1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 52
Текст из файла (страница 52)
О»вен 290 1гл з пгивлпжкегпк л11упилля — Геиегх Но чтобы избежать ггзлппгних усложнений в обпгелг случае, мы заменим выражение в скобках в (13.04) его нижнеи гранью хе+у'+т'. Вычисление дает '(13.05) У ь (1 ') ( т(а) 1з ~ где величина 2(а) определена формулой (13.02). Пз леммы 13.1 следует, что этот чуть более слабый результат эквивалентен использованию ломаного пути на рис. 13.2. 13.4. (3) я( !0((Зя12. й(пнимизпруюппгй путь является предельной формой пути, изображенного иа рпс. 13.4, ког;1а радиус Й А 'л Р .
13.3. — ' Со — -.- Рсс 131, лл" 0 дуги стремится и бесконечности, г1тобы проверить зто, предположим, что любой другой путь пересекает отрицательную действительную полуось в точке г = й Если 1 = х, то результат вьют кает непосредственно пз 9 13.3. Если 1 е— : (х, О), то для каждого по южительного числа т мы сРавниваем точки кРУта 11 — 1( (т с Ге= ==.г — гг. Споеа (1! ((1е(, исключая точки, ле'кап1пе в недопустимой лунке. Полагая Л-л- со и используя лемму 13.1, мы получаем У'. (1 ') (22(а)1Вез( '.
('13.06) Заметим, что если значение (з( фиксировано и агя з -~- л-Зл12, то путь движется к началу координат, причем У'е (1 ') —. оо. 'Этого можно было ожидать, поскольку мы приближаемся к границам области справедливости Нт(оо). исторпчпскг!я спец!гния 291 УПРЛгКНКНПЛ 3.1. Показать, что решение уравнсния = зэ — — з м иьгест вид ,(з ( 4 ) 1 з Н- ехр ( — —. зэ) (1+ з (з)), -„", г.и величина (з(а) ( оценивается фупкциямп ехр !! —.1 "( '-7! — 1, ехр ~ — их (,2 з 7' ' '(4 !1 — 1) ) — 1 илп ехр ~ —. и ! не га ! ~ — 1, в завнсвмости от того, в каком иэ '(2 ' интервалов (О, пЯ,(тг1, л(2) пли (дг2, Зп(4) лозаж (агд (.
!3.2, Пусть эг — бесконечааз ()кдуга, прочои У т(г') ( со и а — постояипап, а > 1. Показать, что у'„с(г ') ( сс. !3.3. Пусть ! = 1(о) — бесконечная Лкдуга, о — дуговой параметр. Показать, что если !г(о)) ' = О(о ") прп о — ~ оэ, где а) 1(2, то У'(! ') сходится вдоль дуги. Показать такжо, что зтии условияч удовлствориет любая параболическая дуга. 1!.4. Показать, что на иутн г = 1 + гг з!и т (О ~ т < сс) вариации у'(! ") схотитсн при а ) 1 и рэстожжся при а = 1.
!35. Вывести из определения функции Е!(э), данного в $32 главы 2, что ,'(алсе с помощью интегрирования по час гяч доказать, что в аспмптотиче- ском разложении В! ( ) ск ~~ г(„— -' — ! .=э (г -ь -(- со) отношение и-го члена к (о -1- 1)-иу ко иозкж превосходить по аосолютной вслп шие 1+ 2(л+ !), Исторические сведения и дополнительные ссьглки пта глаза огноиэнз на рэоотс Олэера (1961]. Пзложсняый таи материал гйзл:пгачитсльно ражпирсн, з осощ иности з точ, что касается двойной асимптотической природь! ЛГ-приближонпя Пали ше явного выражения для оценки остаточного 'пена сдала!!о изложенную выше теориго более едпнои и простой. Приближение (1.08) Пгзло независимо использовано Лиувиллем (1837) и Грином (!837). Ватсон (!94гр, ! 1.4) заиеюгл, что фактически тот яге метод был использован Каронин в 18!7 г.
