1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Эти решения обозначаются соответственно через Р„"(г) и ()т(з) при условии, что выбраны подходящпе нормпрующпе множители. Преобразование уравнения (12.03) к пшергеометрпческой форме дает 1) и/2 ( — '), Р(~ (О +1 ( — з» Функция Рт в (г) определяется как решение вида Рт " (г) =-,, Г ~т + 1, — У; р + 1; 2 — 2 г). (12.04) =( +1)"2 '( Р— и (г) 1 =- 2 — Р(г — 1)взг(2+1)в(2Р(р — у т -)- р + 1; р+ 1; — — —,г). ' 2 2 (12. 05) Далее, исходя нз решения '( — г) 'Г(а, 1+а — с; 1+а — Ь; г ') гнпергеометрического уравнения (э 10.6), мы вводим определения (3 — 0(эж! (),"(г) =2'Г(э+1) (',, х (з+ 1)юг Х Г (т + 1, т — р, + 1; 2У + 2; 2/(1 — з)); (12,06) Выбор ветви обсуждается ниже.
В силу (10.03) это определение, эквивалентно следующему: угхвне????я с Регуляэныь??? псовым?? точ?тех??? ?гл х 216 это равенство эквивалентно равенству Х В(к+1 чти-",1' 2т+2; 2?(1 — г)), (12 07) й1??о?к??тел?? 2" и Г(?+1) введены для удобства; без последнего из нпх функция ?1;(г) обладала бы иежелател?нымп свойствами, обращаясь тождественно в нул?ч когда ч — отрицатсльчое целое число (ср. (9.05)).
В силу теоремы 3.2 правая часть (!2.00) или (1т207) строхпыся к конечному пределу, когда ч стремится к отрицательному целому ч?юлу, п предельное зна?ение удовлетворяет уравнению (12.02) '). Обе функции, Р, "ьг) и 44, (г), существуют прп всех значениях м, р и г, исключая, гозиожпо, особые точки г = -+1 и оо, Как функции г онп многозначны с тачками ветвления в г = ?~г1 и оо. Главные ветви обоих решений ??ыделяются введением разреза вдоль действительной оси от г = — оо до г = 1 и выбором главного з??ачения для каждой фуикции, входящей в формулы от (!2.04) до (!2.07). Следует отметить, что в разрезанной таким образом г-плоскости отношение главных значений функции (г — 1)'"" и (г+1)"'т в (!2.04) можно заменить главным значением функции ((г — !)! ?'(г+1))"'т, поскольку аги(г — 1) и аги(г+1) имеют одпп п тот же знак.
С другой стороны, если сомножптелп (г — 1)""(г+1)е?т в (12.05) объединить в (гт — !)"", то для главной ветви Рт а (г) правильна?ж является выбор той ветви, для которой й?!?нн?!ил (гт — 1)"'г полоавигельна при г ) 1 и непрерывна в г-плоскосги, разрезанной вдоль интервала ( — оо, 1). Читатель легко проверит, что в левой полуплоскости эта ветвь ио является главной для (гт — 1)"'г. Везде в оставшейся части параграфа и в $4 13 п 14, где появляются кецелые степени г' — 1, будет подразумеват?,ся, что ветвь выбирается указанным образом. Для ?!?инсарова?т??ого г (отличного ог ~1 и оо) каждая ветвь Р~ (г) и (),"'(г)является целой функ?!ией каждого из параметров ми р.
Это следует из соответсю?ун?щего свойства функции г' (теорема 9.1) и, в случае 9~ (г), из теоремы 3.2. Свойства 1) и 2), сформулированные в начале этого пункта, легко проверить, воспользованшись определениями (12.04) и ') Применяя теорему 3.2, следует е нзчестзе точки т, е уеланнн 4) взять любу?е фиксированную конечную точку нз области |з — 1~ ) 2. пгпсогдникнног уэлэнкнпп лежлндех 2?7 а !3! ''(!2.06). Этп свойства имеют впд ? !)в!3 Р, "(з) (з- 1, рФ вЂ” 1, — 2, — 3,...) (1208) за~~Г (и —,— !) и 3П / з б ??'"( )- (?2 00) причем в обеих частях соотношения выбирасотся главные зиаи пия. 12.3.
Чтобы удостоворпться, что Р„в (г) и ф.'(г) о1разуют шслеико удовлетворительную пару решеяий присоединенного уравнения Ло!каидра в правой половине г-плоскости, иам нужно выяснить поведение первой пз функций прп з †~ и второй при з 1. В качестве предварительного шага мы найдем и исреформулируем для этих функций формулы связи, введшшые в 1 10 для гииергеометрпческих функции. Так как присоединенное уравнение ~?ежандра не изменяется ири замене р иа — р нлп т на — т — 1, каждая из восьзш функций ?','э (з), Р:'",— ! (з), К" (з), 9 ", !(з) является решенном, Однако только чотыре из этих решений отличны друг от друга, поскольку из ()2,04), (12.06) и (12.07) непосредственно вытекает, что Р,,(г) == Р,, э(з), Р~, !(з) .=- Р,',(з), (12.10) ~, в( ) — К ( ), Е:,", » == Чв г, ( ).
