1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 53
Текст из файла (страница 53)
11оэтоъгу мы можем построить для И> формальное стг ценное разложение вида (!.08) с заменой з иа !. Таким образом, ирсооразоваиио Фабри устраняет иооокодпмость в специальной теории '). 1!сре>н>д к первоначальным переменным в случае 4[,'! =гк 2/з/г приводит и решсни>о н видс ряда и> —. ехр — —, /„з нз (2/а/, — 4д )пз з''-')! Т(' — з" к>т —.о = йдесь коэффициенты а„также могут быть найдены нр>гной подстановкой и в ггервоиача.г>игое дифференциальиоо уравнение.
1зазложения этого тина, содержащие дробные стеиегш г, называготся сронорлальными решениями. 5>ПРАЖН(>П[!Я 1.!. Дяффергицнз;п,ное уравнение и:" = (зз+ = з) >г имеет огебуго точпорядка 2 на бггконечкогти. Показать, что оно нож> т омтк пргооразокзно в уравнение. ии> ющгг гоотве>гтвг>г>щ!То особ!>о зачну ранга !.2. Паата точное рг>некио уравнения - — — 2 — — ( — !ь ) — -о (Ай, Рн91.
Ы з ' аз (4> ' !кз 13. Построить губпориальнпс ре>пение нз бесконечности уравнения г>зк, ! 2 Л (Л+ !) ~ (,з где б — постоянная 1!(ертнг, !9(!9). в 2. Аснмитотическая природа формальных ридов 2.1. Рассуждения в $1 являются чисто формальными. Если бы оказалось, что разложение (!.08) сходится для всех достаточно больших )з(, то почвенное дифференцирование было бы законным, и ряд определял бы решение диффсронциального уравнения.
То, что это не всегда так, можно увидеть из следугощего. Если в правой части (1.11) отбросить все члены, кроме иорвого, то а,/а, ! г/(/о+2Л) (е ->- оо). Это означает, что ряд (1.08) расходится. Следовательно, лишь ') Это приятно контрастирует с трудностями, обусловленныии совпадением показателей в регулярной особой точке (глава 5, $5).
% г) лапа<итоги'<кокая «впгодл Фогзглльнь<х Рядов 297 в случаях, когда первый член в правой части (1.!1) сильно подавляется вкладом остальных слагаемых,— как, например, в упр. 1.2 — появляется возможность для сходимости. Самое большее, на что можно надеяться в отношении рида "(!.08), состоит, вообще говоря, в том, что он представляет собой асимптотическое разложение решения в некоторой области г-илоскост~.
Кроме того, естественно ожидать, что зта область судет спмметр«чной относительно направления самого сильного уоыванпя при г -+- со. Так как отношение главных членов формального О.,-<кп н,— н. решения равное "' '" . "аа,«,аа,зто направление опрег<слпется условиеь< агу ((йг — й<) г) = 0 дг<п первого реп<ения и ага ((г.<— — )г)г) = 0 — гшн второго.
Т е о р е м а 2.1, 11 усть аналитические <руикции 1(г) и д(г) кожплепсиой перел<снпой г разлогшотся в сходящиеся степенные у<яды (2. 01) а <=-а в области А; 1г) )а, причета 1а чн 4ка. Тогда уравнение (2.02) и.ивет едииственнь<е решения ю„(г), 1' = 1, 2, такие, <го в пересечении А с соотввтствующ<<ми пекторали ') агу ((кг — Х<) г) «л (1 = 1), агу ((й< к )г) - я (1 2) (2.03) зги решения гон<аморфны и г 7 н.'кт а„ ш;(г) е < г 'т — ' (г —.
сс). (2.04) н: — и где У.. (г) — и-я частичная сумма и-< Ла (г) =- е ' ггм )',. — '' —.и " (2 05) ') В действительности в А имеются разрезы. Области ие максимальны; си, виже теорему 2.2. В этой теореме значения 7.<, р, и о,; опроделя<отея как в $ 1.2. Для функции г ' мови<о брать я<обую ветвь при условии, что опа непрерывна в соотвстствующом секторе (2.03). Пп;ке приводится доказательство теоремы.
2.2. Обозначим решение уравнения (2.02) череа и (г) = 1 „(г) +е„(г), 298 хвхвнения с г1РРГгупяеныып осовгзыи точкхып 1гл т и е„(г) — соответствующий остаточный член. Если подставить Ь„(г) в левуя~ часть (2.02) вместо и,,то коэффициент при е"'г"' ' обращается в нуль ири г = О, 1, ..., и в силу формул (1.09)— (1.11). Позтому' ' В (~)+1(~)В (г)+й'(г)т (г) е г'Л (г) (2,00) где Л„(г) = О( " ') щэи г — э- оо, Отсюда следуот, что е„(г) Р 1'(г) е„(г) -',— д(г) е„(г) ==. — е"гв'Л„(г). (2.07) 1'ассмотриы иоследнео уравнение. Обозначим через й ироизвольнячо постояниуай оольшую а, и пусть г принадлежат замкнутой области В: / г / ) Яь Тогда )Л„(г) /(В„/г/ (2.08) где „— некоторая постоянная.
Оставим в левой части уравнения (2.07) только главные члены разло кешш 1(г) п д(г); остальные перенесем в правую часты Мы приходим к уравиешио еч (г) УОРД (г) ьее (г) = -= — е"'г"' Ль (г) — (д( ) — д„) е„(г) — (У( ) — (а) е'„(г). (2.00) М~ сод вариашш постоянных приводит к эквивалентному интеграл ьиому уравишпио тч еь(г) -- ~ К(г, 1)~е'"1а'Ль(1) г + Ы(1) Еа)'ь(1) ';(У(1) Уо)е'„(1)1В1, (210) гле К(г, 1) = )е" ' " — е" ' ' )1(Яч — Я ), Направление интегрирования (т.
