1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Например, если б»(агах» ((ль2) — сь, то --ьсзссгь „сп ! )' "ь -тЪ лс (4.18) — .-Смс сс Апагьнтьгческое продолжение распространяет этот результат пн область 0 ( аги 2 ( л..!еь ко видеть, что общие формулы ') Знак 2 быа изменен. 20" оба они справедливы. Однако в этом секторе функция е " экспош пцнвльно мала по сравненшо с е' и, следовательно, вкладом второго ряда в (4.16) люжно пренебречь (в смысле Пуанкаре), сколько бы члечов ряда мы ни взялк.
Поэтому никакого противоречии в разложениях нет. Обобщение на другие областьл изменения аргухпнта можно получить аналогичным образом, выбиран подходящео значение си в (4.13). Во всех случаях мы получаем составное асимптотическое разложенио ььида (4.16), вкльочснощее в себя оба ряда с некоторыми коэффициентами. Птокс (1857) был первым, кто обратил внимание па то, что постоянные, ььходьььььиев составное разложение, меньпотся скачком, когда аргумент асимптотической переменной меняется непрерывно. Наличие таких скачков называется явлеинем Стокса; опо не ограничивается рщпенпяни уравнония Бесселя. Полное понимание этого явссении требуот более глубокого анализа остаточных членов (см.
ниже 4 13.2). 4.4. Иььтегральиые представления для функций Гаккеля можно получить следуьощим образом. При иыводе аспмптотвчсского разложения для l,(е) в глава 4, 4 9 мы рассмотрслп отде.ььпо вкла,ьы интегралов ') 308 углвнвнпя с ивзвгглянпыз!и огсз!!зп! Точкхзп! !гл ! имеют вид -!-(л — а! ' — ! я <-Ю ! где и — произвольное число п — (и!2)+а < агдз ( (л/2)+ с!. Эти формулы называ!отея гп!гегрллами Зо.зиерфгльйа. Непосредственным следствием формул (4.19) являетсн то, что Пт (з) п Х1 з ( ) удое.!створню! релуррелгпьы! соогнопге!Упям д!я <и <и фуняг1н!1 г,(з), приведепяьы! в главе 2.
з 9.5. Ыояп!о отметим, что в основе зтих рекуррентвых соотпошепп!! лежит выоор пормирующего множителя в формулах (4.00) и (4.04). 4.з. Другой тпп контурных интегралов для функций Гапке,ля связан с интегралом Пуассона (глава 2, упр. !.5): ! ю)1 у,.(з) =- „, ! '" ~ сов с!(! — гз)' '~'"'сй ~1(е! ) — — 1.
Дифференцируя под знаком ннтегра!а. убождаемся, что уравнению 1>ессещ! удовлетворяет л!обой контурный инте!рал вида "' ~ е" (!з — 1)~ гп ~г(1, прп условии, что ветвь (!! — 1)' "" непрерывна вдоль пути т и подьипегральное выражение принимает начальное зна !ение в конг!е $". 11огда (агдз( ( и!2 п т Ф 1!2, ЗГ2..... подходящий выбор пути и нормиру!ощего множителя приво;щт н формулам Н~~~(з) = — ! Х ! ' -' ! ) е'"(!з — 1)' — !пз!Иг, (4.20) ! /-! гг<з!() ! 2 !, " ! ~ — ~-!(!з 1)~ -!!ге!ь!г Л зю ! †! Оба контура представляют собой петли, не охватывающие ° точку з = — 1, причем функция (гз — 1)" '* в пересечении с интервалом (1, оо) принимает главное значение.
Такие представлении известны под названием интегралов Гиинеля. Чтобы проверить эти формулы, заметим. что интегралы сходится равномерно всек- фзш(ппя утке торе )агйг( ( я(2 — б и подьштегральные функции обращаются в нуль в граничных точках. Поэтому каждый из интегралов УЛОВ- летворяет уравнению Бесселя. ((рпыеценне леммы Ватсона для интегралов по петле (глаиа 4, з 5.3) показывает, что асимптотическое поведение правых частей (4.20) и (ь2! ) согласуется с (4.03) и (4.04) в секторе (агд г) =. н(2 — б. З ПУЛЬ*ПИПИЯ 4 !.
