1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Если обозначить через К максимальное значение функции 11Л(1) ( в [О, /с1, то яд зи) с Поскольку С(и, х) - С(и, оо), пз оценки (7.07) получаем, что е(и, х) = ып(их)0(и ' 1пи) (и-г-оо) равномерно относительяо х ен [О, со). Кроме того, из оценок (7 12) видно, что р и б имеют порядок 0(и '1п и.). Точные оценки даются ниже в упр, 7.2 и 7.3. УПРАЖНННИЛ 7л. пусть фувкяяя г(и, х) — = з(х) абсолютно квтегряруема в точке о я д(х) = 0(х ' е) яря х + О, где )) св (О, 1).
Показать, что в теореме 7д е(и, х) ведет себя кав зю(их)0(ис ') пря и — ~- сс равяомерво в (О, 6). 72. Пусть фуякцвя д(х) абсолютно вятегрлруема яа со я яяеет в точко х =- О простой полюс с вычетом, равным г. Показать, что и0(и, сс) = )г))в и+ с + и-Л(и), где с =)г ) ()в (юг/я)+ 5! (я/2))+ ~() х(с) ) — г с )г) ) г)г -)- ) ) е(с) )зб е л )г — лгобое востояявое число к ) ) (и) ) ( ($ + я72) гсал () Л (г) ) — с 1 ) г )). о<г«ядз„> Показать также, что с ве завяоят от л. Если а ( 1, то в силу элементарной геометрии и неравенства Жордана !ГЛ. Е 270 ПРИБЛИЖВНИВ ЛИУВГГЛЛЯ вЂ” ГРИНА 7.3. Пусть л(х) совпадает с потенциалом 70лавы ре- */х, в котором р н т — постоянные, причем число т полояштельно. С помощью предыдущего упрая~нення н результатов главы 2, 1 ЗЛ показать, что каждое решение уравнения (7.01), обращающееся в нуль в начале координат, можно предстезпть в виде (7.08), где 36/< — ехР( 1 ~!п(лл), Ы(2) — т+(Г+ 2) и~) (7 — постоянная Эйлера), прп условна, что зтз оценка пе превосходпт л/2.
й 8*. Нули 8.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение —,, + (7" (л) — д (х)) ш = О, в котором )(х) и д(х) удовлетворяют условиям теорем 2.1 и 2.2. Предполонгиьг также, что функция я(х) действительна и й(х)— = ) )чгз(х)г7х-ь сс (х-гав — 0), Как было отмечено в упр. 2.5, общее решение можно записать в виде ш(х) = А/ "(х) [з1ПД(х)+ 6)+ е(х)), (8.02) где А и 6 — постоянные, значениями которых определяются ча- стные решения, и [ е (х) / < ехр ( у'„,, (г")) — 1 (а, < х <а,). Условие и (х) = 0 дает $(х) = ил — 6+( — 1)' ' агсз1п(е(х)), где и — произвольное целое число.
При х-э.ат — 0 имеем е(х) = = о(1). Следовательно, $(х) = пл — 6 + о(1) (и -ь со). Поэтому в окрестности точки аз нули иг(х) даются формулой х = Х(ил — 6+ о(1)) (и-ьос), (8.03) где ХД) — функция, обратная а(х). Если использовать теорему о среднем значении, то этот результат можно сформулировать как х = Х(ил — 6)+о(1)Х'(пл — 6+о(1)) (п-~- оо). (804) Аналогичным образом, если дифференциальное уравнение содержит большой положительный параметр и и имеет вид —, + (из7 (х) — я(х)) иг = О, 271 % В) нули причем у'„, „,(г)( сю, то нули ю(и, х) в (аь аг) имеют вид (8.05) равномерно относительно и.
