1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (803490), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Это преобразовшше можно также установить, умножая ряд (9,04) на стопспной ряд для е * н используятсорему ))апдермонла. Другим преобразован1пм, пе пзмешпощим вырожденную гппергеометрнческую функц1по, явлвется одновременная замена а и с па 1+ а — - с и 2 — с и выбор новой зависимой переменной в виде г' "и:; такой вывод можно одолеть из (9.05). Сравнивая подчиненные решения в з = +со, мы получаем, что 7У(а, с, з) = г' "6'(1.+ а — с, 2 — с, з).
ззо уРэвнения с иРРегуляРныъш осевыми точками |Гл. 7 значения этих коэффициентов аависят от того, какие ветви мы имеем в виду. Предположим, что агдг еп (О, я] и агд( — г)е= ян [ — я, 01. Налагая временно ограничение Ве с ) Ве а ) 0 и применяя метод Лапласа к (9.07), мы находим, что М(а, с, г) е'г' с/Г(а) (г — р со, агапэ=О) '(10.07) и М(а, с, г) ( — г) '/Г(с — а) (г-+ оо, агд( — г) =0). '(10,08) Если г-е-оо прн агдг = 0 или агц( — г) = — я, то решение са'(а, с, г) — подчиненное, а )Р(а, с, г) ведет себя асимптотическн как е*г' 'е-' '"' (ср.
(10.02) ). Сравнение с (10.07) дает В = е' ""'/Г(а). Аналогично, если г-а.— со при агах = я и агд( — г) =О, торешение У(а, с, г) — подчиненное, а П(а, с, г) ведет себя асимптотически как ( — г)-'е '"'. Поэте||у А = е'"'/!' (с — а) . Таким образом, один нз вариантов искомой формулы связи имеет вид аж | — сии М(а, с, г) =, П(а, с, г)+, > !Р(а, с, г), (10,09) причем ветви определяются условием агд( — г) = — я при ага г= = 0 и далее по непрерывности. |Рормула (10.09) установлена при ограничении Вес ) Веа ) ) О.
й!ы уже отмечалп в $ 9.2, что прн фиксированном г функция М(а, с, г) является целой по а н с. Из теоремы 3.1 следует, что то же самое верно относительно |/(а, с, г) и |р(а, с, г),если г не равно нулю. Поэтому в силу аналитического продолжения формула (10.09) справедлива без ограничений на параметры. Если же мы будем использовать непрерывную ветвь функции 77(а, с, г), определенную условием агд( — г) = я при агйг = О, то в силу симметрии формула связи примет внд е а си р|с — аж| М(а, с, г) =- . П(а, с, г) +, ) 77(а, с, г). (10.10) Важность формул (10.09) и (10.10) заключается в том, что при объединении с (10.01) и (10.02) они определяют асимптотическое поведение М(а, с, г) при больших г в широкой области изменения агат, а именно в секторе ~агапэ~((ЗЛ/2) — б.
В различных частях этого сектора одна из функций П(а, с, г) и 1Р(а, с, г) экспоненциально мала по сравнению с другой и поэтому ею можно пренебречь в смысле Пуанкаре (хотя, как мы увидим в 5 13, такой акт мо кет привести к потере точности в чис- Асггьгптотггческпк Ришепия ленных расчетах). В других областях, в особенности вблизи прямых агоз = -~я/2, вклады от У(а, г, с) и гг(а, с, з) одинаково существенны'). 10.4. Другая важная формула связывает П, М и М: бг(а, с, г) =СЫ (а, с, з) +Гггч (а, с, з).
Чтобы найти С и ьг, мы пологкилг сначала г-ь+оо. Тогда, используя (10.09) п (9.06), имеем М(а, с, з) — е'з" '/Г(а), )ч(а, с, з) е*з" '/Г(1+а — с), если пи одгго из чисел а и 1+ а — с не равно целому отрицательному числу или нулю. Поскольку функпия сг(а, с, к) является при данных условиях подчиненной, отсюда следует, что С/Г(а) = — /г/Г(1+ а — с). Далее, предположим, что Вес 0 и Вес(1.