Доказать для ароискиаиои формулу ЭГ(Н(!)(з), Н(г)(з))== — 2П'(У,(з), И(!)(з)) =- = Л (Гт(), Н,")(з))= — 40( з)- 4.2. Показа(ь. что когда т раино волокине нечетного иозо;кительного или отрицательного полото числа, асимитосичсские разложении (400), (404) и (4 07) дают точимо выра кении дзя функций Бесселя. ьс 5. Функция Ут(г) 5П. У пос имеется теперь трн стандартных решения уравнения Бесселя: У,.(г), Нт (г) и Нт (г).
Опн характеризуются сле(!) (г) дующими свойствами: 1) в регулярной особой точке г = 0 функция Х.(г) — подчиненная, если Век ) 0 илн т = 0; 2) в бескопеч(!) по удаленной иррегулярной особой точке функция Нт (г)— (и подчиненная в секторе б = агиг ~ я — б, а функция Н,. (г)— в сопряженном секторе. Следовательно, функции 1,(г) н Нс (г) образуи)т *(поденно (!) удоелетворительну(о пару рошеиий во всем секторе 0 =' агй г ~ я при условии, что Век = О. Аналогично, пара 1,(г) и Н (г) яв- .
И) лнется численно удовлетворт(те((ьно(й! всюду в секторе — и ~ ага г (О. тт(0 В важном частном случае действительных переменных и Н, обладают тем недостатком, что явлаются комплексными (2) функциямп. Поэтому нообходпмо ввести еще одно стандартное решение. Функция з „(г) дтя этой цели не подходит, поскольку пе нвляется линейно независимой от /т(г) при всех значениях т. Обычно выбирают в качестве такого решения фунщн)о Вебера, определяемую для всех аначений т и г формулой ') Ут ( ) =- (и(!) ( ) — Н(г) (г))У2(, (5.0)) ') ИНОГДа фУИИЦИЮ Ут(З) ОбОЗваЧаЮт ЧЕРОЗ Д) (З). ЕЕ ЧаетО ИаЗЫВа(От функцией Бесселя второго рода, а з,, (з) — первого рода. При этой терминологии функции Гаккели назыиа(отса функциил(и Бессели третьего рода.
З)О таяния)шя с кнвктхлнвпымп осопыъп! ТО'п)лмп )ст. т Главная ветвь У;(г) получается нз главных ветвей Пс (г) и ХХ„(г). ))) (г) То, что У,(г) принимает действительные значения при действительном т п положительном г, следует пз последнего абзаца г 4.1. Из (4.03) п (4.04) мы выводим составное разложение Ух(г) ( —" / з)п ь ( — 1)' — ', —,' сов), ° ( — 1) э:-.0 ': О (5.02) прн г-~-со в секторе )агдг! --- л — б независимо от тото, действительное т плп комплексно.
Сравнение с раздол еппем (4.07) показывает, что, в отличие от Х-т(г), решение Ут(г) линойно по- зависимо от Х,(г) прп всех значениях т. Если т — действительное, а г — болыпое положительное число, то асимптотическв У,(г) имеет ту же самую амплитуду колебаний, что и Х,.(г), со сдвигом 1 фазы —, ~; зти свойства я мотивпру)от выбор функции У,(г) вкачестве стандартного решения. Другое привлекательное свойство заключается в том, что Ут(г) удовлетворяет тем лсе рскурре)млылс сооюсошенилм, которым удовле)еоряют Хт(г), ХХ„(г) и ХХс) (г).
))) )2) Связь между четырьмя стандартными решениями уравнении Бесселя выра)кается легко запомнив)ощимпся формулами: Н',,')(г) =- Х,.(г) + )Ус(г), Н",.'(г) = Х,(г) — )У,(г). (5.03) Необходимо, по-видимому, по;)черкнуть, что Хт(г) и У„(г) образуют численно удовлетворительпу)о пару только ма действнтельиой оси или в окрестности г = 0 (когда Вот ) О). Прп болыпих котп)лексных г оба решения являются догшпирующимп во всех областях изменения аргумента ') . 1 рафики функций Х,(г) и У,(г) длн действительных переменных приведены на рпс.