Здесь 6(и) зависцт от граничных условий, которым удовлетворяет иг(и, х), а и — любое целое число, такое, что значение и '(пл — 6(и))+0(и т) лежит в интервале изменения с, соответствующем интервалу (аь ат). 8.2. Дальнейшее уточнение формул (8.04) и (8.05) зависит от свойств Х(э). Предположим, например, что аз= оо и что /(х) н д(х) удовлетворязот условиям (4.00). Тогда $(х) сьх"/сс (х — 1-оо), Х($) (ас ь$)ьв (е-«оо) г 1 — о 1аййз — юю У' (4з Х'Я) = — -*— . /за (,.) спэ сиэьо ' Х (4) а$ Поэтому Х'(пл — 6+о(1)) — Х'(пл — 6) при и — «со, и подстановка этого соотношения в (8.04) дает ') х = Х(пл — 6) (1+о(п ')) (и,— «оо).
8.3. Оценка остаточного члена для асимптотического приближения (8.03) может бьжь построена следующим способом. Пусть Ь вЂ” наименьшее чисяо из замыкания (аь ат), такое, что у-„,„(г) (1и 2 (Ь (х а,); положим о(х) = ехр(у'„,„(Г)) — 1, 0(х) = агса1п(е(х)). Тогда в (Ь, аг) имеем )я(х) ! ~< о(х) ( 1 и )О(х) ) ( л/2. Уравнение для нулей Функции (8.02) принимает вид ю(х) = — $(х) — пл+ 6+( — 1) "О(х) = О. (8.06) Если и — такое достаточно большое число, что Х(пл — Ь' — л/2) ) Ь, (8,07) то ю (Х ( ил — 6 — л/2) ) = — ( л/2) + ( — 1) "О (Х (ил — 6 — л/2) ) ( 0 и оэ(Х(пл — 6+ л/2)) =(л/2)+( — 1) (Х(пл — 6+ л/2)) ) О.
Поэтому н интервале Х(пл — 6 — л/2) < х Х(пл — 6+ л/2)' содержится по крайней мере одни нуль. ') Дальнейшим упрощением в~ожет служить формула х = (ас-ьяя)и")4 ;к,(1+ о(1)), во ова является сящввом грубой, поскольку не отделяет нулей. 1ГЛ. Е ПРНБЛНЖЕНИЕ ЛИУВНЛЛЯ вЂ” ГРПНХ Чтобы найти более узкий интервал, в котором содернсится этот нуль, обозначим его чорез х = Х(пп — б+ 11). (8.08)' Тогда ц численно меньше, чем л/2, н удовлетворяет равенству 11 =( — 1)" 'О(Х(пя — б+ 11)). В силу неравенства Жордана (О(х) ( ='(л12) (е(х) ( -.(я/2)о(х).
Поэтому ) т~) ~ ~—,ехр~ у' ~ „~ (Г)~ — —; (8.09) Далее, О'(х) = з'(х) (1+ зз(х)) ", и из теоремы 2.2 вытекает неравенство ) е'(х) ) =7" (х) а(х). Если х > Ь, то о(х) < 1, и по- этому )О'(х))7'-ь(х) < о(х)(1 — а'(х)) '". Выразкение о(1 — оз) " как функция а возрастает монотонно от нуля при а = 0 до единицы при о = 2 '".
Пусть Ь вЂ” наимень- шее число нз замыкания (Ь, аз), для которого У х,а,(Ь)(1п(1+ 2 11з) (Ь(х(аз), Тогда ег'(х) ) 0 в интервале (Ь, аз). Таким образом, если п настолько велико, что Х(пп — б — л)2) ~ Ь, то условию (8.09) удовлетворяет точно один нуль (8.08). 8.5. Аналогичные рассуждения дают следующий результат для приближения (8.05). Пусть и( У' ...
(Е)ДЛ(1+ 2 — 1гз), и п таково, что Х((и '(пя — б — л/2))~(а1, ат). Тогда и1(и, х) имеет точно один нуль вида Х(и '(пч — б+ ц)), где 2 Р ~ У л~„-,(„„з и)) ( )~ 2 Таким образом, если п удовлетворяет неравенству (8,07), то функция (8.02) имеет нуль вида (8.08), где Ч оценивается согласно формуле (8.09). 8.4. Проведенный анализ не исключает возмон1ности того,что соотношению (7.09) удовлетворяет бо.гее чем один нуль. Чтобы разобраться в этом вопросе, мы исследуем знак 1о'(х). Из (8.06) получаем ы'(х) =Б'(х)+( — 1) "О'(х) = (ь(х) (1+( — 1)'О'(х)1 ").
