1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 45
Текст из файла (страница 45)
а, з 3. Аснмнтотнческие свойства относительно независимой переменной ЗЛ. Из соотношения '(2А9) можно извлечь следующую информациио о поведенпи в конг(евой точке а! решения иц (х), введенного в теореме 2А: ш (х) )-1~."'екр [) !!(зс)х) (х — еа +0); (3.01) 1 22. Показать, что з теореме 2 1 зс шчява —. ~ е. (х) + ( — 1)! '7 !з (х)Х 2 Ме (х) ~ ограничена правой частью всраеевстаа (2.01), а з теореме 2.2 и величина ~ зт(х) + ( — !)!!! (х) е (х) [ ограввчева прапой частью неравевстаа (2.22). (Это полезно для вычисления провзводвой фувкцнп р'4( ) ю (~),) 2.3.
Пусть а и Ь вЂ” пропззольвые полоюптельвые числа. Показать, что В [а, пп) уразвекпе 252 ПР11БЛ11ЖЕИИН ЛПУВИЛЛЯ вЂ” ГРИНЛ ~гл. 6 аналогично, и, (х) 1' — ьм ехр ~ — ~ риздх) (х -ь а, — 0). (3.02) Эти результаты справедливы независимо от того, конечяы или пег значения а~ и агб онп не зависят также и от того, остаются или иет функции 1 и /я) ограниченными ирп приближении к точкам а~ и аз. Для с1траведлпвости этих результатое достагочно, чтобы функция контроля ошибки Р(х) имела ограни свину~о вариацяо в (аь аг).
В питерегпом слу гас, когда интеграл ) уиедх не ограничен при стремлешш х к концевой точке, естественно поставить вопрос, сугцествуют ли решения, пазовом пх шз(х) и г4(х), с доиолпительиымп свойствами и1з(х) 1 и"ехР (~ (издх) (х-~-а, — 0), и, (х) 1 — 04 ехр~ — ') 1' '-"дх) (х — ь а, (- 0). (3.03) (3.03) Чтобы ответить иа этот вопрос, рассмотрим сначала поведение решения и ~ (х) в точке ах 3.2. Теорема 3.1. Преднололгим, в дополнение и условия.и теоРемы 2 1, что У',,х,(г') ~ оо и ) )и'-'с(х — ~-со пди х-ь аз — О. Тозда е,(х) -~. а (а — постоянная),~ — Иа(х) е, (х)-~-0 (х -+-аз — 0). (3,03) Из теоремы 2.1 мы знаем, что величина )е~(х) ( ограничена в (аь ае). Смысл сформулированной теоремы состоит в том, что е|(х) не может.
неограниченно осциллироватгч когда х стрем|пса к ах Доказательство приведено ниже. В настоящем случае ссз = оо (ср. (1.05)), Для:иобого лталого положительного числа ц найдется такое ц е= (ал, со), что ~1Ф( )1д =ц. Предположим, что с ) у. Тогда, разбивая область интегрирования в первом выражении (2.10) иа две части точкой ц, мы видим, что ~ Ь1(с) ~(~ ент Ь>)'Ф(и)) до+ ~ ) ф(и) )ди(ент — М'(у) + г). а, Аналогично нз (213) н второго соотношения (2.16) получаем мт — и г+! лс!г11птотичгские своиствл гдс- Е„(с)=- ) ф(и) 1(и, Е„= ~ зР(о) (Е1,(о) — Ь,,(и)) ьо (я) 1). (3.07) а, а, При ~ ~ у мы мо1кем, как и раньше, получить из (2.13), воспольвовавшись возрастанием функции Ч'(ьь), неравенство а )Е,(3) — Е,(у))< — ч,(-)~) р()) Ь (з»0). Поэтому ! Е1(Е) — Е (у)(а: —, ' "и (Ч'(3) — '1" (у)) +!Е1'(3) — Е1'(т)!. (3.03) Правая часть стремится к пу1по, когда З и т независимо друг от друга стремятся к бесконечности; следовательно, Ь($) стремится к постоянному предельному значеии1о.