Первая формула связи получается из (10.15), если положить и = о+1, Ь = т+р+1, с =- 2!+2, и заменить г на 2/(1 — з). Это приводит и соотнои!епшо л ~т з) Г(т- р-). !) Г(т р ) ГГ (12 1) Далее, в ('10.15) мы мо;кем подставить а = э+1, й = — т, с5 .р+1 и заменить з на (1 — г)/2. После этого, используя (12.10), ми приходим к равенству Г(тжр б!) Из этих двух формул и (12.10) вытекают остальные формулы связи ра (,) р — в() УРАВИЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ 2 та пч.
5 12.4. Теперь мы установим главный результат этого параграфа, касающийся присоединенного уравнения Лежандра. Теорема 12.1. Если Веч ) — 1/2, Ве р ) 0 и г изменяется в правой полуплоскости, то главные значения функций Р„(г) и Ц„'(г) образу1от численно удовлетворительну1о пару решений в смысле 4 7. Дифференцирование соотношения (12.05) дает вр — Р ( ) (г — П(Ф21 — 1 (г-ь 1, р ~ь О, — 1, — 2,...).
сЬ 21Ш111 1Р (р) Из этого результата и формулы (12.08) вытекает, что гт,(/1. „(г) Рз( )) мп 11л (г-~ 1, )г — нецелое число). Из (1ИО) следует, что вронскиан л1обой пары рс1пенпй присоединенного уравнения Лежандра имеет внд С/(г' — 1), где С пе зависит от г. Поэтому (12.15) 2в'(Р (г), Р, (г)) причем аналитическое продолжение устраняет все ограничения на р. Подставляя в последнее соотно1ление выражение для Р," (г) из (12.11), мы приходим к формуле (12.16) Следовательно, в сичу теоремы 1.2, функции Р, " (г) и ()," (г) линейно зависимы тогда и только тогда, когда ч+р — отрнцатольное целое число, т. е.
в случае, который в доказываемой теореме места не имеет. Если Ве Д ) 0 илп Р = О, то Рь Р (г) — подчпнонное Ре1пенпе в г = 1. Следовательно, при этих условиях решение (;1," (г) должно быть доминирующим. Аналогично, если Ке ч ) — 1/2 или ч = — 1/2, то на бесконечности решение 1)," (г) — подчиненное, а Р, " (г) — доминирующее. Остаготся два следующих случая: 1) Ве р. = 0 и 1ш 11 М 0; 2) Ве ч = — 1/2, 1ш ч Ф О. В случае 1) в г = 1 нет ни подчиненного, ии доминирующего решения, а в случае 2) аналогичное утверждение справедливо при г = оо. ПРНСОЕДННКННОЕ ЪРЛВНЕННЕ ЛЕЖАНДРА ' 219 з 12! Поскольку решения Р, (х) н 1( (з) линейно независимы при сформулированных условиях, онп снова образуют численно удовлетворительную пару (з 7,2).
Доказательство закончено. 12.5. Важность теоремы 12.1 заключается в том, что для продставленпя общего реиенпя прнсоедппгнного уравнопкя Лежандра с помощью чнсловых таблиц, вычпслптельных алгорптмов пли зспмптотпческпх разложений для больших значенпй параметров достаточно огранпчпться рассмотреппем Р,, (х) и 9г(з) при Вет ) — 1)2, Ве)х ) О, Вез'- О. (12.17) Прп других значенпях параметров н переменной можно восполь- зоваться формуламп связи п свести задачу к указанному выше случаю.
Следует, возможно, подчеркнуть, что еслп условпя (12 17) на- рушены, то фупкцпп Р, "(з) н К(з), как правпло, более не об- разуют удовлетворптельную пару, незавнспмо от того, являются онп лппейно пезавпспмымп плп нет. Напрпмер, еслн Вер (О, а числа р и т — )г отличны от отрицательного целого числа, то оба решения, Р, "(г) я (с"„(з), домпнпруют при з = 1. Это вьивапо тем, что подчпненным решенпем прн зтпх условпях является Р,"(г), а пз (1о.15) н (12.16) (где р заменено на — )г) следует, что функции Р, "(з) н (3 (з)лпнейно незавпспмы от Р~ (з).