273 кклп $ а) Следует отметить, что оценка (8.10) стремится к кулю при иг-со или при п-х.оо, что снова отражает двойпуго асимптотическую природу ЛГ-приближения. 8.6. Оценки (8.09) н (8.10) относятся к переменной с. Ошибка в соответствующем значении х может быть оценена на основе специальных свойств функции Х($) плп с использованием результата следующего вида, доказательство которого предоставляется читателю в качестве упражнения.
Лемма 8.1, Предгго.гожгг.к, что в коггеггнож или бесконечном интервале (сг, ьз) изменения $ функция Х(с) положительно, Х'(зь) — непрерывна и )Х'(8)/Х(з) ) - К. Тогда для любых чисел й и 6, таких, что Ц и 3+ 6 лежат в (сг, Цг) и (6(<: 1/К, справедливо неравенство (1 — К(6() Х($) < Х(Ь + 6) ~ Х(зе)/(1 — К)6)) . УПРАЖНЕПИЯ 8.1. Выаестк кз (8,04), что осли аз — конечная точка, а функцпн /(х) я е(х) удовлетворягот условиям (4.01), то нули ш(х) в окрестности а, оппсыеаются формулой аз — х = (аг — Х(лп — 6))(1+ о(л ')) (л — г- со), 7 1 х гегз 8.2.
Пусть т — фиксированное положительное число. Выбпрая ( —,„) (2 га) в качестве новой независимой переменной в уравнении Бесселя х'ш" + хш'+ + (хг — тз) ш = О, показать, что кули каждого решения внегот анд х= ак— — 6+ о(1), где и — большое положительное целое число, а 6 — прокззольная постоянная. к ж' — 174 Показать также, что если лп) 6+ 2 +,, г7 ), то существует точно оден нуль, для которого ~ гпз —— )х — лп+ 6) < —.ехр и лп — 6 — 2 8.3.
Используя (8.05), поназать, что прн воложательаых зкаченпях параметра и уравнение ш" + и'(хг+ 1) ш = О имеет решение, дейстактсчьные нуля которого представляются в ваде Т((кл — 6)/к) + ц(и, к), где 6 — произвольная постоянная, и = О, ~1, ш2, 2, Т(6) — функция, обратная 3(г) вз формулы (8.03), и ц(и, к) = и — 'гз(к+ )л)] 'г'0(1) при и — ~ со равномерно относктельно неограни- ченных значений а. В случае положнтельных нулей использовать (830) для доказательства более сильного результата Ч(а, л) = к 'г'(и+ к) 'г'О(!). 8тй Пользуясь обозначекнямн 1 8.3, показать, что в нуле фуняцин ш(х) справедлива формула ш'(х) = ( — 1) "А/'г'(х) (1 + т), где — р — рз < т < р, а через пр/2 обозначена нравая часть (8.09).
18 Ф. Олвер 2т4 ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ вЂ” ГРИНА ИГЛ. 6 з 9а. Задачи иа собственные значения 9ЗС Рассмотрим уравнение аах —, + (пер (х) — д(х)) ю = О, (9.01) в конечном интервале а~ ( х ( ап в котором 1(х) и д(х) удовлетворнют условиям теорем 2.1 и 2.2; пусть, кроме того, функция и(х) действительна, функции 1а(х) и л(х) в концевых точках непрерывны, причем Дх) не обращается в нуль. Существует ли ропление ю(и, х), удовлетворяющее граничным условиям ю(и, а~) = ю(и, ае) = 0 и не равное тождественно нулю? Ответ будет утвердительным только для некоторых частных значений положительного параметра и, называемых собственными значениями. Соответствующие решения называются собственными решепиллш'); они произвольны с точностью до множителя, не зависящего от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