Полагая г-+-0 в (10.04), мы получаем .(.„,+О),,1 ~1-(1+1)--Л=,Г(1-) ) е сравните упр. 1.3 к главе 2. В правой части равенства (10.1!) функция Х(а, с, з) при з-ьО стролгится к нулю, а М(а, с, г) стремится к 1/Г(С). Следовательно, Г(с) Г(1 — с) 1) Г (с) Г(1 — с) Г (1 + а — с) ' !' (а) я равенство (10.11) принимает вид )(ак и в з 10.3, аналитическое продолягепие устраняет все ограпичепия, наложенные па параметры. Обьединеиная с равенствалги (9.04) и (9.06), эта формула описывает поведение (/(а, с, з) около точки з = О.
Если и — целое число или нуль, правая часть формулы заменяется ее предельным значением; см. нитке упр. 10.6. 10.5. Определитель Вронского для У и М можно найти, рассмотрев предельный вид этих функций и их производных при х — ь оо или при з-+.О. Лгобой путь дает формулу Ж(бг(а, с, з), М(а, с, х)у=е'х '/Г(а). ') Много асимптотической информации, содержащейся в (10.09) в (10.10), можно также получить из (9.07) с помощью методов Лапласа и стационарной фазы. Вклады от концевых точек области интегрирования должны бьжь учтены; ограничения Ке с > Кеа > 0 можно снятгь используя метод 1 бй главы 4.
УРЛВНКНПЯ С ИРРИГУЛЯРНЫМИ ОСОГЫМП ТОЧНЛМИ !ГЛ. 7 зз Поэтому если а пе является неположительным целым числом, то эти решения линейно независимы. Их относительные свойства подчиненности при г-э. оо и г-е0 показыва!от, что если !(ос ) 1, то функции 6'(а, с, г) !т М(а, с, г) образуют численно удовлетворительную пару решений во всем секторе )агдг~ (и/2.
Если а = О, — 1, — 2, ... и Пес ) 1 нлп с = 1, то решение уравнения (9.02), подчиненное в начале координат, является подчиненным и на бесконечности в секторе )агйг) ( и/2 — Ь; вдействнтельностп оно представляет собой мпогочлен ног степени — а; см. нике упр. 10.3. 11ак отмечено в ч 7.3 главы 5, комбинация этого решения с линейно независимым рептением, например с !'(а, с, г), дает числеяно удовлетворительную пару решений в секторе ! агд г ) ( и/2.
Ь ПРЛ)ППКНПЯ 10.1. Показать, что Кт(г) = яиг(2г)'с '(/(т + 1/2, 2с + 1, 24, 10.2. Показать, что неполнап газ!з!а-4упиппн ыожет быль представлена в видо у(и, г) =: й! (и, ила 1, — г) (и еь О, — 1, — 2, ...); и Г(и, г):.= с '//(! — и, 1 — и, г). 10.3. Пока.ють, что пиоточлеаы.)а!арра п ар!и!та иоп;но записать в аиде !!РЗ() ' ' ' щ( л, 1,) — (/( — л, и+1,х), Г (и -!-1+ и), ( — 1)" и! л.
1 1 ! „ /1 1 0 П (х) — — 2~(/ — —. л, —., хз = 2сх(/ —, — — л —., хг). 10.4. Показать. что 4зуппцпя параболического цилиндра (глава О, 5 0) представляется в виде 1 „! /1 1 1 1 г/(л,г)=2 З З ехр г (/ — л ! — — г) а ч =-2 "' егр( .г).(/(, л ! — ' — ' — гг~ 10тх Проверит!ч что г/(л — 1, с, г) + (с — 2л — г)(/(л. с, г) + и(1 + л — с) (/(а+ 1, с, г) =- О, (с — л — 1)(/(л, с — 1, г) + (1 — с — г)(/(л, с, г) + г(/(л, с + 1, г) = О. Фупш(пгг уиттгккрх е 111 число.
Рассматривая иредельиую (и, «и, )(и + ам, (а«,5 «ч«9 «1 ' а- О ( — 1)'"Г ( -'-:) Г (а) Г (1 + а — и) (ю — « -- 1)( ' рм, ° «Р и ( 0 — фц--.) — ф( —:аь й 1!. Функции Уиттекера 1!.1. Если в вырожденном пшергеометрпчегком уравнении '(0.02) сделать замену зависимой переменной, прпводягцуго к пскзпочению члена с первой нроизводиой, то мы получим уравнение вида (11.01) Иг е г е~ и Окопа ртиые решения имшот вид Каждое пз выражений является многозначной фупкцпой г.