12.6. Представляет ннтерес найтп фактические предельные выражения для функций Р„"(з) н (1,",(г) прп г — ~ оо и з — +-1 со- ответственно. Из (12.00) и (12.12) мы получаем, что Р, "(г), „' (2з)' (з -. ), (12,18) лн-Г (з + р -)-1) если Веч ~ — 1/2, т+р не равно отрицательному целому числу, а т+1)2 не равно положительному целому числу. Последнее из огранпченпй можно снять, воспользовавшпсь формулой Коши (р(п — 1!2, з) = †. †, , ~ ', аЪ, 1 Г <р(т з) 2л1 1 т — а+ 1,12 в где и — положительное целое число, л1/2Г (, Г (т + 1)2) (2г) а У вЂ” окружность (т — в+112( = 6; значение 6 произвольно.
По предположению, сумма и+(1/2)+)г не равна отрнцательному це- лому числу илн нулю; следовательно, внутри У не содержит- ся особенностей функции Г(т + р + 1), если 6 достаточно малб. Из (12 18) следует, что на $' справедливо предельное 22О УРАВНКНИЯ С РВГУЛЯРНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ !ГЛ З соотпоптение тр(т, х) — «1 пря з-э-оо; кроме того, легко видеть, что оно равномерно относительно т. Поэтому тр(п — 1/2, з)-ь 1 при г-+-оо, что и утверждалось. Далее, в случае о = — 1/2 мы находим, разлагая правую часть (12.12) в ряд по степеням У+1/2, что р — )м(х)= — пГ(Р ь1; )~~ ';, 1 + ф(0+1/2) ~" пз(з), (12.10) ат=!/з причем если р — (/2 — отрицательное целое чпсло, то вместо правой части рассматривается ее предельная форма. Правую часть (12.06) можно разложить в сходящийся ряд по степеням 2/(1 — з).
Дпфференпируя главные члены по т, полагая т = — 1/2 и подставляя результат в (12.19), мы приходам к соотпоплопию: ~ — "з(') Г (Р+ 1;2) ( ° ) (з — оо, р Ф вЂ” 1/2, — 3,'5, — 5/2, ...). (1 2. 20) Лналогичным образом можно проворить, что а 2оях) 1Г (в) 1 Г (т-~- Р -~-1) ( . Пагз (г-+.1, Пер)0, У+ р=~ — 1, — 2, — 3,...), (12 21) ()т(Х) =- .
1 [~ — ", ~ — тР(у+ 1) Р,',(З) (12.22) и От(х) Г - —: ) (з 1 т4ь — 1,— 2,— 3: . ). (1223) о 1о (з — 1) УПРАжНИНИЛ 12.1. Доказать, что Г1, 1 1 Опа (з) = чот2 — т 1з т а ~(зз — 0~ ~ар~. т., р+ 1, . т+ ' '(2 +2 2' 1 1, а +-.+-. -''-т~. 2' + 2' 122. Доказать формупу Уипплат 0а [з) = ~ — я/ (за — 1) П Р т Д(з (зз — 1) унт 221 етнкции лвжлцлзь 12.3. Проверить, что ( 2 ) 112 з)г ((т+ (12) Г> ( с в > ( ~ яь>(Ц т+(12 / Я )112 ехР ( — (1+ (12> Г) (,21>14 ) Г(с+312> ') ) 1)г Р 1 (с>) Г) = ~ .) сь ((т ->- (12> Г).
з 13. Функции Лежандра при произвольных значениях степени и порядка число, >г = О, то 133. Если т = п — положительное целое равенство (12.04) принимает внд Р„(г) = Е(гг+1,— и;1; —, — — 2з). Р„' (г) =- Р „ (г), где Р„(г) — многочлоны Лежандра, определенные в главе 2, 4 7 (сравните (7.14)). Принимая во внимание зто тол(дество, параметр т иногда называют степенью функции Р„"(г); >г называетсн порядком, Многие из свойств Р„(г), сформулированные в главе 2, доп>.- скают обобщение на функции Рта!з) н амтв(з) Ыы начнем с обобщения интеграла Шлефли. '13.2. Т е о р е и а '13.1.
Если г нв принадлежггт интервалу ( — со, — 11, то главное значение фунниии Р~ "(з) допускает интегральные представления вида (1";, Е) Р— з(-)= сз" Г(-т> (зг 1)зГз 2'+' гр(р — > (Ке>1) Нет), (1+, г+) р и( ) 2 в'"' Г(т+ г)(гг 1)игг (' (1 — г>' а)1 я(Г (т+ р+ (>,) (гг 0 -ь1 (Кст+Ке >г~ — 1). (гг (>т , и (г — г>"+"+' (13.01) (13.02) Кта функция является многочленом степени и по г, приннмагоп(им значение 1 прп з = 1; козффициевт при г" имеет вид (и-Р 1)п((2"и!). Поскольку присоединенное уравнение Лежандра (12.02) при сформулированных условиях сводится к уравнению Лежандра (12.01) и подчиненные регпенля единственны с точностью до нормирующего множителя, отсюда следует, что 222 УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛПРНЫЫИ ОСОБЫМИ ТОЧКЛПШ ТЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
