1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 41
Текст из файла (страница 41)
„определено формулой (13.03). В силу этих тождеств, рассматривая (!3,!8) вместо (13.07) и повторяя рассуждении !3.3, мы придем к соотггошеггпям (13.10) — (13,12), в которых символ Р заменен символом (1. УПРЛ1ЕПК1РПЯ рв ( ггвг) = ( — 1)г г ггл'дв ( ) Р и 00 = г'"л'Р и (г). 15г 13.1. Пусть .г — произвольное положительное плн отрицательное целое число, а Рг, "(гг"тг) и (Ф„'(гг"") — ветви функций Легкандра, полученвые из главных ветвей в результате гг2 обходов в положительном направлении эллипса с фокусами в ~ 1 и проходящего через г.
Аналогггчпо, пустьР в(г) и Огг,(г) — ветви, полученные из главных ветвей обходом точки 1 (без обхода — 1) г раз в положительном направлении. Показать с помощью упр. 12.1, что 223 уРлинкнпя с РЕГуляРнымн ОсОБыми точнлми !Гл г Из атнх равенств и фориул связи (1 12.3) вывести соотношения Р "(гехи!) = езтл(Р и (х) + т т с и — Исиз — ал! .е с!в с- И! „т) Ч,, (з), 2 Мп ((о+ 1(2) сл) + сох хл Г (т + и -;- 1) Г (е + р -!- 1) 132. Показать, что Р(, (с) (т + р) (л 1) ((2Ри — ! Ри () (2 1)( ! 1)(/зри — ! с)Р(' (2) 1) т (т и! Прл ЛСЕР е З!П (зип) и 3!пбсч)Г (т — р-Р1) () .Р! () О, (2) — Р(с (з) = О, (2) — ( + 1) зрл (х).
133. Дсфорипрун путь интегрирования в (130!), показа!!а что если хФ( — со,— 1), со (зх 1)лсз Г ( )с. )2!'з ! р-.и(з) .. - ~ с(т (Кс)г)йет) — 1). ;" '( — ) '( -;-1) 1 (с+» )т " ' 134. Вывести ич (1301) п (13.!3), ыо если е = л — иолоалпельное пслое число ллп нуль, то ( — 1) "с Вл! (хх — 1)"'2 к!л(Г (р — и) ((ет, тч-) Х ~, )и( ., 1)с)! (Йер)л) йа 1)з с' ! — = (! .з).-.- ~ ' — 1 з гяе логарифмы непрерывны на путнх интегрирования и принииасот главпыо вначеиин в окрестностнх начальных точек.
4 14. Функции Лежандра прп целых значениях степени и порядка 14.1. Если у и )х неотрицательные целые числа, то пх обычно заменяизт символами п и ж соответственно. Этот случай представляет особый интерес в физических приложениях. Заметим, что часть разреза от — оо до — 1 в определении ветвей функции (гх — 1)а"сг в 3 12.2 не является здесь необходимой: выбранные ветви (гг — 1) ""'2 пололсительньь при г 1 и непрерывны в г- ловкости, разрезанной вдоль интервала ! — 1, 11, 229 Функпгггг лежАНДРА пРн цклых сткпенях в 441 поскольку Р„(г) — Р„(г). Из втой важной формулы непосродствоппо вытекают следугощгге утверждения: 1) если иг»и, то Р,",'(г) = 0; 2) если т ( и н т — четко, то Р™„(г) — многочлен степени и; 3) если т ( и н иг — нечетпо, то единственным разрезом, необходимым для выделения главной ветви Р,',"(г), является разрез вдоль интервала 1 — 1, 11.