цгвзг!ки-теоретигггг часто называют формулу (1.08) ВКБ-ирпбгппкением на основании работ Вентцеля (1926), Крэмерса (1926) и 1'рилчгозиа (1926), Однако вкладом этих авторов было не построение приближения (которое уже было известно), а установление формул, связывающих зкспоненциальное и осцилляторноо решения в точнах поворота на действительной оси. В последнее время к буквам ВКБ иногда до бавляют букву Д, чтобы указать, что приближенные формулы связи Вентцеля, Крамсрса и Брплчюзна были получены ранее Дигеффрисом (1924). Днгеф. 19э йслг >н ц>ьчннгкгнгн гн>ь нплля -- грина )ГЛ.
О фрнс (192!) также указал, что сиу предшествовали раооты Га>гса (1913) и (н меньшей степени) Рейли (19!2). Поэтому представлнется целссообра.>ным, следуя Д>кеффрнсу, связь>вать прпблшкение (!.08) с именами Лиунилля и 1!рина и оставить обозначение ДВЕП длн формул свн.ш. Дальнейшие историчоские свг денни мо;кио найти н работах Паш,а (!961) и б!ак-Хафа (1971). 1, Лиувилль (1837) использовал тол>,ко частный впд преооразовагги>г, приведенного в ! 1.3. Лан>ер (П!31, 1935) первым использовал более оби!и!г ннд для ппстроенвя равномерных всцмитопсшсщш прполь>кенпй. !й Обозначение ( (а, т) введгно Дж. 1>, П.
Миллером (1968); в этой работе мои>но найти водробноо о>шсанпе свойств и >зблнцы функции параболического цилиндра. О юбщсние (606) иа асп>щто> ичсское разлщкенио ио убывающим стеиснни и дано Олеском (1974. й 8. Некоторьи> дальнейи>п> ре.>ультаты и сгылкн. касающпсся оценпк оста>очнь>х членов длн аспмптопщссшш прп»лиигени!г и>лей. даны ьсткоутом (!9708).
9 9. Относите:п.но ди;>ьпейшеи> асп>пюотического исследования сойствсннь>х значений си, Фикс (1967), Кон (!967) и Наттерер (!969). $ 10, Врдейи (1964) был, по-видимому. первым, кто систематически изучал сингулярные интегральные уравнения, возникающие прн получении асимптотических решений обыкновенных дифференциал>ныл ураннений. Приведенные теорс»ы имегог сходство с сто результатаип. ГЛАОЛ ! ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ИР1'ЕГУЛЯРНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ; ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ВЫРОН(ДЕННАЯ ГИНЕРГЕОМЕТРИт1ЕСКАЯ ФУНКЦИЯ !.
Реэиения в виде формальных рядов 1йз потери общности можно ирсдполгиги1ть, что осооая точка пакодится па бесконечности. Ото означает, что сущоствует такая внешность круга /=/)а, в которой функции !(г) и д(г) разлагаго~си в суодящиеся степенные ряды вида .!(г) - - —, !!(г) -- .д,—,'. (1.02) -з г О !!ри этом готя бы один иа коэффициентов !с, рп 1~ не обращается н юль, так как в противном случае особаа точка была бы регулнрпои. В уравнении (!.О!) можно иск:почить слагаемое с первой иропзводноь1, сделан замену и~ - сар — —, ) 1(г) г)г~ р. ! Г (1.03) Тогда вч ч —., =- п(г)д, (1.04) где д(г) = — !'(г) + — !'(г) — 1!(г). !За в, огнев 1.!.
В предыдущей главе мы видели, что в окрестности иррегзляриои осооой точки рсшсииа линейного дифференциального урависипн взорого порядка аспаьптотичсскп прсдставляготся Л Г-функцииии. !! и~ риыт на!нп рафат настоящей главы будет показано, как эти приближения можно обобщить до асимитотическиг разложгпий, !(сиользусзпнй метод применим к особой точке :побого конечного ранга, однако для простоты изложения мы ограничимся случаем, наиболее часто встречагощимся в ириложспияг, а именно осооой точкой ранга '1. Как и в главе 5, рассмотрим дифферонт[иальпое уравнение вида —., + ! 00 — '' + р (г) щ = О.
(1.01) хглвиглшя с иггкгутягпызиг осовыыи точками 1гл 7 Если (з()а, то в силу разложений (1.02) д ( ) =- —, ()з — д.) -'; ( —. УА — д ) ' + ° (1л ь ) о В ХЯ 3 и !2 главы 6 было показано. что ири соотвстствузощих ограничениях уравнение (1.04) имеет решения, обладазощиесвойсньом у г! ''(х)ехр1-к ~! д (з)Их) ири з — ь со.