Этим устанавливается первая из формул (3.05), и доказательство теоремы ЗЛ закончено В силу симметрии аналогичный результат верен для 1лз(х) в а1. 3.3. В эакзпочение доказательства теоремы 3.1 мы укажем, каким образом микно получить ииформацшо о способе приближения е1(х) к пределу е1(ае), например, при х — э-аз — О. Полагая 5-~-со в (3.08) п заменяя затеи у па ь, мы получаем ) з, (х) — ег(ае) ! = —. (Ь(с) — Ь(оо) / < ~~ 1еч1 ч1 (1р( ) — Чг(;)) -'- 1 )Ь'(ц) Из (2.13) и (2ЛВ) вытека1от неравенства 1Ь1(с)!< 1 с" — "'(1Р(о)( Ео, а, (Ь|11(Б) — Е4($)1~<,~, ) ~ е )ф(о)(с(г. а, (3.09> т.'уммированпе дает неравенство (Ь'(с) ( ~(2ез1т '1 (ечцт1ы — 1) + е'"< '1~1Ч. Первый член в правой части стремится к нулю прн $ — а со.
А посколыу число 11 произвольно, то отс1ода следует соотношение Ь'(а) -а0 ирп ~- оо, эквивалентное второй формуле в (3.05). Далее, из (2Л1) и (2Л4) — (2.16) мы имеем )1(2) =- —,' "~ Е,(с) — — ', Ь (2), (3.06) з =-о пРиклижкнив лпувилля — ГРина !ГЛ. 6 Суммирование и подстановка в (3.09) дают ( е, (х) — вт (а ) ( ~ ( —,', ° "л-'~(~4< за ("* 'ч41)~г ), ело> ь а, Дальнейшие свойства зависят от поведения ф(и) прп и — 4- оа; один из примеров будет приведен ш1же в 4 4ГЕ 3.4. Теперь мы вернемся и вопросу, поставленному в 4 3.1. !!усть е1(аз) снова обозначает вреде и ное значение е1(х) прп .х- пт — О.
Тогда из (2.03) мы имеем иг(х) — (1+ е, (аз)) 1 — 10 екр() /14-г)х) (х — 4-аз — О), (3.11) при условии, что е1(аз) Ф вЂ” 1. 411актпческоо значение е1(аз) пашен теорией не дается, по оценку можно получить пз (2.04) при ! = ! и х = Рь Если пнтеРесоватьсЯ только исслеДоваипем аспмптотического поведения решешш дифференциального уравнения в а., то мо кно заменить а1 любой удобной точкой а1 пз интервала (ап аз).
Эта замена, конечно, отразптсн на п1(х) и е1(ае), однако соотпошеш1е (3.11) останется справодлнвым. Нолагая значение а1 достаточно близким и ап мы можем сделать величину у" (4') произвольно малой, гарантировав тем самым, что 1+е1(ат) не обращается в нуль. После етого деление ооеик частей (3.!1) на 1-~-е1(аз) показывает, что решение Рлз(х) со свойством (3.03) существует.
Нескольку выоор а1 в предыдущей конструкции произволен '(до некоторой степени), решение и>з(х) пе единственно. Таким образом, ситуация в концевых точках аналогична той, с которои мы встречались в главе 5, $ 7,. В точке ат регпенпе из(х), удовлетворяющее соотношеншо (3.03), является дозизкиру1ощпзг, но не единствеггнылг; решение же, удовлетворя1ощее (3.02),— под Гпнеяиое и единственное.