Из (14.01) и формулы Родрига (глава 2, (7.00)) выводим (.2 1)ии2 Л»-Ьт (14.02) н в силу формулы Коши .т „1»+2»)~ 02 — 1)"ог Г (г' — 1>" 2"' '»! лг,) 14 — г)»-ы" (14.03) где е — односвазпый замкнутый контур, обходящий точку 1= г. Другой лнтеграл типа Шлефли можно вывести из (13.02). При и = и и )г = иг ("= и) подынтегральное выражение одноаначно и ве имеет особой точки при 1 = г. Следовательно, петлго можно заменить односвязным замкнутым контуром КГ', обходяпгпм1 — — 1, но не обходягцвм 1 = — 1: Р;,- (г) =-( — 1) 1» —,' т)! яг,3 (гв 1)»тг Далее, используя соотношение (и — т)! Р,'," (г) = (и + т)! Р„(г) (и ) и), (14.044) полученное из (1231), выводим искомую формулу Рт( ) ( 1)щ 2" 1 1=' — 1) '2 ( (г — г)" (и»а)' яг л 14 — 1)» ег В' (и ~ т). (14.05) При г Ф ~! в качестве конту)эа $' в (14.03) можно взять окружность 1 = г -(- (г' — 1) "е" ( — л ( О ( и). (14.06), Из равенств (9.05), (12.044) и формулы дифферегщнрованпя для гинергеометрической функции, приведенной в упр.
9.3, мы получаем, что »1 12 — ' 1)»с »1 (гг 1)»пз ~ Р (г) (14 01) 2ЗО УгхВНЕННЯ С РЕГУЛЯРНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКЛМ11 ~ГЛ Тогда 11 — 1 = 2(го — 1) '-'е" (х + (го — 1) "соз О), и мы получаем представленно 1о —; од Р„"'(х) =.. " ', ' ) (з+(го — 1)нзсозО)'соат01/О (11.07) и!л о (ср. главу 2, упр.
7.9). Ограничение зчь ~1 может быть устранено по непрерывности. Прп Ве г > 0 легко проверять, что окружность (14.06) содержит внутри себя г = 1, но не содернсит г= — 1. Выбирая зту окружность в качестве Ж', выводим из (14,05) формулу о (,+(, В ы,,е) В формулах (14.07) и (14.08) функция Р,',"(г) имеет главное значенпе. 14.2. Как и для Р„" (г), верхний индекс второго решения при и1 = 0 обычно не пишут. Таким образом, из (13.16) имеем 4)„(з) = ()„(г) == ЯН- ! 1 / 2 х/ Для выделения главной ветви здесь снова необходим разрез лишь вдоль интервала ( — 1, 1).
Диалогично формуло (14.01) имеем ь/„' (г) = (го — 1)"Яз — (/„(х). (14.09) Чтобы доказать зту формулу, продифференцируем уравнение Лежандра (12.01) т раа с помощью теоремы Лейбница. Мы видим, что если ш удовлетворяет уравпенн1о Лежандра, то Р—= ~ео 3'"ю/о(г"' удовлетворяет уравнонию (1 — з') — — 2 (т + 1) з — -'; (я — т) (и + т + 1) о =- О. Оо ого Ло Делая еще одну замену и =(го — 1) '1Р, находим, что и удовлетворяет присоединенному уравнению Ле1кандра (12.02) (ср. (13.03) при т = и и 11 = т). В частности, это означает,что правая часть (14.09) удовлетворяет присоединенному уравнению Лежандра. Можяо докааать, что зто репгеипе является подчинен- $11) Функции лежАндРА пРН целых степенях 23! пым в з = со; поэтому оно должно отличаться лип1ь множителем от функции ()„(з). Равенство етого множителя единице можно установить из сравнения с формулой (13.16).
Замкнутое выражение для ()„(з) через Р.(з) выводится следуюпдим образом. Функция Г в (12.04) при у = п разлагается в конечный ряд по степеням з — 1 и полученное выражение для Р ., "(г) дифференцпруется по д. Тогда, используя (12.22), мы получаем — У (а ™ (1р(п + 1) — 1(1(з + 1)) (з — 1)'.
(14.10) ~--О Функция (7„(з) и логарифм имеют здесь главные значе1шл. При условии, что з не принадлежит разрезу от — 1 до 1, интеграл для главной вотан (~„(з), аналогичный (14.03), можно получить из (13.13), деформируя путь интегрирования до совпадения с разрезом и последовательно полагая т = и и )г = вм 1 ()-(,)=' " (а 'ЛД(з1-1)"-1 " " сИ (зф(-1 и). — 1 (4.11) Отметим, между прочим, что, в отличие от формул (14.03) и (14.05), зта формула остается справедливой и тогда, когда лг и и заменяются на у и д, если интеграл сходится, т.