Если воспользоваться разлои;гнием (!.05), то чнз представление принимает вид д С схр ( ьр" +о)и х), ( !.06) где С вЂ” постоянная и р — ( — /з — яз), о --( — ! ! — — а )~р. Формула (1,06) справедлива ирм условии р ть 0; случай, когда р = О, рассматривается ни;ко в х 1Л. Возвращаясь к первоначальному дифференциальному урависиикт, мы получаем из (1.0 !) и ('1.06) т — Сехр (Лз+р !и з) (1.07) где 1 Л = ~ р — —,, 1„, р =- ~ о — —, /,. . г. 1.2.
поскольку коэффициенты !'(з) и д(х) допуска~от разло:кения ио убыва~ощизг степеням з, естественно нопытаться обобщить формулу (1.07) и получить ре~иевие в виде формального степенного ряда (!.! 6) и — е з зк к,з а'М л ь — з Подставляя это разложение и (1.02) в (1.01) и приравнивая коэффициенты, находим Л'+~еЛ+~о=О, ( 1.0!1) (те+2Л) р= — (1~Л+б~) (1.!О) и ()в+22)за, = (з — р) (г — 1 — р)а, ~+ .+(Цз+дз- (з — 1 — р)~~)а.-~+(Цз+дз — (и — 2 — р)Яа, з+...
+(Л! ы+А';н+Р!.)ае. (! 1!) $ с! ю:шанин и види золт<альных гадов 995 Первое из этих уравиенш< оирсдоллет два возможных значения а: ! 1 о )<Сз )., )о - — — ! ~( — !з — д) < с-'= т о — (4 о й-=.е *<с Ис, 1==э' Оио ириводит к уравиешпо — „, +Р(1) — „-; — СП)И~ 0, И»И', Инс (1.12) Где р (с) 2<! (го) 21! С(С) —.— Со(4, (Со) + (;, — 2)о! По]). Уравнение (1.!2) имеет тот л<е вил, что и (!.01). При )Е/)а<со ого коэффициенты мо>шш разложить в ряды 3/< — ! .
3(< 4а — 9/ С () " с со т '''' (1) (4к< 2(о!с) < со р Если 4д< — — 2)о!<, то уравнение (!.12) имеет регулярнусо особую точку ири 1 = сс и иозтому допускает решения в виде сходящнх- '! Айно (1939, 1 !7.53). 19а' Уравнеиио (1.!О) определяет соответствующие значения р<, рэ иараметра р. Легко убелитьсл, что эти значения согласуются с 9 1!. Значенс<я ао, например ао с и ао и в этих двух случаяч можно выбрать произвольно.
Тогда остальные коэффициенты, а,, и а, о, опрелелясотся из рекуррснтных соотношений (1г!1). Указанный способ становится неэффективным тогда и только тогда, когда !о+2) = 0; в этом случае !« =. 49<„. То, что дифференциальному уравнению в окр<стиости иррггуляри<сй особой точки удовлетворяет ряд вида (!.08), первым заэ<етпл Томе. Этот вид разложения иногда иазыва<от но)ь<салс<ссьслс рядов< или ссормальным решением, для того чтооы отличать его от разложений тшса Лорана для ш, хотя фактический выбор иззваяня (как н орегулярная особая точка» илн »иррегулярная особая точка») мало нуждается в комментариях.
Уровне<с<<с (! 900) называется яарактериетическил<, а его корин — таран< ар<<отсс сегкилси ана сения.чи особой точки. 1.3. В случао (<< = 4»то также можно п<нучит<, аспхц<тотпчегкусо форму решений, видоизменяя рассуждения 9 1.1. Дру«.сс< сиосоо, приводящий к тем оке результатам, основан на преобразовании Фс<брсс ') 296 угхвнгния с инвкгулягными Осовыви! точкам!г (гл. т ся степенных рядов. Если же 4д>Ф2/а/>, то (1.12) имеет на бесконечности иРРсгУсиц>иУю особУю точкУ с иеРаенысни хаРактеРистическпми значениями -г-(2/з/> — 4а>) ": сравните этот результат с (1.09).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
