной в (а, Ь), 1.2. Пусть а и Ь конечны или бесконечны' предположим, что функции Пх) и Х(х) непрерывны в (а, Ь), ва исключением конечного множества точен Х, а П(х) ) и )Г(х) ) интегрируемы в (о, Ь).
Покаваттч что существует един- 183 РРАвнкния, содеРЖАщин пАРАметР стзеаяая фуаацмя ю(х) со слеяующя»1и свойствами в замыаанав (и, Ь):Ц ю'(х) непрерывна; 2] ю" (х) непрерывна, исключая точки х ы Х; 3) ю(х) удовлетворяет урааввягзю ()ЛО), исключая точки х щ Х; 4) заданы м(х») я ю'(х»), где х» — любая точка пз замыкания (а, Ь), включан маолзестзо Х.
8 2. Уравнения, содержащие действительный млп комплексныи параметр 2.!. Х(нотке нз дифференциальных уравнений, которым удовлетворя»от специальные функции, содержат один или несколько параметров, и часто бьпает необходимо знать, как решения ведут себя, когда параметры меняются. Т ео рема 2.1. Нусть в уравнении —, -'~ / (и, х) — „+ д (и, х) ю -= 0 (2.01) и и х изменяются в ограниченном прямоуголы»и»ге ЕЕ: из(и~иь а ( х -')3 и предположим, что функции /(и, х) и у(и, х) непрерывны в К. Допустим также, что хз — фиксированная точка из (а, Я и что значения и и ди/дх в хз являются заданными непрерывными функ»/ия и и. Тогда решение и и его частные производные дш/дх и дгш/дхг непрерывны в й.
Если, кроме того, д//ди и дд/ди непрерывны в зг, а значения диг/ди и дзиг/(дидх) при х = тз — непрерывные Функции и, то дш/ди, д'и/(дидх) и дзш/(дидхз) непрерывны в К. В этом утверждении «непрерывность в К» означает, как обычно, непрерывность функций одновременно по обеим переменным в К. Эта теорема является частным случаем общих результатов теории дифференциальных уравнений '). Для доказательства мы снова проведем рассуждения, как в 9 1.2, имея в виду, что фупкппгг Ь,(х) = Ь.(п, х) зависят теперь от и. Из (1.04) и сформулированных условий кепосредственно следует, что функции Ь;(и, х) и дЬ~(и, х)/дх непрерывны в и. Положит» Н,(и, х) =/(и, х) (дЬ,(а, х)/дх+у(и, х)Ь,(и, х)), и пусть би и бх — произвольные приращения и и х соответственно.
Из (1.05) имеем д6 (и л- би, х. + Ьх) дь (и, х) дх д.з х хч ьх — ~ (Н,(и+би, г) — Н,(и, Ю))дг — ~ Н,(и+би, ))г(г+ х, х -)- а,(и+ би) — а,(и), (2.02) ') Хартман (1970, глава Ч) т 184 РРАВнения с РеГуляРными ОсОВыми точкАми, !Гл. г где а1(и) — заданное значение ди/дх в точке хс. Поскольку /, д, йи дй1/дх и а1 непрерывны в й, они там автоматически равномерно непрерывны. Поэтому правая часть (2.02) численно меньше любого наперед заданного положительного числа е, если только оба приращения )би! п (б(х) ) достаточно малы.
В силу этого производная дйг/дх непрерывна. То же справедливо относительно /«г. С помощью аналогичных рассуждений и индукции можно убедиться, что функции дй,/дх и й, непрерывны при г=3,4, ... В последующей части рассуждений $1.2 числа П, К и Вможпо выбрать не зависящими от и. Следовательно, ряды (2. 03) сходятся равномерно относптельно обеих переменных. Поэтому соответствующие суммы «о и сйо/йх непрерывны в К Из этого результата и дифференциального уравнения (2.01) следует, что функция дг«о/дгг непрерывна. Этим завершается доказательство первой части теорегзьь Обращаясь ко второй части, мы замечаем, что в силу условий функции дй1/ди и дгй1/(дадх) непрерывны, и поэтому в случае г = 2 в выражениях (1.05) и (1.06) можно дифференцировать под знаком интеграла'). Отсюда, как и при рассмотрении дйг/дх н йг, следует, что функции дг/гг/(да дх) и дйг/ди непрерывны в Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