5.1 и 5.2. 5.2. Разложение У;(г) по возрастающих) степеням г можно вывести пз степенных рядов для функций Х„,(г) и формулы (5.04) у с Х (с) сов тл — У (0 с ( ) зй)тл которая в свою очередь получается из (4.12) и (5.01). Особый интерес представляет случай, когда т — це:юе число, например, равное п, поскольку тогда числитель и знаменатель одновременно обращаются в нуль. Так как У,(г) — целая функция т, то по ') Это проверяется с помощью увр. 5.3; см. вп ве. з11 эуггкппя утюг) правилу Лопиталя ') находим (п-=-0,~1,~2,...).
(505' Из етого соотношении непосредственно следует, что У „(з)= =-(---!) "У.(з); позтоиу в дальпенпгем мы будем прсу)полагать, что п~О. 7тт е7е ~У ттФ ,уу у -я", ' -ее' —,Р' -РУ -Д' Рос 5 ) lе(я) — я )а(х) Ряс 5.2 Хи(в) — в уя(х) — — —. Из формулы (0.00) главы 2 мон'~о вывестп разложение — — з) Р, ~ 4 ~ (!и( —,з) — ф(т-)-в+1)~, (5.06) тде, как и раньше, 1р обозначает логарифмическую производную ') Эта процедура является, в сущности, методом Фробеяяуса (глава 5, $5.3). уравнкипя с ИРРегм:1ЯРными осопыып то'п1лмп !Гл. т 312 тамма-функции. Полагая т = +.и и учитывая, что — — О, ~ — ( — 4)в'+! ( — т)(, Г (з) Г (з) когда " стремится н неположительному целому числу л1, мы по- лу гасы искомое разлонгеппе в — 1 У„(з)--- — П,"», '"- ',-"'~ —,' л-)+ 2 )п~ —,,' г).Уп(л) 3 ° =е ( — '.,:У -,, — 'И =-.)' — (з)~(л -,'- () + з(1(л —,' з+. 1)); —. (5.07) в! (и —,'.
з!! Опо сходятся для всех з, от:!ячпых от пуля. )УПРЛ!КПЕРП1П 5 !, До!азазз. мо УУ (У,(з), 1',(л))== У ы(з)У,(з) — У (з))т1!(з) — — 2/(пз). 5.2, Показать, по прп зпобом целом л !12 (з) =:= ! — 1)" ' У„ !/з (з) !' „ ,, (з) †.- ( — !)"Упе 1/2 (л). 5.3. Показать, что прп зпобол1 целом вг у. (ле"ж ) =: е "'""' у, !з) —,'-21з!п !мтл) с!й (тп)у, !з). 5.4. Пз форму;пз (5.05) и упр.
2.2 и 95 п главе 2 вывестп, что и/л 1 з (з) - — — 4п -' ~ соз (з соз О) (у+ 1и (2з з!пз О)) 1/0 е (7 — постоянная Эйлера). 55. Вывосзл! пз интегралов Ганкелн (! 4.5) ипгезрпзы 3/гаера — Сонина — т (' зьч (хт) А ) ') — т 2 — х соз !хС) вг у, (х) —— где)нет( ( 1/2 н х ) О. Пспользуя метод стационарной фазы, убедиться, что асимитотика правых частей согласуется с главнымн членами ра!!лежаний (4.07) и (5.02), когда т !ы( — 1/2, !/2), ирли вгннции зтсгг вы 56. С помощью индукции доказать, что осли л — иолощительное целое число или нуль, то /1 ')в .1 ( )'" =- —,' уо(з) + 2 — з ':=о 2 ( —., з) г=о 57, 1)игегрирун рвтлолгеиие У,(г) иочлеино, доказатг, что ири Пе и > О н вест+ и) ) О ( е "ггг' гз „(г) ся .= р(р-,-т) Р—, р+ —.
ч, —.и+ —. и+ —,' т+ 1( — а з) 2'ег' гт гле à — гоиергеоиетрическал функции, введеииэи в главе 5, н дли всех функций берутси главнью значеиол. 5дв Пвтегрирув оо частиц, докозатгь что ири Нет ) — 1 1гог ~е 'гхт(г) аг =- ~ х (г) вг. -->о ° о о Обьегинил этот результат с предыдущим уиражиением и равонствогг (10.15) и.г главы 5, вывести формулы ( Х,(г)аг=1 (Кет> — 1) 1 1 1 ч (г) Вг — гу . лУ о в 6. Нули функции Х,(з) ((Кот) < 1). 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