о. если Веу ) — 1. Предположим теперь на время, что з ) 1. Делая подстановку Г = 3 — (з — 11че' в (14.11), мы находим д„'(з) = — ( — 1)'" ', ' ) (з — (з' — 1)1~а сЬО)" сЬтОдО, (14.12) о где Ь =- — )п ' " — ) =- Агсг)1 з. $ (з + 1) 2 (~ — 1) Временное ограничение снимается аналитическим продолжением: равенство (14,12) выполняетсн при комплексных з при условии, что 1~„(з) имеет главное значение и ветви функций ,(зз — 1) ' и ь непрерывны в разрезанной плоскости.
232 уРЛВнения с РВГуляРными осевыми тачками !Гл. з 14.3. Интегральное предста~влегыге для ()„(з) через Р„"'(з) (свнзывающее главные ветви), моягно найти с помощью построенного из них врояскнана'). Из (12.16), (13,14) и (14.04) мы выводим Р,',а(з) ()„"' (з) — К'(з) Р,",' (з) =- ( — 1) '("' ', . (14.13) Повторное применспио теоремы Ролля к формуле (14.02) показывает, что все нули функция Р„(з) лежат в интервале ( — 1, 1]. Следовательно, деля обе частя равенства (14.13) па (Р (з))' и интегрируя, мы находим, что Р если путь пнтегрпрования пе пересекает разрез 1 — 1, 1). Сяова предполагая, что з не лежит на разрезо, с помощью интегральной формулы Коши мояшо найти другое интегральное представление 0„(л) через Р„(з). Допустим для простоты, что лг равно нулю. Тогда Г 0„(!) е ! те а где тР! — большая окружность, а $'з — замкнутый контур, лежащий внутри 4У!, содсржащий внутри себя интервал ) — '1, 1) и пе содержащий точку з (рис.
14.1). Вклад от е."! стремится к нулю, когда радиус %'! стремится к бесконечности (ср. (12.09)).Далее, сжимая контур ез до совпадения с двумя берегами интервала 1 — 1, 11, мы находим, что ! 1 Г 0„(! — Ю) — О(! -'; го) Ое(з)= —.) " (1. а — ! — ! Обходя логарифмическую особую точку функции !)„(1) при 1 = 1, мы выводим из (14.10), что ().(1 — Ю) — ~).(1+ Ю) = я!Р.(1) ( — 1 (1( 1). Таким образом, мы приходим к интегралу Неймана ! !',)Р(г) = —, ) — "т)1 (зф [ — 1, 1)).: (14,15) Г Р„(!) — ! ') Фавтически зто является построением второго решения дифференциал! ного уравнения, если одно вз решений известно) сравните 1 5.1.
ф !!1 Функции срвжлидРА пгп цклых сткпенях 233 причем ветви квадратных корней выбираются сосллюю 5 14.1. Тогда Р„(г) = Р„(г,) Р„(г,) + в + 2 ~~ ( — 1) ",; Р„'(г,) Р,",'(гг) сое каср. (14.!7) т=! ! Для доказательства достаточно рассмотреть действительные значения г!, гг и ср при г! ) 1 и гг ) 1; обобщенно на комплексные значения вытекает из аналитического продолжения, Эта теорема основывается на толсдестве !10 -'- (г.
— 1)рм сов 0 — й (с! -'; (:- — 1)р!" со» (<р — О)) 1 (1 ~ ь а!1!ло (14.!8) справедливое при достаточно малых 1Ь), которое в свою очередь выводится из следующего легко проверяемого тождества. Л е и и а 14.1. Если а, Ь и с — действа тельпеке числа и а»(ба+ сг) ', то в0 2а а+ ь сов О.+ седое (в! ь! ыр!гг Разлагая левую часть (14.18) в ряд по степеням й и используя равенство (7.20) из главы 2, мы видим, что Из (14!.16) следует, что Р„(г) — многочлен степени и относительно сов ср и поэтому допускает представление вида о 1 Р„(г) = — а + ~' а созт!р, со=! 14.4. Последний результат, который мы установим в этом параграфе — это так называемая теорема сложения для много- членов Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