Главные ветви соответствуют области агд г~( — л, и]. Все формулы иа ~! 0 и 10 можно выразить в терминах функции Узгттекера. В частности, аспьштотические свойства пгиеют вид ЛХь (г) г +"~~~ (г — «-О, 2т~ — 1, — 2, — 3, ...)„(1!.04) И«м,„(г) е пггь (г -«. со, ) агд г ~ ~ ~(Зл/2) — 6).
(11.05) 11.2. В качестве примера применения теории, изложенной в главе 6, можно определить поведение функций ЛХ, „(г) и И', м(г) при больших т. й!ьг приведем план рассуждений в случае, когда параметры и переменные действительны и положительны. После подстановок х = г/т и ! = й/т уравнение (11.01) принимает вид (11.06) 106. Пусть т — положительное целое форму равенства (1612), показать, что Е«'(а, «и, г) = (з — 1) 1' «вЂ ! тде 1 1 1 в котором й == —, с — а, т = —, с — —, и зывастся уравнением Уиттелера.
Станда ЛХь (г) = =е г '( 'г~ЛХ(т — й Н'а,ю (г) —.—:=- е '-= 'Г («т — й — 2«и + 1, г), (11.02) + —, 2иь —,'- 1, г). (11.03) 334 уРлвннния с иРРБГуляРными ОсОБыми точклми )гл. ? где ', ~(~) = Я?' 4,, 4'(х) = —,—,, зхз — 4)х+ 4 1 Нули )'(х) находятся в точках х = 27~2(Р— 1) пе. Если Ы= (О, а), где а — фиксированное число нз интервала [О, 1), то зтп нули комплексны, п функция 1(х) положительна всюду в (О, ОО), В силу етого к (11.00) можно применить теорему 2.1 пз главы 6 прн а~ = 0 и ае — — Оо. Иа 33 4.2 и 4.3 той же главы — или непосредственно — видно, что функция контроля опшбкн Р, построенная на основе функций (11.07), имеет вариацию, сходящуюся при х = Оо и О, т.
е. величина ('~ (2-)НЗ Иа ~ (ех)пз ,) ~ (хе — 4Ы+ 4)иг Нх ((хз — 4)х+4)иг 1 3х (х2 — 4?х —, 4) ? ) конечна. Кроме того, легко видеть, что Ухе „(Р) = ?в '0(1)? ,'(11.08) равномеряо относительно (е=(0, а1. Упомянутая выше теорема утверждает, кроме того, что существуют такие решения и?~(х) и ?Р?(х) уравнения (11.06), для которых л?,(х) = ~ Н'(х) еярД~Н~(х) Ох~(1+ е, (х)), (11.09) и,(х) = У ' '(т)елр ( — ~1пе(х)с?х~(1+ с,(х)), (11.10) где ( ег (х) (е ехР~ ~ У е,х(г)) — 1, /е? (х) ~ ~ (елР ~ У х, (В)) — 1.
Первое решение является подчиненным в х=О; второе — в х= ОО. Позтому и (:) Н'~, (з) = А(й, т), ' =- В(й, т), где А(х, т) п В(??, т) не зависят от х (нли от г). Значение А(х, т) можно найти, положив х — эО н используя '(11.04), (11.09), а также соотношение е~ (х) -~ О. Аналогично можно найти В(Й, в?), положив х-+. ОО и используя (11.05), (11.10) и соотношение ее(х) --~.0.
Зтн вычисления осиовыва?ется на злементарном тождестве ума(х) ?(х = — х, — й1п (2+ г — 2й) — т)п 2 в котором х = (гз — йнг+йв??) и?.. ОЦЕПЕСИ ОСУАУОЧНОГО ЧЛЕНА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 335 Я 12! Конечный результат имеет впд 22-1-2се.!.(1/2)т2ес+(1/2) (т — 1)ь зт+(1/2)ек/2 ет71/2 (2 + з — 2/с))с (т2 — /сз + 2сссз)са и (2 ! е — 2!с)Ь(т2 — Яз+ 2есе)т )ьт( ) -- ( — !)т (2е)Ь т (1/2)21сгез/2 ()статочпые члены имеют следугощпе свойства: 1) если /е и т фиксированы, то 21 — ьО при 2-ь 0 и ез — ь 0 при 2-ь оо: 2) если т велико, то е) = 0(!я ') и ез = 0(т ') равномерно относительно 2 е= (О, ос ) и )е я— : 10, и!я1, где сс — любое фиксированное число из [О, 1). Следуот отметить, что условие 2) включает случай, когда Й фиксировано. При этом происходят некоторые упрощения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