Аналогичные утверждения справедливы для решений 4Р1(х) и ш4(х) в точке аь 3.5. В случае теоремы 2.2 получа1отся результаты, отличные то в общем случае остаточные члены з1(х) и ет(х) осциллируют от приведенных. Например, если ~!11'4)х-4-со при х-+.аз — О, при х-4-аз — О. Далее, решение, удовлетворяющее одному из условий га(х) - ! — 144 екр(~ 1 ~ !1~Их) (х-э а, — 0), (312) является единственным. Оба ати утверждения можно проверить, 255 Асимптотпчвские сВОйстВА З 3! представляя общее резиетгпе дифференциального уравнения в виде линейной комбсгпации решений, описываемых теоремой 2.2.
3.6. Рассыотрим в качестве примера решения уравн«ппя (3.!3) игт = (х+!пх)й при х — т- оз. Мы пе можем взять 1 = х и д = 1п х, поскольку интеграл ) д1 — 'гзггх раскодптся прп аз = оо. Поэтому мы положим 1 = х+!их и д = О. Летно впдеть, что прп большггх х функция 1 "с(1 '")" имеет поряцок 0(х з'з). Следовательно, У'(Е) сходится в оо, тт аспмптотпческ~е рсчпепия уравнения (3.13) имеют вид (х + 1п х) — ""' етр 1! ~ (х + 1п х)изсгх~. Этот результат можно упростить.
11рп больших х имеем (х+1пх)гз ==- сиз+ — х — из1п х+ 0(х — Оз(1их)з). 1 т 2 Следовательно, ( х + 1п х) и сох = — — л'~з + х" з 1и х — 2хиз -с соиз1 + о (1). з В соответствии с этим уравнение (3.13) имеет единственное решение игз(х) такое, что — из — т' е р 'йхиз хзгз) н неедииствокиое решение шз(х) такое, что Пс+тх г2 ш (х) х ' ехр — хзгз — 3хиз) (х -ь оо).
УПРЛжПЕППЯ 3.1. Предположим, что выполнены условия теоремы 2Л и, ьроме того, Уг с (Г) ( оо, ) 1 Гзсгх-~-со пзв х — е ос — О и 11 Г с!х-е — сопРи х — е ас-ЬО. г г Пг 1'ассиатривая вронскпан относвтсльно 5 функций )ссссо~ и Ргсасз, доказать, что е,(аз) = ез(а~). 3.2. Показать, что уравнение юо — — а'+ ( — + х — сх) х = О имеет 2 (гв решения вида (1+0(хе *"))ехр( — 2е"гз) и (1+о(1))елр(2е"гз) при х — е со, З.З. Показать, что уравнение хо+ (2х '+ х ') х = О имеет два комплексно сопрнженвык решения вида х тех'сх (1+ у бй 1 — 1) х+ О (хз)~ ири х-е+ О. (гл. 6 пгнвлпгккнпв лиувплля — гэпнл 256 $ 4.
Сходимость Х'(Р) в особой точке 4.1. Если аг — конечная точка, то достаточные условия ограниченности У'(Р) в аг имеют вид с ( ! 7(х),,„, „ь'(х) =- О!( „, ~ (х — +.аг — 0), (4 01) где с, а и р — положительные постоянные, прн условии, что первое пз этик соотношений является лва;клы днффершщнрусмым. Тогда ~-(('(7 — "")" = О((а,— х)"-'!, д(-((г —.. 0((аг х)э — !) (4 02) (ср. (1.07)). В соответствии с этим Р'(х) = О((аг — х)'-'), гле б = ш(п(а, р). Поскольку б ) О, мы получаем неравенство у юч(Р) , сс, которое дает возможность применить теоремы 2.1, 2.2 и 3.1. В случае теорем 2.1 и 3.1 более точку(о информацию, каса(ощуюсл предельного поведения е!(х) и ег(т) в точке аг, можно получить следующим образом. Пз (4.02) вытекает соотношение У юп, (р) = 0((аг — х) '). Следовательно, ег(х) = 0((аг — х)") (х — ьаг — О) (4.03) '(ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