е, парамотр са) можно выорать произвольно. Мы выоерем его совпадающим с направленном напбыстрсшпего убывания искомого решения, а именно, со = аго (Я.з — Л~). 23. Предположим, что и > Пер~ — =ть г~й н /агй(ге' ) ((я; уравнение (2.10) можно решить методом последовательных приближений, использованным в предыдущих главах. Положим лсимптетичвскля нРЯРОдА ФОРмлльных РядОВ 2ЭЗ гло последовательность (!г,(г)) определяется условнямн !!Л(1) — =О н » — гм !1,лг( ) == ~ е(г, О~е" ге')(„(1) -,'- + (д(() да) !1, (() -- (!(1) — 1„) Ь! (1) /111 (2.!2) где Р~О. Контур интегрирования выбирается так, что его образ в (е"'-плоскости состоит из следу!ощих частеи: 1) ирнмолинс иного отрезка, проходящего через точку ге»", исриеидикулярио к прямо(1, соедиияаицс(! 1»ту точку с началом координат; 2) дуги окружности »ш,!юного ра;шуса с центром в на гале координат; 3) части иоложит»льной дог!ствит льио(! полуоси (рис. 2.1).
11а этом контуро Кс ((Лг — Л!)() не убывает, и поэтому !ан (1, !)! (!21!» ! Лг! !!»"» '>/ Тэк как / ггд (1е' ) / (я, то /1Р'/(31/1/''. 3! ==акр((л !- /ег/)/1ш р,/), 1(олагая е = 0 в (2.12) и в производной этого выра!кения ио з, иг!итьзуя только что полученные оценки и (2.08), мы находим, устремляя радиус к(гугово!! дуги на рис.
2.1 и бесконечности, что !ь, ( ! ! /ьг(1!/ Дптл ( ' Л -- 1 !Л,(-' (Л. ! !Л! — -Лг! л — лн глг 2 — функция. введенная в лемме !3. ! гаазы (!. Отирзвляяс1, от этого результата, мы можем ио иидукцгш ироигрить, что /ь - 00 — ь,(1) / /ь (г! — ь: (4/ 1111„0' /'2 (л — 1л,! Г»е! /»ьн/ 2 !Л1 ! —, ! Лг! ! Л, — Л, !»+' ( — Л ) !1!л — '" (2.1 3) ири з = О, 1, ..., гдо число () = виР ! /( / (2 /!( (1) — оь /+ (/ Л, / + / Л, /) / ! (() — !л /)) КЕВ конечно (сравните (2.01)). Предиоложим теперь, что и выбрано достаточно большим н удовлетворяющим условию /1! — Лг/ (п — пг,) )~у(и — тг); это возможно, так как )( (!г — тг) ~ — ай) (и — оо), 'у 2 уРланв1П!я с ИРРкгу,|ЯРныьш ОООьыз|п тОчкАми !Тл т Тогда ряд (2.1!) сводится равномерно в л|обом компактном мпоя<естве, содержащемся в пересечении В и разрезанной плоскости )ауге'") «и.
Поэтому иочлеиноо дифференцир<жанне ряда законно, и из формулы (2Т12) видно. что его суви|а является апал|пичесяой функцией, удовлетворя|ошей интегральному уравнению (2.10) и, с:шдовател|що, дифференциальным уравнениям (2.07) и (2.09). Опенки (2,16) показывают, что еь (г), е„(г) =- 0 (е!"г"" ") (г — сю). Поэтому д;!я достаточно большпк значений >г уравнение (2Л|2) имеет аналнтическоо решение |с, |(г), оолада|ощео свойствоп и — ! ь) = ага (61 — А,) . =. з ири г ) со в еж<торе )агя (()г — й!)г) ( ««и.
Лначогичиь|м образом, заменяя индекс 1 па 2, м<ш<но убедиться, что существует еи|е одно аналитическое решены<', и:„з(г), такое, что «--! и:„(г) =- е": ' () — ' — ', О( — )) пРК г-). Оо в сектоРе !агд ((А.! — 61)г) ( «и. Осталось показать, что и „|(г) и ш„г(г) пе зависят от и.
Если п! п пг — допустив!ыо значения и, то функции и'„„, (г) и и „,, (г)— ПОДЧИПЕЫИЫО ПО СРаВПЕШИО С Ш,Ь (г) ПЛЫ игь (г) ПРП г- ООЕ "„ следовательно, ик отношение по зависит от т.. Опо равно единице, что можно установить, полагая г — ). Оое ". Аналогичные рассу;идения справедливы п для и „г(г). Этим завершается доказате|и,- ство теоремы 2.1. 2.4. Область, в которой асимптопг|еские раеложеыпя справе,<- ливы, можно расширить. Теорема 2.2.
Если 6 — скол,ь угодно малая положительная пос|оянная, то разложение (2,04) справедливо для аналитимеского продолжения и)!(г) в секторе ) агя ((Хз — Х!) г) ) «Зл/2 — 6 (/ = 1), (2.15) ~ага ((6! — ).г) г) ~ «Зл/2 — 6 (/ = 2). 1!'роме того, если разложение не сходится, то этот сектор справедливости разложения максимален, Укааанное расширение мо)кно провести, видоизменяя рассуждения з 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
